1、一个汽车制造商售出某品牌的汽车可获利 1500 美元,估计每 100 美元的折扣可以使销售量提高 15%。多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。对你所得的结果，求关于所做的 15%假设的灵敏性。分别考虑折扣量和相应的收益。假设实际每 100 美元的折扣仅可以使销售量提高 10%，对结果会有什么影响？如果每 100 美元的折扣的提高量为 10%15%之间的某个值, 结果以如何.什么情况下折扣会导致利润的降低。运用五步法求解上面问题。提出问题(问题)选择建模方法(方法)推导模型的数学表达式求解模型回答问题。问题的提出1.具体问题多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优
2、化模型。对你所得的结果，求关于所做的 15%假设的灵敏性。分别考虑折扣量和相应的收益。假设实际每 100 美元的折扣仅可以使销售量提高 10%，对结果会有什么影响？如果每 100 美元的折扣的提高量为 10%15%之间的某个值, 结果以如何.什么情况下折扣会导致利润的降低。2.符号的说明 P利润（美元） ；x折扣（美元）0q没有折扣时的销售量（量）打折后得销售量（辆）P利润r 每 100 美元折扣提高的销售量3.模型的假设打折后每辆汽车的利润（1500- ） （美元） ；x打折后得销售量 （辆） ；0%)15(qq利润 （美元） ；0)150(xP折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低 美元
3、,销售量就提高x10了 。x%15问题的分析根据题意，以目前的价格 P，销售量为 n，利润为 ，现厂150)(CP家估计每 100 美元的折扣可以使销售量提高 15%，我们假设折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低 美元,销售量就提高了 ，现需决定 x 的大x10x%小，使得厂商获取最大利润。模型的建立与求解1.提出问题根据题意，以目前的价格 P，销售量为 n，利润为 ，现厂150)(CP家估计每 100 美元的折扣可以使销售量提高 15%，我们假设折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低 美元,销售量就提高了 ，现需决定 x 的大x10x%小，使得厂商获取最大利润。所以目标时求利润 的最大
4、值。2.选择建模方法设 在 处是可微的，若 在 处达到极大或极小, 则)(xfyS)(xf。0)(f3.推导模型公式 记 作为求最大值的目标变量， 自变量，我们的问题就化为在集0/qPy x合 上求下面函数的最大值:xS %)150)(15()xxfy4.利用第二步中确定的标准过程求解这个模型对 在区间 x0 上求最大值。利用%)150)(15()xxfymatlab 软件作出 的图像。fz程序：x=400:450;y=(1500-x).*(1+x./100*0.15);plot(x,y)400 405 410 415 420 425 430 435 440 445 4501758.61758
5、.817591759.21759.41759.61759.817601760.21760.41760.6图 1 折扣 x 与利润的关系如图 1 可知 关于 x 是二次的曲线图，易得 ，)(fy 25.103.)(xf则在 处 。由 f 在区间 上单升,而在区间3250x 3250,上单减. 故点 是整体最大值点.,131250x因为 ,从而点 是 f 在整个实轴上的整4.76)3250(f 4.1760,325,y体最大值点,也是区间 x0 上的最大值点。5.回答问题由第四步我们得到的答案是在打约 416.7 美元的折扣的时候，可以获得最大利润。只要第一步假设成立，这一结果就是正确的。对问题二
6、进行粗灵敏度分析前面我们假定 （辆/百美元） ，现在假设 的实际值是不同的，对几15.0r r个不同的 值，重复前面的求解过程,我们会对问题的解关于 r 的敏感程度有所了解.即给定 对 求导，令 ，可得相应r )10)()rxxfy0)(xf值，不同的 值求出 如表 1。x表 1 所打折扣 x 关于销售量的增长速率 r 的灵敏性r 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15x 250.00 295.45 333.33 365.38 392.86 416.67P 1562.50 1596.02 1633.33 1673.56 1716.07 1760.42将表 1 中的数据绘制在图
7、 2 中。0501001502002503003504004505000 0.05 0.1 0.15 0.2rx+图 2 折扣 x 关于销售量的增长速率 r 的曲线根据图 1 我们可以看出折扣 对参数 是很敏感的.r由第知折扣 与参数 之间的关系为 ，所以当每 100 美元xrrx507的折扣仅可以使销售量提高 10%，即 时，折扣为 250 可以是利润最大，%10此时最大利润为 1562.50 。 将 代入，可得利润0qr，利用 matlab 软件做出 的图 2。75256rP )(rfy程序如下：r=0.1:0.001:0.15;y=5625*r+25./r+750;plot(r,y,g*)结果如下：0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16155016001650170017501800图 3 利润 p 关于销售量的增长速率 r 的曲线所以当每 100 美元的折扣的提高量为 10%15%之间的某个值时,总利润随着这个值得增加而增加。 将初始销售量看成常量 1，则不的打折利润为 1500，现在利润，当利润下降时，就有 ，即502.105.xP 150P解得 ，即当折扣大于 833.33 美元时，,2x 3.8x利润会降低。汽车制造商要保证售出该品牌的汽车可获利 1500 美元,折扣就要低于833.33 美元。
