1、2.3 幂 函 数,主题1 幂函数的定义 给出下列五个问题:如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元,这里p是w的函数. 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.,如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V=a3,这里V是a的函数. 如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长a= ,这里a是S的函数. 如果某人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度v=t-1km/s,这里v是t的函数.,1.上述5个问题中,若自变量都用x表示,因变量用y表示,则对应的函数关系式分别是什么? 提示:y=x.y=x2.y=x3.y= y=x-1.,2.上述5
2、个问题中的函数有什么共同特征? 提示:都是自变量出现在底数的位置上,指数为常数,幂为函数值的函数.,结论:幂函数的定义一般地,形如y=x的函数叫做幂函数,其中x是自变量,是常数.幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数.,【微思考】 1.二次函数都是幂函数吗? 提示:不一定.如y=3x2;y=x2-3x+2都不是幂函数.只有二次项系数为1,无一次项和常数项的二次函数才是幂函数.,2.判断一个函数是幂函数的依据是什么? 提示:依据是幂函数的定义,即解析式符合幂函数解析式的形式.,主题2 幂函数的图象与性质如图是同一坐标系中幂函数y=x,y= y=x2,y=x3, y=x-1的图象.,观察
3、上图,将你发现的结论写在下表内.,R,R,R,0，+),(-，0)(0，+),R,0，+),R,0，+),y|yR且y0,奇,偶,奇,非奇,非偶,奇,x0,+)增,x(-,0)减,增,增,x(0,+)减,x(-,0)减,(1,1),增,结论:幂函数的图象与性质 (1)图象都过点_. (2)为奇数时,y=x为_函数, 为偶数时,y=x为_函数. (3)0时,y=x在(0,+)上是_函数, 0时,y=x在(0,+)上是_函数.,(1,1),奇,偶,增,减,(4)0时y=x的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近.,【微思考】 幂函数y=x在区间(0,+)上为增函数时,满足的条件是什么?在区间(
4、0,+)上为减函数时,满足的条件是什么? 提示:当0时,y=x在(0,+)上为增函数; 当0时,y=x在(0,+)上为减函数.,【预习自测】 1.下列函数是幂函数的是 ( ) A.y=xx B.y=3 C.y= +1 D.y= 【解析】选D.由幂函数的定义知y= 是幂函数.,2.已知幂函数y=f(x)的图象过(4,2)点,则f( )= ( )【解析】选D.设f(x)=x,因为f(4)=2,所以4=2,即= ,故,3.幂函数y= 的定义域为_,其奇偶性是_. 【解析】因为y= ,所以x0,所以函数y= 的定义域为(0,+),是非奇非偶函数. 答案:(0,+) 非奇非偶函数,4.当 时,幂函数y=
5、x的图象不可能经过第_象限. 【解析】y=x-1,y= ,y=x,y=x3的图象在第一或第三象限,故不可能经过第二、四象限. 答案:二、四,类型一 幂函数的概念、图象与性质 【典例1】(1)(2017兰州高一检测)下列函数中不是幂函数的是 ( ) A.y= B.y= C.y=22x D.y=x-1 (2)已知幂函数f(x)=x的图象过点P ,试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间.,【解题指南】(1)根据幂函数的定义去判断,只有形如y=x的函数才是幂函数. (2)可根据幂函数f(x)的图象过点P 确定的值,然后再画出f(x)的图象,结合图象指出定义域与单调区间.,【解析】(1)选C
6、.由幂函数的定义知y= y= ,y=x-1均为幂函数,而y=22x=4x是指数函数.,(2)因为f(x)=x的图象过点P ,所以f(2)= , 即2= ,得=-2,即f(x)=x-2, f(x)的图象如图所示, 定义域为(-,0)(0,+), 单调减区间为(0,+),单调增区间为(-,0).,【延伸探究】 1.本例(2)条件不变,试判断f(x)的奇偶性. 【解析】因为f(x)=x-2,定义域为(-,0)(0,+), 关于y轴对称.又因为f(-x)=(-x)-2=x-2=f(x), 故f(x)为偶函数.,2.本例(2)中的条件“过点P ”若换为过点 试写出该函数的定义域、单调区间.,【解析】因为
7、f(8)= ,所以8= 即 故f(x)= 由 0得x0, 所以f(x)的定义域为(-,0)(0,+), 因为= 0,所以f(x)在(0,+)上是减函数, 又f(x)是偶函数,所以f(x)在(-,0)上是增函数, 故f(x)的单调减区间是(0,+),增区间为(-,0).,【方法总结】 1.判断一个函数是否为幂函数的方法 (1)幂函数同指数函数、对数函数一样,是一种“形式定义”的函数,也就是说必须完全具备y=x(R)结构特征的函数才是幂函数.,(2)如果函数解析式以根式的形式给出,则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理,再对照幂函数的定义进行判断.,2.幂函数图象的画法 (1)确定幂函数在
8、第一象限内的图象:先根据的取值,确定幂函数y=x在第一象限内的图象. (2)确定幂函数在其他象限内的图象:根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象.,【补偿训练】如图所示的曲线是幂函数y=x的第一象限的图象,已知 相应于曲线C1,C2,C3, C4的值依次为( ),类型二 幂函数图象与性质的简单应用 【典例2】比较大小【解题指南】幂值比较大小,底数相同指数不同时用指数函数的单调性.底数不同指数相同时,用幂函数的单调性.,【解析】(1)因为y=x0.5在(0,+)上是增函数且 所以 (2)因为y=x-1在(-,0)上是减函数,且 所以(3)因为 ,且y= 在(0,+)上是增
9、函数,因为所以 即,(4)因为y= 在R上是减函数,0.33,所以,【方法总结】比较幂值大小的方法技巧 (1)若指数相同,底数不同,则考虑幂函数的单调性. (2)若指数不同,底数相同,则考虑指数函数的单调性. (3)若指数与底数都不同,则考虑插入中间数,使这个数的底数与所比较数的一个底数相同,指数与另一个数的指数相同,那么这个数就介于所比较的两数之间,进而比较大小.,【巩固训练】把 按从小到大的顺序排列_.,【解析】 因为 为增函数, 所以 答案:,【补偿训练】比较大小: (1) (2)(-1.2)3,(-1.25)3. (3)5.25-1,5.26-1,5.26-2. 【解析】(1)因为函数 在(0,+)上是增函数, 且1.51.7,所以,(2)因为函数y=x3在R上是增函数,且-1.2-1.25, 所以(-1.2)3(-1.25)3. (3)因为函数y=5.26x是增函数,且-1-2, 所以5.26-15.26-2. 又y=x-1在(0,+)上是减函数,且5.255.26-1, 综上所述,5.25-15.26-15.26-2.,【课堂小结】 1.知识总结,2.方法总结 (1)运用待定系数法求幂函数的解析式. (2)根据幂函数的图象研究幂函数的性质即数形结合思想.,
