1、5.3 留数在定积分计算中的应用,一、形如 的积分,则,即 是以 u, v 为变量,的二元多项式函数或者分式函数。,方法,其中， 是 在 内的孤立奇点。,(2),可知被积函数的分母不为零，,因而积分是有意义的。,及,(1) 令,则,解,(2),( 注意：一阶极点 不在 内 ),解,(3),事实上，可直接用洛朗展开的方法来求该点的留数。,解,(3),(1) 令,则,记,解,(实数),其中，P (x) , Q(x) 为多项式；,(2) 分母 Q(x) 的次数比分子 P (x) 的次数至少高二次；,(3) 分母 Q(x) 无实零点。,推导 (略),其中， 是 在上半平面内的孤立奇点。,要求,(1),
2、方法,二、形如 的积分,(2),(3),在上半平面内，i 与 3i 为 一阶极点 。,在上半平面内，a i 与 bi 为一阶极点。,(2),(3),在上半平面内， 为两个一阶极点。,令,(2),(3),三、形如 的积分,(2) 分母 Q(x) 的次数比分子 P (x) 的次数至少高一次；,(3) 分母 Q(x) 无实零点。,其中， 是 在上半平面内的孤立奇点。,方法,推导 (略),特别,在上半平面内，1+3 i 为一阶极点。,(2),(3),(2),在上半平面内， i 为一阶极点，,(2),同理,(3),附：关于第二、三型积分中 有实孤立奇点的情况,在实轴上有,孤立奇点,则,其中， 为第二、三型积分中的被积函数。,(2),在实轴上， 为一阶极点，,附：关于第二、三型积分中 有实孤立奇点的情况,附：求函数 在 点的留数。,附：关于 型积分的公式推导,(1) 如图，,取积分路径为,其中 的半径为,(2) 根据留数定理有,附：关于 型积分的公式推导,(3),(当 足够大),附：关于 型积分的公式推导,(思路),推导,(4),(5) 由,附：关于 型积分的公式推导,(1) 如图，,取积分路径为,其中 的半径为,(2) 根据留数定理有,(3),(当 足够大),(4),(5) 由,
