1、 1排列组合排列组合一、主要知识1、排列数公式： 0! = 1 ),()!()1()1( NmnnmnAm 2、组合. 组合数公式： )!(!CCnmn 两个公式： ;nmnmn113、排列与组合的联系与区别.联系：都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素.区别：前者是“ 排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系 .4、二项式定理.二项式定理： .nrnnn baCbabaCba 010)( 展开式具有以下特点： 1项数：共有 项； 2系数：依次为组合数 ;,210 nrnnn3每一项的次数是一样的，即为 n 次，展开式依 a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.4二项展开式
2、的通项. 展开式中的第 项为： .ba)（ 1r ),0(1ZrnbaCTrnr 5二项式系数的性质.在二项展开式中与首未两项“ 等距离”的两项的二项式系数相等；二项展开式的中间项二项式系数最大.I. 当 n 是偶数时，中间项是第 项，它的二项式系数 最大；12n2nCII. 当 n 是奇数时，中间项为两项，即第 项和第 项，它们的二项式系数 最大.21221nC系数和：1314201 22nnnnCC二，基础练习 (1)，过手练习1、某校公开课共 10 节，其中 4 节语文，3 节数学，3 节外语，若要求选一堂课进行录像，则共有种方法，若要求三门学科各选一堂课进行录像，则有 种方法_ _22
3、、5 位高中毕业生，准备报考三所院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有 种_3、由数字 1，2，3 可组成 个三位数_4、用 1、2、3、4 四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（ ）A、265 个 B、232 个 C、128 个 D、24 个5、 （05 全国）在由数字 0，1，2，3，4，5 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被 5 整除的数共有 个.6、从 6 名运动员选出 4 人参加 接力赛，如果甲乙两人都不跑第一棒，则共有m0种不同的参赛方案_7、 ,集合 M 满足 A 是 M 的真子集且 M 是 B 的真子集，这样的集合,fedcbaBA设M 共有 个_8、由三个 3 和
4、两个 2 可组成 个不同的五位数_9、从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取三台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种10、若 ，则 若 ，则 xxC20720_2113xxxCC_11、书架上的一格内有排好顺序的 6 本书，如果保持这 6 本书的相对顺序不变，再放上三本书，则不同的放法共有 种12、一个小组有 10 名同学，其中 4 名女生，6 名男生，现从中选出 3 名代表，其中至少有一名女生的选法有 种_13、某校刊有 9 门文化课专栏，由甲、乙、丙三位同学每位负责 3 个专栏，其中数学专栏由甲负责，则不同的分工方法共有 _14、从 5 名男生和 4 名女生中，选出
5、3 人分别承担三项不同的工作，要求 3 人中既有男生，又有女生，则不同的选配方法共有 种_（2） 、例题讲解例 1、 （1）集合 ，从集合 M 到集合 N 的不同映射有 个1,0,NedcbaM _（2）集合 ，映射 使对任意 都有 为奇数，这样的543210f:x)(xf映射有 个_（3）从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有（ ）种A、8 种 B、12 种 C、16 种 D、20 种（4）用 1、2、3、4、5 这五个数字，可以组成 个没有重复数字的自然数_3例 2：（1）求值 nnC32183 21025423AA(2)已知 ，求 已知 ，求15:6:)1
6、(2nCnxxC2152例 3：用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的四位数（1） 可组成多少个不同的四位数 （2）可组成多少个不同的四位偶数 （3）可组成多少个能被 3 整除的四位数 例 4由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是（A）72 （B）96 （C） 108 （D ）144 w_w_w.k*s 5*u.c o*m例 5 8 名学生和 2 位第师站成一排合影，2 位老师不相邻的排法种数为（A） 29 （B） 829A （C） 827A （D） 827AC （3） 、反馈练习：1、某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其
7、中的一本，则购买方案有（ ）A、3 种 B、6 种 C、 7 种 D、9 种2、乘积 展开后的不同项数为（ ）)1()(1(223 zyxA、9 B、12 C、18 D、243、火车上有 10 名乘客，沿途还有 5 个车站，乘客下车的可能方式有（ ）、 种 、 种 、 种 D、以上都不对105504、5 名同学站成一排，其中甲不站在排头的种数有 种_5、在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数有 个6、在 个不同的小球取 个放入 个有编号的小盒中（ ） ，每盒只放一个，其中某一个小球必nmnm须放在某一个指定的小盒中，则有 种不同的放法_7、在 个不同的小球取 个放入 个有编号的小盒中（
