1、定积分中的几何直观方法与不等式的证明梅求兵（061114216）（孝感学院 数学与统计学院 湖北 孝感 432000）摘要：一些高指数的不等式，如果借助算术几何均值不等式或者通过分解因式再进行放缩的话，一般都要分 与 进行讨论证明，往往证明起来01p很麻烦，若借助数学分析中的定积分来进行证明的话，会大大简化其证明工序，也很简单，灵活的选取合适的初等函数进行定积分，再求和会得到意想不到的效果。关键词：高指数；不等式；算术几何均值；定积分；数列1 引言文1中给出了一个不等式：（ ） 12()2ni1n（1）田寅生对（1）进行了指数推广，其结果是命题1 【2】 设 且 ， ， ，则有pR0pn1 1
2、1()ppknn（2）文2的证明方法是借助于算术几何均值不等式，分 与 进行01p讨论证明，读者不难看出，不仅过程繁琐，而且对其证明思路难以把握。文3 中利用微分中值定理给出了它的另一种证法。 文4借助定积分的方法，给出了一种很自然的证明 【4】 ：命题1的证明 【4】 当 ， 时，对于 ，有 ，0p1k1kx(1)ppkx即，(1)ppkxk两边取积分，得， 111()kkkpppdxdx（3）即得11()()pp pkkk（4）对（3）两边分别求和，即得1 11()np ppkn（5）命题1得证。该证明方法简单自然，几何意义直观。不等式（3）的几何意义是：如图1，以 为边的曲边梯形的面积介
3、于两个矩形的面积之间，根据定积分的几pyx何意义，即知上面不等式中三部分分别代表了它们的面积。（图1）在文5中，又把（1）式推广为：命题2 【】 已知 为等差数列且 ，公差 ，则na10a0d（6）1 1122()()nnini ad其证明方法与文1本质上是一样的。本文将借鉴4中方法，即利用定积分的几何直观方法，把有关结果作进一步的推广。 主要结果下面借鉴文4中定积分的的方法，把命题2推广为定理1 设 为等差数列且 ，公差 ， ， ， ，则na10a0dp1n（7）1 11 1()() )npn np pi ad a 为证明定理 1，先证明下面的引理引理 1 设 为等差数列且 ，公差 ， ，
4、， ，na10a0dn则（8）11()pkp pk kada证明 因为数列 是等差数列，且 ，所以该数列是一个单调n10,d递增的正数列，又因为 ，不妨令 ，则有0pkkxapp1即pkpkax11（9）对（9）两端在 上取积分，有1,ka111kkkaaapppdxxdx（10）即11 1()pkp pk kdada（11）由（11） ，即得 11()pkp pk kaada定理 1 的证明 由引理 1 可得11()pkpkad（12） 对（12）式的两边同时求和，得 111()nnpkpkkaad即 11()n pnpk aad故有 11 1()npnp pkaada同理，由（13）1()
5、pkpkda对式（13）的两边同时求和，可得到 11()npnpiada故定理 1 得证。引理 1 的证明中几何意义十分明显，参见下面的图 2。（图 2）如果注意到函数 （ ）是下凸函数，利用关于下凸函数图像1()pfx0的下列两条几何性质：性质 1 任意两点间的弧段总在这两点连线的上方；性质 2 曲线总在它的任一切线的上方。那么可以对引理 1 中的不等式（8）进一步精细化，得到定理 2 设 为等差数列且 ，公差 ， ， ， ，na10a0dp1n则111 1()()2)2ppkkp ppk kkdaa a （14）证明 因为 （ ）是下凸函数，由上述两条性质，得()pfx01111()()(
6、)kkkkkk kfaffafafxxa 即得（15）1 11()()pp kkk kp pk aaxxa 对（15）两端在 上积分，得（14）成立。,定理 2 证明的几何意义，可参考下面图 3。（图 3）推论 1 当 ， 时，有0p1k11()()() 2()ppp pppkk kk该结果显然比（4）式更为精细。 应用例子例1 【】 试求 的整数部分 11230,x x解 由（1）式，得 1910x于是可以判断 ，故 。989x8例2 【】 试求 的值，式中5110,01,0x解 由命题 1，可得 8.2x所以 。509x例3 设 ，求不超过 的最大整数 3311220 xx解 对本问题，如
