1、5 正弦函数的图像与性质,5 从力做的功到向量的数量积,一,二,三,一、向量的夹角 1.定义:已知两个非零向量a和b,作 , AOB=(0180)叫作向量a与b的夹角. 2.范围:0,180.当=0时,a与b同向;当=180时,a与b反向;当=90时,a与b垂直,记作ab. 3.规定:零向量可与任一向量垂直.,四,一,二,三,答案:60 120,四,一,二,三,二、向量b在向量a方向上的射影 1.设向量a与向量b的夹角为,则|b|cos 叫作向量b在向量a方向上的射影(也叫投影). 2.如图所示,当为锐角时,|b|cos 0; 当=90时,|b|cos =0;当为钝角时,|b|cos 0;当=
2、0时,|b|cos =|b|;当=180时,|b|cos =-|b|.,四,一,二,三,【做一做2】 已知向量a,b的夹角是60,|a|=5,|b|=8,则a在b方向上的射影等于 ,b在a方向上的射影等于 .,b在a方向上的射影为|b|cos =8cos 60=4.,四,一,二,三,三、向量的数量积(或内积) 1.定义:已知两个向量a和b,它们的夹角为,我们把|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab=|a|b|cos . 2.几何意义:a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos 的乘积,或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos 的乘积. 3.物
3、理意义:力对物体做功,就是力F与其作用下物体的位移s的数量积Fs.,四,【做一做3】 若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60,则aa+ab等于( ),答案:C,一,二,三,四,四、向量的数量积的性质 1.若e是单位向量,则ea=ae=|a|cos . 2.若ab,则ab=0;反之,若ab=0,则ab,通常记作abab=0.,5.对任意两个向量a,b,有|ab|a|b|,当且仅当ab时等号成立. 知识拓展1.性质(2)可用于证明垂直问题:abab=0. 2.性质(3)表明:当两个向量相等时,两个向量的数量积等于向量长度的平方,因此可用于求向量的长度. 3.性质(4)可用于求两个向
4、量的夹角. 4.性质(5)可以解决有关“不等式”的问题. 5.由性质(5)可知abab=|a|b|.,一,二,三,四,【做一做4】 若ac=bc(c0),则( ) A.a=b B.ab C.|a|=|b| D.a在c方向上的射影与b在c方向上的射影必相等 解析:设a与c的夹角为1,b与c的夹角为2, ac=bc, |a|c|cos 1=|b|c|cos 2. c0,|a|cos 1=|b|cos 2. 答案:D,一,二,三,四,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)向量a在向量b上的射影一定为正数. ( ) (2)向量的数量积运算满足(ab)c=a(
5、bc). ( ) (3)已知a0,且ac=ab,则b=c. ( ),答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,求平面向量的数量积 【例1】 已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120,求: (1)ab;(2)a2-b2;(3)(2a-b)(a+3b);(4)|a+b|. 思路分析:依据数量积、模、夹角的定义逐一进行计算即可 解:(1)ab=|a|b|cos 120=23 =-3. (2)a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5. (3)(2a-b)(a+3b)=2a2+5ab-3b2=2|a|2+5|a|b|cos 120-3|b|2 =8-15
6、-27=-34.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,反思感悟(1)解决几何图形中的向量的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并写出相应点的坐标即可求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,利用数量积的性质求向量的模,解:(1)因为a2=|a|2=25,b2=|b|2=25,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,反思感悟根据数
7、量积的定义aa=|a|a|cos 0=|a|2,得|a|= ,这是求向量的模的一种方法.即要求一个向量的模,先求这个向量与自身的数量积(一定非负),再求它的算术平方根.对于复杂的向量也是如此.例如,求|a+b|,可先求(a+b)2=(a+b)(a+b),再取其算术平方根即为|a+b|.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练2若向量a与b的夹角为60,|b|=4,(a+2b)(a-3b)=-72,则|a|= . 解析:由(a+2b)(a-3b)=a2-ab-6b2=|a|2-|a|4cos 60-616=-72,得|a|=6(|a|=-4舍去). 答案:6,探究一,探究二,探究三,
8、探究四,易错辨析,利用数量积求向量的夹角 【例4】 (1)若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)b=0,则a与b的夹角为( ) A.30 B.60 C.120 D.150 (2)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b的夹角及a与a-b的夹角. 思路分析:(1)将已知条件展开变形后利用数量积的定义求解; (2)可采用数形结合的方法构成平面图形求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,(1)解析:因为(2a+b)b=0,所以2ab+|b|2=0. 设a,b的夹角为, 则2|a|b|cos +|b|2=0. 又|a|=|b|, 所以2|b|2cos +|b|
9、2=0, 因此cos =- ,从而=120.故选C. 答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,AOC=60,即a与a+b的夹角为60. AOC=60,AOB=120.,即a与a-b的夹角为30.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,反思感悟求向量夹角的方法 1.求向量的夹角,主要是利用公式cos = 求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出ab的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,ab三者之间的关系,然后代入求解. 2.求向量的夹角,还可结合向量线性运算、模的几何意义,利用数形结合的方法求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练
10、3已知a,b均为单位向量,(2a+b)(a-2b)= ,则向量a,b的夹角为( ),答案:A,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,利用向量的数量积解决有关的垂直问题 【例5】 已知|a|=3,|b|=2,向量a,b的夹角为60,c=3a+5b,d=ma-3b,求当m为何值时,c与d垂直. 思路分析:充分利用ab=0ab这一条件.把问题转化为解方程. 解:由已知得ab=32cos 60=3.若cd,则cd=0,cd=(3a+5b)(ma-3b)=3ma2+(5m-9)ab-15b2=27m+3(5m-9)-60=42m-87=0,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,反思感悟向量垂直问
11、题的解决方法 1.直接法.证明或求解两个向量的夹角=90即可. 2.数量积运算法.对非零向量a,b,abab=0,这是非常重要的方法,也是向量数量积的重要性质. 3.当然有很多情况要借助数量积的运算律先加以转化,再利用垂直的条件.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练4(1)已知非零向量a,b,若a+2b与a-2b互相垂直,则 等于( ),(2)已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120.求证:(a-b)c. (1)解析:由a+2b与a-2b互相垂直,得(a+2b)(a-2b)=0,所以|a|2-4|b|2=0,即|a|2=4|b|2,答案:D,(2)证
12、明:(a-b)c=ac-bc=|a|c|cos 120-|b|c|cos 120,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,因对向量的夹角理解不正确而致误,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,纠错心得1.要明确两向量夹角的定义及范围. 2.在三角形中往往容易把角的大小与向量夹角的大小混为一体.,1,2,3,4,5,6,答案:B,1,2,3,4,5,6,答案:A,1,2,3,4,5,6,3.已知两个单位向量e1,e2的夹角为45,且满足e1(e2-e1),则实数的值为( ),答案:B,1,2,3,4,5,6,4.已知向量a,b满足ab=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|= . 解析:|2a-b|2=4|a|2-4ab+|b|2=4-0+4=8, 故|2a-b|=2 . 答案:2,1,2,3,4,5,6,答案:22,1,2,3,4,5,6,6.已知|a|=6,|b|=5.当:ab,ab,a与b的夹角为45时,分别求a与b的数量积. 解:当ab时,若a与b同向,则a与b的夹角=0,所以ab=|a|b|cos =65cos 0=30;若a与b反向,则a与b的夹角=180,所以ab=|a|b|cos 180=65(-1)=-30. 当ab时,向量a与b的夹角为90, 所以ab=|a|b|cos 90=650=0.,
