1、第 1 页 共 7 页南通市 2011届高三第二次调研测试参考答案及评分建议一、填空题：1. xy2=0 2. 3. 真 4. 5. 2 6. 7. 82526720，12 8. 105 9. （或 ） 10. 1 11. 2112. 13. 14. 312， 1502，二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.【证明】由题意可知， 为等腰直角三角形， 为等边三角形2 分PACABC（1）因为 为边 的中点，所以 ，OBO因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，OABC所以 面 5 分B因为 平面 ，所以 ，PACPA在等腰三角形 内， ，
2、 为所在边的中点，所以 ，EEP又 ，所以 平面 ；8 分OEBO（2）连 AF 交 BE 于 Q，连 QO因为 E、 F、 O 分别为边 PA、 PB、 PC 的中点，所以 ，且 Q 是 PAB 的重心，10 分2AG于是 ，所以 FG/QO. 12 分FO因为 平面 EBO， 平面 EBO，所以 平面 14 分FGEBO【注】第（2）小题亦可通过取 PE 中点 H，利用平面 FGH/平面 EBO 证得.16 【解】 （1） = = 3 分 2()3cosincos2xxfx3(1cos)inx2cos36x由 ，得 ， 5 分2cos166于是 ，因为 ， 所以 7 分()3xkZ2x或2
3、6x或（2）因为 ，由（1）知 9 分(0)C或6C因为 ABC 的面积为 ，所以 ，于是 . 231sin2ab23ab在 ABC 中，设内角 A、 B 的对边分别是 a， b.由余弦定理得 ，所以 221cos66ab27由可得 或 于是 12 分3， .， 3abPABCOEFGQ第 2 页 共 7 页OA1A2B1B2xy(第 17题)TQPNMSRMNPQBCAD甲 乙由正弦定理得 ，sinisin12ABCab所以 14 分31i217 （本小题满分 14 分）【解】 （1）设椭圆 E 的焦距为 2c（ c0） ，因为直线 的倾斜角的正弦值为 ，所以 ，1AB13213ba于是 ，
4、即 ，28ab228()ac所以椭圆 E 的离心率 4 分2147.e（2）由 可设 ， ，则 ，14e0akck2bk于是 的方程为： ，1AB24xy故 的中点 到 的距离 ， 6 分2O0k, 1ABd423k又以 为直径的圆的半径 ，即有 ，所以直线 与圆 相切. 8 分2rkr1ABC（3）由圆 的面积为 知圆半径为 1，从而 ， 10 分C2设 的中点 关于直线 ： 的对称点为 ，2A10, AB0xymn, 则 解得 12 分,422nm 4213mn, 所以，圆 的方程为 14 分C2xy18 （本小题满分 16 分）【解】 （1）如右图，过 S 作 SH RT 于 H， S
5、RST= 2 分RT21由题意， RST 在月牙形公园里， RT 与圆 Q 只能相切或相离；4 分RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有 RT4， SH2，当且仅当 RT 切圆 Q 于 P 时（如下左图） ，上面两个不等式中等号同时成立 此时，场地面积的最大值为 S RST= =4（km 2） 6 分142第 3 页 共 7 页（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大， AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD 必须切圆 Q 于 P，再设 BPA= ，则有11 2sin2sin(2)4(sincos)02ABCDS四 边 形 8 分令 ，则coisny 11 分)sin(is
6、co 1cos2若 ， ，0123或又 时， ， 时， ， 14 分3或0y2或0y函数 在 处取到极大值也是最大值，cosinsy3故 时，场地面积取得最大值为 （km 2） 16 分319 （本小题满分 16 分）【解】 （1）由 = +(1) 得到 = ，ONAOBNA所以 B， N， A 三点共线， 2 分又由 x= x1+(1) x2与向量 = +(1) ，得 N 与 M 的横坐标相同 4OB分对于 0，1上的函数 y=x2， A(0，0)， B(1，1)，则有 ，故 ；214MNx 104MN，所以 k 的取值范围是 6 分，（2）对于 上的函数 ， A( )， B( )， 8 分
7、1em或lnyxem或1em或则直线 AB 的方程 ， 10 分1em令 ，其中 ，()ln()hxx 1emxR，于是 ， 13 分1em列表如下：x em (em，e m+1e m) em+1e m (em+1e m，e m+1) em+1()h+ 0 0 增 1()h减 0则 ，且在 处取得最大值，MNx1em又 0.123 ，从而命题成立 16 分1 2(e)lnmh8第 4 页 共 7 页20(本小题满分 16 分)【解】 （1）当 时， ；n1a当 时， ，*2N ， 221()na所以 ；()na综上所述， 3 分*1()（2）当 时，若存在 p， r 使 成等差数列，则 ，1k