8、 ） ，每盒只放一个，其中某一个小球不能放在某一个指定的小盒中，则有 种不同的放法48、设含有 8 个元素的集合的全部子集数为 S，其中由三个元素组成的子集数为 T，则 的值为S_9、直线 上有 7 个点，直线 上有 8 个点，则通过这些点中的两点最多有 条直线lm_10、从编号为 1，2，3，4，5 的五个球中任取 4 个，放在标号为 A、B 、C、D 的四个盒子里，每盒一球，则不同的放法种数为 （用数字作答）_11、用 0 到 9 这十个数字，可组成 个没有重复数字的三位数_12、四个不同的小球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法有 种_13、 （05 福建）从
9、6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有( )A300 种 B240 种 C144 种 D96 种14、要从 12 人中选出 5 人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同的选法？（只要求列式）（1）A、B、C 三人必须入选 （2）A、B、C 三人不能入选（3）A、B、C 三人只有一人入选 （4）A、B、C 三人至少一人入选（5）A、B、C 三人至多两人入选解排列组合应用题的策略1.相邻问题捆绑法:例 1. 五人并排站成一排，如果 必须相邻且 在 的右边，那么不同的排法种
10、数有,ABCDE,ABAA、60 种 B、48 种 C、36 种 D、24 种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A、1440 种 B、3600 种 C、4820 种 D、4800 种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3. 五人并排站成一排，如果 必须站在 的右边（ 可以不相邻）那么不同的排法,CDEBA,B种数是（ ） A、24 种 B、60 种 C、90 种 D、120 种54.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二
11、步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例 4.将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例 5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A、1260 种 B、2025 种 C、2520 种 D、5040 种6.全员分配问题分组法:例 6.（1）4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去，每所学校至
12、少去一名，则不同的保送方案有多少种？7.名额分配问题隔板法:例 7：10 个三好学生名额分到 7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例 8.某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例 9（1）由数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A、210 种 B、300 种 C、464 种 D、600 种10.交
13、叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式.()()()nnA例 10.从 6 名运动员中选出 4 人参加 4100 米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例 11.1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例 12.（1）6 个不同的元素排成前后两排，每排 3 个元素，那么不同的排法种数是（ ）A、36 种 B、120 种 C、72
14、0 种 D、1440 种13.“至少” “至多”问题用间接排除法或分类法:例 13.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ） A、140 种 B、80 种 C、70 种 D、35 种14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取6后排法.例 14.（1）四个不同球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.例 15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（
15、 ）A、70 种 B、64 种 C、58 种 D、52 种二项式定理例 1 在二项式 的展开式中，含 x4 的项的系数是 _52)1(x例 2 (1)若(1x )n的展开式中，x 3 的系数是 x 系数的 7 倍，求 n 的值_例 3 求 的展开式中 x 的系数为有理数的项的个数_1032(例 4 已知 的展开式中，第 3 项与第 6 项的系数互为相反数，求展开式中系数最小的项nx)_例 5 已知(a 21) n的展开式中的各项系数之和等于 的展开式的常数项，而52)1(x(a21) n的展开式中的系数最大项等于 54，求 a 的值_，例 6 已知(12x )7a 0a 1xa 2x2a 7x7求：(1)a1a 2 a 7；(2)a1a 3a 5a 7；(3)a0a 2a 4a 6；(4)a 0 a1a 2a 7例 7 若多项式 x2x 10 a0a 1(x1)a 2(x1) 2a 9(x1) 9a 10(x1) 10，则 a9_例 8 的展开式中常数项为_(用数字作答)8)(
