1、第四章 一元函数积分学,第一节 不定积分的概念与性质 第二节 不定积分法 第三节 定积分的概念与性质 第四节 牛顿-莱布尼兹公式 第五节 定积分的换元法与分部积分法 第六节 广义积分 第七节 数学实验四 用Mathematica计算积分,第四章 一元函数积分学,微分和积分是高等数学中的两大基本运算.微分的基本问题是:已知一个函数,求它的导数.但是,在许多实际问题中往往会遇到反问题:已知一个函数的导数,求原来的函数.由此产生了积分学.积分学包括不定积分和定积分两大部分.,第一节 不定积分的概念与性质,一、原函数,证,二、不定积分,证,由导数与不定积分定义，很容易得到如下规律：,（微分运算与不定积
2、分的运算是互逆的！）,三、不定积分的几何意义,由于不定积分是微分的逆运算，所以根据微分基本公式就得对应的积公式：,四、基本的积分公式,以上13个公式是积分法的基础，必须熟记，不仅要记住等式右端的结果，还要熟悉左端被积函数的形式！,由导数的运算法则和不定积分的定义，可以得到以下不定积分的运算法则.,法则1对于有限个函数的代数和也是成立的!,五、积分的基本运算法则,解,解,解,解,解,解,解,思考题,答案,答案,答案,课堂练习题,答案,答案,第二节 不定积分,利用直接积分法能计算的不定积分是非常有限的，因此有必要探索计算不定积分的新方法.本节介绍换元积分法与分部积法、换元积分法可分为第一类换元法和
3、第二类换元法.,第一类换元积分法（又称凑微分法）是与微分分学中的复合函数微分法则相应的积分法.,一、第一类换元积分法,注：换元过程可以省略.,一般地，若不定积分被积表达式能写成,下面举例说明,解,解,解,解,以上几例都是直接用凑微分求积分的，下在介绍几个常用的凑微分的等式供参考,解,解,解,解,解,解法二,解法一,二、第二类换元积分法,解,解,解,图4-3 辅助直角三角形,解,图4-4 辅助直角三角形,解,图4-5 辅助直角三角形,图4-3 辅助直角三角形,第二类换元法常用于被积函数中含有根式的情况，常用的变量替换可总结如下.,在做三角替换时，可以利用直角三角形的边角关系确定有关三角函数的关系
4、，按图做代换及还原.,本节一些例题的结果，可当作公式使用，为便于读者使用，将这些常用的积分公式列举如下.,两类换元法就介绍这里，归纳起来看，它们的实质就是变量代换，变量代换是求不定积分的最基本的方法之一。因此，善于恰当地利用变量代换是掌握积技巧的关键.想要做到恰当,第一要熟悉基本积分公式,因为变量代换最终要化为积分公式中已有的形式;第二要熟悉微分表,因为变量代换(或凑微分)时经常用到它,同时要熟具体函数及其微分特征,这样才较好地掌握换元积分法.,三、分部积分法,解,解,解,在此例中,两次用了分部积分法.,解,解,解,解法二,解法一,解法三,由例22可以看出,求不定积分,常有多种方法,比较灵活,
5、各种解法都有其特点,学习中要注意不断积累经验.,思考题,答案,答案,课堂练习题,答案,答案,答案,第三节 定积分的概念与性质,1.曲边梯形的面积,在初等数学中，已经解决了圆、三角形、矩形及多边形等图形的面积问题，而对由任意曲线所围成的一般平面图形的面积计算问题还未解决，其原因是用初等数学方法是非常困难的. 这里介绍计算曲边梯形的面积的方法，有了这种方法就可以解决一般封闭图形的面积问题.,一、两个实例,(见图47),2.变速直线运动的路程,以上的两个实例具有不同的实际意义,但计算这些量时使用的方法是相同的.抛开这些问题的具体意义,由表达式在数量关系上的共同特性,抽象出定积分的概念.,二、定积分的
6、定义,关于定积分的定义做以下三点说明.,三、定积分的几何意义,例1 用定积分表示图4-9中四个图形阴影部分的面积,解,4-9(a),4-9(b),4-9(c),4-9(c),解,由定积分的定义，可以直接推证定积分具有下述性质，其中所涉及的函数在讨论的区间都是可积的.,性质1 被积表达式中的常数因子可以提到积分号前，即,性质2 两个函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即,（这一结论可以推广到任意有限个多个函数代数和的情况！）,四、定积分的性质,性质3 对任意点c，有,性质4,性质5,性质6,性质7,证,解,例4 比较下列各对积分值的大小,解,思考题,答案,答案,答案,课堂练习题,答案,答案,
7、第四节 牛顿-莱布尼兹公式,定积分作为一种特定和式的极限，如果按定义计算定积分是很复杂、很困难的，所以本节将通过对定积分与原函数的讨论，寻找一种计算定积分简便而效的方法.,一、积分上限函数,证,这个定理一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面提供了在定积分与原函数之间建立联系的可能性！,解,解,证,二、牛顿莱布尼兹公式,解,解,解,解,解,解,解,思考题,答案,答案,答案,课堂练习题,答案,答案,答案,第五节 定积分的换元法与分部积分法,前面学习了使用换元积分法求已知函数的原函数，在某些条件下换元积分法也可以用计算定积分.,式（4-9）称为定积分的换元公式,一、定积分的换元法,在应用定积
8、分的换元公式（4-9）时，应注意,解,这一解法没有引入新的积分变量.计算时，原积分的上、下限不要改变 .,解,解,先把被积函数化简,证,在计算对称区间上的定积分时，如果能判定被积函数的奇偶性，利用这一结果可使计算简化.,解,解,解,式（4-10）称为定积分的分部积分法，其方法与不定积分相类似，但其结果不相同.,(定积分是一个数值，面不定积分是一类函数！),二、定积分的分部积分法,解,解,解,思考题,答案,答案,答案,课堂练习题,答案,答案,第六节 、广义积分,前面曾提到，若被积函数在积分区间上有无穷不连续点时，不能应用牛顿-莱布尼兹公式计算.这是因为牛顿-莱布尼兹公式的使用受到以下两个条件的限
9、制.,为了使定积分的应用更加广泛，将上述两个条件放宽，使得公式对积分区间为无穷区间，或被积函数在有限的积分区间上为无界函数的积分也能使用.这两种积分称为广义积分，相应地，前面讨论的积分称为常义积.本书仅讨论积分区间为无穷区间的广义积分.,一般地，对于积分区间无限的情形，给出下面的定义 .,计算广义积分时，为了书写方便，实际计算中常常略去极限符号，形式上直接利用牛顿-莱布尼兹公式的计算式（注意是形式上）.,解,解,证,思考题,答案,答案,课堂练习题,答案,答案,第七节 数学实验四 用Mathematica计算积分,一、学习Mathematica命令,二、求不定积分,例1 计算下列不定积分：,解,三、求定积分及广义积分,例2 计算下列积分,解,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,
