1、重庆市垫江二中 10-11 学年高二上学期竞赛试题时间：150 分钟 满分：150 分 命题人：王 超一. 选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在各题所给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的代号填在答题卡上）1. 条件 ：“直线 在 y 轴上的截距是在 x 轴上截距的两倍” ；条件 ：“直线 的斜率为pl ql2” ，则 是 的 （ q）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D非充分也非必要条件2. 已知椭圆 的右焦点为 ,右准线为 ，点 ，线段 交 于点 .2:1xyFlAlFCB若 ,则 = ( )3FAB|FA. B.2 C. D.323
2、3. 函数 的定义域为 R，若 与 都是奇函数，则 ( ) ()fx(1)fx()fA. 是偶函数 B. 是奇函数 C. D. 是奇函数)f 2x(3)fx4. 已知 ，则245(xf有 （ ）2xA 最大值 1.25 B 最小值 1.25 C 最大值 4 D 最小值 15. 已知 A（-1，0）. B（1，0） ，点 C（x，y）满足2(1)xy，则 ACB= （ ）A 6 B 4 C 2 D 不能确定6. 已知点 )0,2(),(,(yxP和到 的距离相等，则 yx4的最小值为 （ ）A2 B4 C 8D 27. 在圆 内过点（ 5， 3）有 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列首2n项
3、,最长弦长为 ，若公差 1,6，那么 的取值集合 （ 1anad）A 654、 B 9876、 C 543、 D.6543、8. 已知双曲线 的准线过椭圆 的焦点，则直线 与椭圆至21xy21xyb2ykx多有一个交点的充要条件是A. B. 1,2K,2KC. D. ,9. 对于正实数 ，记 为满足下述条件的函数 构成的集合： 且 ，M()fx12,xR21x有 下列结论中正确的是 ( )212121()()()xfxfxA若 ， ，则1g12()fgMB若 ， ，且 ，则()fx2()x0x12fxC若 ， ，则1Mg()fgD若 ， ，且 ，则()fx2()x1212()fx10.古希腊人
4、常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图 2 中的 1，4，9，16，这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是 （ ）A. 289 B. 1024 C. 1225 D. 1378二. 填空题：（每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上）11. 对于椭圆 1962yx和双曲线 1972yx有下列命题：椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点;双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点;双曲线与椭圆共焦点;椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是 .12. 如图，在平面直角坐标系 中
5、， 为椭圆xoy12,AB的四个顶点， 为其右焦点，直线21(0)xyabF与直线 相交于点 T，线段 与椭圆的交点12AB1FOM恰为线段 的中点，则该椭圆的离心率为 .O13.已知函数 .项数为 27 的等差数列 满足 ，且公差xxftansi)(na2，n.若 ，则当 =_是， .0d0)(2721 ffaf k0)(kaf14. 将函数 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角46yx)6，得到曲线 .若对于每一个旋转角 ，曲线 都是一个函数的图像，则 的)(CC最大值为_15. 已知数列 满足： （m 为正整数） ， 若 ，na1 1,23nna当 为 偶 数 时 ，当 为 奇 数 时 。
6、6a 1则 m 所有可能的取值为_.三. 解答题：（共 6 题，总分 75 分）16. （本题满分 12 分）垫江县某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查，得出下表：每台空调或冰箱所需资金（百元）资金空调 冰箱月资金供应数量（百元）成本 30 20 300工人工资 5 10 110每台利润 6 8问：该商场怎样确定空调或冰箱的月供应量，才能使总利润最大？17. （本题满分 12 分）某地街道呈现东西. 南北向的网格状，相邻街距都为 1.两街道相交的点称为格点。若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点， ， ， ， ， 为报刊零售点.请
7、确定一个格点（除零售)2,(1,3()4,)3,2(5,4()6,点外）为发行站，使 6 个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.并求出最短路程.18.（本题满分 12 分）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 a元，如果他卖出该产品的单价为 m元，则他的满意度为 ma；如果他买进该产品的单价为 n元，则他的满意度为 na.如果一个人对两种交易(卖出或买进) 的满意度分别为 1h和 2，则他对这两种交易的综合满意度为 12h.现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A、B 的单价分别为
8、 Am元和 元，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 乙，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h乙(1)求 h乙和 乙关于 Am、 B的表达式；当 35时，求证： 乙= ；(2)设 35AB，当 、 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为 0h，试问能否适当选取 Am、 B的值，使得 0h乙和0h乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。19(本题满分 12 分)设 a为实数，函数 2()()|fxax.(1)若 1f，求 的取值范围；(2)求 ()x的最小值；(3)设函数 (),)hfxa，直接写出( 不需给出演算步骤)不
