1、第 26 讲 进位制问题内容概述本讲不着重讨论 进制中运算问题，我们是关心 这个数字，即为几进制对于进位nn制我们要注意本质是： 进制就是逢 进一n但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的说明：在本讲中的数字，不特加说明，均为十进制典型问题1在几进制中有 413=100【分析与解】 我们利用尾数分析来求解这个问题：不管在几进制均有(4) (3) =(12) 但是，式中为 100，尾数为 01010也就是说已经将 12 全部进到上一位所以说进位制 为 12 的约数，也就是 12，6，4，3，2n但是出现了 4，所以不可能是 4，3，2 进制我们知道(4) (13) =(52) ，
2、因 52 100，也就是说不到 10 就已经进位，才能1010是 100，于是我们知道 10所以， 只能是 6n2在三进制中的数 12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第 l 位数字是几?【分析与解】 我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制，那运算量很大注意到，三进制进动两位则我们注意到进动了 3 个 3，于是为 9所以变为遇 9 进1也就是九进制于是，两个数一组，两个数一组，每两个数改写为九进制，如下表：12 12 0l 20 11 01 10 12 11 21 3 进制5 5 l 6 4 1 3 5 4 7 9 进制所以，首位为 5评注：若原为 进制的
3、数，转化为 进制，则从右往左数每 个数一组化为 进nnk knk制如：2 进制转化为 8 进制，2 =8，则从右往左数每 3 个数一组化为 8 进制310 100 001 101 2 进制2 4 1 5 8 进制(10100001101) =(2415) 283在 6 进制中有三位数 ，化为 9 进制为 ，求这个三位数在十进制中为多少?abccba【分析与解】 ( ) = 62 6+ =36 +6 + ；6 c( ) = 92+ 9+ =81 +9 + cba9所以 36 +6 + =81 +9 + ；于是 35 =3b+80 ；cba因为 35 是 5 的倍数，80 也是 5 的倍数所以 3
4、 也必须是 5 的倍数，又(3，5)acb=1所以， =0 或 5b当 =0，则 35 =80 ；则 7 =16 ；(7，16)=1，并且 、 0，所以aac=16， =7：c但是在 6,9 进制，不可以有一个数字为 16当 =5，则 35 =35+80 ；则 7 =3+16 ；mod 7 后，3+2 0cc所以 =2 或者 2+7 ( 为整数)因为有 6 进制，所以不可能有 9 或者 9 以上的数，k于是 =2c于是，35 =15+802； =5aa于是( ) =(552) =562+56+2=212b66所以这个三位数在十进制中为 2124设 1987 可以在 进制中写成三位数 ，且 =1
5、+9+8+7，试确定出所有可能的xyzz、 、 及 xyzb【分析与解】 我们注意2()1987bxyz -得：( -1) +( -1) =1987-252b则( -1)( +1) +( -1) =1962，xy即( -1)( +1) + =1962所以，1962 是( -1)的倍数b1962=29109：当 -1=9 时， =10，显然不满足；当 -1=18 时， =19，则（ -1)( +1) + =18(20 + )=1962；则bxyxy20 + =109，xy所以， 545,(9291xxy yz=不 满 足 ),.则显然，当 =109 不满足， =2109 不满足，当 =9109
6、也不满足bbb于是为(59B) =(1987) ，B 代表 1119105下面加法算式中不同字母代表不同的数字，试判定下面算式是什么进制，A、B、C、D的和为多少?【分析与解】于是，我们知道 =4，所以为 4 进制，n则 A+B+C+D=3+1+2+0=66. 一个非 零自然数， 如果它的二进制表示中数码l 的个数是偶数，则称之为“坏数”.例如：18=（10010） 2是“坏数” 试求小于 1024 的所有坏数的个数.【分析与解】 我们现把 1024 转化为二进制：(1024) =2 =(10000000000)210于是，在二进制中为 11 位数，但是我们只用看 10 位数中情况并且，我们把
7、不足 10 位数的在前面补上 0，如 =5021个 个 或 以 上 912.个则， 可以含 2 个 l，4 个 1，6 个 1，8 个 l，10 个 19120.个 10* * 个 位 置于是为 268100CC= 979765097543113423412368 =45+210+210+45+1=511于是，小于 1024 的“坏数”有 511 个.7计算： 26 的余数203.1个【分析与解】= = 203.个 2033.个 203.个26=(222) 所以， 26= (222)203.1个 203.个 3(222) 整除(222) ，20033：6672，所以余(22) =83所以余数为
8、 88一个 10 进制的三位数，把它分别化为 9 进制和 8 进制数后，就又得到了 2 个三位数老师发现这 3 个三位数的最高位数字恰好是 3、4、5，那这样的三位数一共有多少个?【分析与解】 我们设(3 ) =(4 ) =(5 ) ；ab10cd9ef8我们知道(4 ) 在(400) (488) 之间，也就是 49259 2-1，也就是cd9324406；还知道(5 ) 在(500) (577) 之间，也就是 58268 2-1，也就是ef888320383；又知道(3 ) 在(300) (399) 之间ab101010所以，这样的三位数应该在 324383 之间，于是有 383-324+1
9、=60 个三位数满足条件.9. 一袋花生共有 2004 颗，一只猴子第一天拿走一颗花生，从第二天起,每天拿走的都是以前各天的总和如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走，共需多少天?如果到某天袋里的花生少于已拿走的总数时，这一天它又重新拿走一颗开始，按原规律进行新的一轮如此继续，那么这袋花生被猴子拿光的时候是第几天?【分析与解】 我们注意到每天 1 2 3 4 8 16 32 64 前若干天的和 2 20042 前 1 天为 1，前 2 天为 21，前 3 天是 22，所以前 11 天为 2 ，前 12 天是10 102 ,也就是说不够第 11 天拿的，但是根据题中条件知所以共需 12 天.每天 1 1 2 4 8 16 32 64 前若干天的和 1 2 4 8 16 32 64 128 改写为 2 进制 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 2004=(11111010100)2,(10+1)+(9+1)+(8+1)+(7+1)+(6+1)+(4+1)+(2+1)=11+10+9+8+7+5+3=53 天