8、1kpra， ， 1231rpkpa因为 ，所以 ，与数列 为正数相矛盾，因此，当 时不存在； 5 分2p 0rn当 时，设 ，则 ，所以 ， 7 分k kpraxyz， ， 12xzy2xyz令 ，得 ，此时 ， ，21yx(2)z1ka1(2)1pak所以 ， ，pk 2143(5)rk所以 ；245r综上所述，当 时，不存在 p， r；当 时，存在 满足题设.1k 221,45pkrk10 分（3）作如下构造： ，其中 ，12 32(3)(3)5(5)nn nakaa， ， *N它们依次为数列 中的第 项，第 项，第 项， 12 分6k28k103k显然它们成等比数列，且 ， ，所以它们
9、能组成三角形123nn123n由 的任意性，这样的三角形有无穷多个 14 分*kN下面用反证法证明其中任意两个三角形 和 不相似：1ABC2若三角形 和 相似，且 ，则 ，1ABC22k11222(3)5(3)5kk整理得 ，所以 ，这与条件 相矛盾，1253k1212因此，任意两个三角形不相似故命题成立 16 分【注】1.第（2）小题当 ak不是质数时， p， r 的解不唯一；2.第（3）小题构造的依据如下：不妨设 ，且 符合题意，则公比 1，123n123nna， ， q因 ，又 ，则 ，所以 ，因为三项均为整数，123nna123nnaq5q所以 为 内的既约分数且 含平方数因子，经验证
10、，仅含 或 时不合，所q5， 1n 213以 ；12*(3)()nakpN，3第（3）小题的构造形式不唯一第 5 页 共 7 页数学 II（附加题）21 【选做题】本题包括 A，B，C，D 四小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲【解】因为 MA 为圆 O 的切线，所以 2MBC又 M 为 PA 的中点，所以 P因为 ，所以 5 分BPC于是 在 MCP 中，由 ，得 MPB=20 10 分180BPB选修 42：矩阵与变换【解】由特征值、特征向量定义可知， A ，1即 ，得 5 分1 abcd.abcd，
11、同理可得 解得 因此矩阵 A 10 分328， 2321， ， ， d231C选修 44：坐标系与参数方程【解】 化简为 ，cos2cosin4则直线 l 的直角坐标方程为 4xy分设点 P 的坐标为 ，得 P 到直线 l 的距离 ，2cosin，2cosin4d即 ，其中 85sin4d1cos,sin55 分当 时， 10 分sin1-max102dD选修 45：不等式选讲【解】因为正数 a， b， c 满足 a+b+c=1，所以， ，5 分2113232132bc即 ，abc当且仅当 ，即 时，原式取最小值 1 10 分323213abc【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10
12、分，共计 20 分（第 21A 题）第 6 页 共 7 页22.【解】(1)不妨设正方体的棱长为 1，以 为单位正交基底建立如图所示的空间直角1,DAC坐标系 则 A(1，0，0)， ， ， D1(0，0，1)， E ， Dxyz02O， ， ， ， 142， ，于是 ， .142E或1C， ，由 cos .1或1|ED36所以异面直线 AE 与 CD1所成角的余弦值为 5 分（2）设平面 的 向 量 为 ，由1CO1(,)mxyz 10,COmD得 取 x11，得 ，即 7 分10xyz或1(),由 D1E EO，则 E ， = .2()()或 E12(1)()或又设平面 CDE 的法向量为
13、 n( x2， y2， z2)， 由 n 0， n 0.CDE得 取 x2=2，得 z2，即 n(2，0，) .22200(1)()1yxyz或或因 为 平 面 CDE 平 面 CD1F， 所 以 mn 0， 得 2 10 分23 【解】 （1）所抛 5 次得分 的概率为 P( i)= (i=5，6，7，8，9，10)，51Ci其分布列如下：E = = (分) . 5 分5105C2ii1（2）令 pn表示恰好得到 n 分的概率. 不出现 n 分的唯一情况是得到 n1 分以后再掷出一次反面. 因为“不出现 n 分”的概率是 1 pn， “恰好得到 n1 分”的概率是 pn1 ，因为“掷一次出现反面”的概率是 ，所以有 1 pn= pn1 ， 7 分22即 pn = .23123np于是 是以 p1 = = 为首项，以 为公比的等比数列. n 1125 6 7 8 9 10P 1325165321A1BADCBAO（第 22 题）EBAB1CBAA1CBACBAC1D1第 7 页 共 7 页所以 pn = ，即 pn . 23161n123n答：恰好得到 n 分的概率是 . 10 分n