9、等式 ()1hx的解集.20. （本题满分 13 分）设椭圆 E: （a,b0）过 M（2， ） ，N( ,1)两点，21yb6O 为坐标原点，（I）求椭圆 E 的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。AB21. （本题满分 14 分）已知 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列.nadnbq(1) 若 ，是否存在 ，有 说明理由；31na*mkN、 1?mka(2) 找出所有数列 和 ，使对一切 , ,并说明理由；nb*nnb(3) 若 试确定所有的 ，使数列
10、 中存在某个连续 项的和是115,43,adbqpnap数列 中的一项，请证明。n重庆市垫江二中 10-11 学年高二上学期竞赛试题参考答案一.选择题1-5 BADDB 6-10 BCACC二.填空题11. 12. 13. 14 14. 15. 4 5 325722arctn3三.解答题16.设空调和冰箱的月供应量分别为 yx,台，月总利润为 z百元则 zNyx86,1053* 3 分作出可行域6 分843z，纵截距为 8z，斜率为 k= 43，满足 2015k欲 z最大，必 8z最大，此时，直线43xy必过图形 *,1053Nyx的一个交点（4，9） ， ,分别为 4，9空调和冰箱的月供应量
11、分别为 4、9 台时，月总利润为最大. 12 分17.解：设发行站的位置为 ，零售点到发行站的距离为,xy223143456zxyyxyxy这六个点的横纵坐标的平均值为 ， ，记2621372A（2， ）7画出图形可知，发行站的位置应该在点 A 附近，代入附近的点的坐标进行比较可知，在（3,3）处 z 取得最小值.即 .2minzz=6x+8y30x+20y=3005x+10y=110yx(4,9)o118.解：（1）当 时， ,35ABm 2355(0)(512BBmmh甲, h乙=2320(5)0)5BBhm乙（2）当 时，AB2 211= ,205(0)(5()0()5BBBBBhmmm
12、甲由 ，1,2,BB得故当 即 时，0B,12A甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 。05（3）由（2）知： =0h15由 得： ，0=2ABmh甲 125ABm令 则 ，即： 。35,ABxy1,4x、 (4)xy同理，由 得：0h乙 5()2y另一方面， 1,4xy、 1xx5、 +4,、 +y,2当且仅当 ，即 Am= B时，取等号。55(14),(),22y4所以不能否适当选取 Am、 B的值，使得 0h乙和 0乙同时成立，但等号不同时成立。19.解：（1）若 ，则(0)1f20|11a（2）当 时，xa2()3,fxx2min(),0()3faf当 时，22(),fa2in,()()
13、00ffaa综上2min,0()3fx（3） 时， 得 ，,a()1hx22310ax2241(8a当 时， ；6或 0,(,)x当 时，0,得：2a2233()0aaxx讨论得：当 时，解集为 ;6(,)2(,)当 时，解集为 ;,a2233,)aa当 时，解集为 .2,2,)20.解:（1）因为椭圆 E: （a,b0）过 M（2， ） ，N ( ,1)两点,21xyab6所以 解得 所以 椭圆 E 的方程为2461ab281422184xy（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且,设该圆的切线方程为 解方程组 得 ,OABykxm2184xy
14、km22()8xk即 ,22(1)480kxm则= ,即26(1)(4)0kkm2840km122xk22221212112(8)48()()11mkmkykxmkxmx 要使 ,需使 ,即 ,所以 ,所OAB120y2280k230以 又 ,所以 ,所以 ,238k24k28m2即 或 ,因为直线 为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半63m63yx径为 , , ,所求的圆为 ,此时圆21rk22831mrk26r283xy的切线 都满足 或 ,yx263而当切线的斜率不存在时切线为 与椭圆 的两个交点为x2184xy或 满足 ,26(,)326(,)3OAB综上, 存在圆心在原点的圆 ，使
15、得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点283xyA,B,且 .OAB因为 ,12248kmx所以 ,2222211148(4)()()()11kmkmxx 22222111()|()()AByxk,422435311k当 时0k21|4ABk因为 所以 ,2148k2018k所以 ,234k所以 当且仅当 时取”=”.46|33AB2当 时, .0k46|当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 或 ,所以此时26(,)326(,)3,46|3AB综上, |AB |的取值范围为 即: 46|233AB4|6,2321.解法一 （1）由 ，得 ， 2 分1mka51k整理后，可得 ， . ，
16、 为整数，2kNm不存在 . ，使等式成立。 4 分N（2）若 ，即 ， （*）1nab11()nadbq（）若 则 。0,d1nq当 为非零常数列， 为恒等于 1 的常数列，满足要求。 6 分nanb（）若 ， （*）式等号左边取极限得 ， （*）式等号右边的极限0d1lim()nad只有当 时，才能等于 1。此时等号左边是常数， ，矛盾。1q 0综上所述，只有当 为非零常数列， 为恒等于 1 的常数列，满足要求。 8 分nanb【解法二】设 1,nn ndc若 且 为 等 比 数 列则 * 221 1/,n nnaqNaq 对 都 成 立 ， 即 2()()dcdcdc*2.7Naqd对 都 成 立 ， 分（i） 若 d=0，则 0,1,nnab（ii） 若 （常数）即 ，则 d=0，矛盾,则 q=mdncm综上所述，有 ， 8 分nnn baNbca1*,10使 对 一 切（3） *,3,4nn设 .mkpbakpmm ,a*21 、，1)()(. 10 分Nspppk ,3*,3245、取 12 分,03)14(2)14(2, ssssmsk由二项展开式可得正整数 M1.M2，使得（4-1 ） 2s+2=4M1+1,)1(8)14(22ss.,满 足 要 求存 在 整 数 ms故当且仅当 p=3s,s N 时，命题成立. 14 分