7、果运用命题1或命题2将无法计算，我们运用定理1便会迎刃而解， （ ），令数列 的通项公式为 ， ，201pkx3nana31p，n由定理1，可得 1 13 3(20)20x即4.238.7x所以 。238x例4 设 ，求 的近似值（绝对误差不33332222111790s s超过 ）0.6解 记数列 是以 为首项，公差 的等差数列，那 ，na212d941pksa这里 ，由定理1，得23p2 21 13 323(057)(07)2)s 即 14.52s.由绝对误差不超过0.06，而14.512-14.454=0.0580.06，故s 可以取14.454到14.512任何一个数即可，不妨取s=1
8、4.49。4 其它应用在文6中，作者给出了二次根式的一个不等式：命题 3【】 设 ,则0,yxp（16）yxp当且仅当 x=0 或 y=0 时， （1）的等号成立。原证比较简短，但我们更关心的是不等式（16）是如何得到的，换言之，这类不等式具有什么样的几何意义？考虑函数 与 ， ，则由 ，得txf21)(ytg21)( xpttfgxpxpdtf即（17）pxypxp由于不等式（16）与（17）等价，而不等式（17）具有鲜明的几何意义，它的左右两端分别代表两个曲边梯形的面积 （如图 4）（图 4）事实上，许多重要不等式都具有类似的几何意义，如不等式（ ） xx)1ln(0（18）就可以利用 x
9、xxdttdt000211（19）来认识其几何意义。由此可知，通过对一些简单的不等式积分，可能获得另一个不是十分明显的不等式。下面例子选自高等数学附册学习辅导与习题选解一书，我们将用利用定积分的几何直观方法进行新的证明，并改进其结果。命题4 【7】 设 ，证明0p（20）10pdx文献7关于不等式（ 20）的证明思路是： 101ppxd111000()pppdxxx而 ，故有 ，因此1px1100ppx1100ppxdd由此可知（20）式左侧的不等式成立，至于（20）式右侧的不等式，那是显然的。另证 因为 （ ）是下凸函数，函数 在 点的切线1()fx0,x()fx0,1方程为 ，根据下凸函数
10、的几何性质，有1y（21） 1x当 ， 时，有 ，将（21）中的 换成 ，得0,xp0,pxp（22） ppx再对（22）两端在 上积分，立得结论成立。0,1下面改进不等式（20）两端的常数，将得到如下更加精细的结果：推论2 设 ，则0p10321max,14()2()ppdx证明 考虑函数 在 点的切线方程为 ，而函数的两个端)f,234yx点 、 的连线方程为 ，根据下凸函数的几何性质，有(0,1),21yx（23）34x将（23）中的 换成 ，得xp（24）31142pppxx再对（24）两端在 上积分，得0,103214()2()ppdx再结合命题4所证，故得。10321max,14(
11、)2()ppdx参考文献：1 徐利治，王兴华. 数学分析的方法及例题选讲M. 北京 : 高等教育出版社, 19842 田寅生. 一个不等式的指数推广及应用J. 中学数学月刊， 2003（9）3 刘玉琏等. 数学分析讲义练习题选解( 第一版) M. 北京 : 高等教育出版社, 19964 胡付高. 一个不等式的简证及其几何直观J. 中学数学 ,2004（2）5 田寅生. 一个不等式的推广、加强及应用J. 数学通报 , 2004（2）6 赵思林. 关于二次根式的一个不等式及应用J . 中学数学 , 2007（9）Comment 入入入入1: 另加若干参考文献7 同济大学应用数学系. 高等数学附册, 学习辅导与习题选解 M. 北京: 高等教育出版社, 1983
