1、- 1 -第九节 二进位制与多进位制内容讲解十进位制的数有十个数字 0、1、2、9，进位的规则是“逢十进一”十进制数的一般形式为a1×10n-1+a2×10n-2+ an×100（a n 取 0、1、2、9，n 取正整数，10 0=1）二进位制的数只有两个数字 0、1，它的进位规则是“逢二进一”，2 是二进位制的进位单位同十进位制的数一样，二进位制的数可以比较大小，它可以进行加、减、乘、除四则运算由于计算机的计算与记忆元件只有“开”和“关”两种状态，因此，计算机上通用的是二进位制二进位制的数一般形式为：a 1×2n-1+a2×an-2+an&#
2、215;20（a 取0，1，n 取正整数）将十进制的数化为二进制的数，只要不断地用 2 去除，直到商为 0 为止得到的余个余数，就是二进制的数字，把它们依次排出，就得到与十进制数相等的二进制数例如：将二进制的数化为十进制的数，只要将二进制数的每个数字，依次乘以 2的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数例如：1012=1×22+0×21+1×20=4+1=5；110102=1×24+1×24+1×23+0×22+1×21+0×20=18+8+2=26用类似的方法，可以将多种进位制的数，化为与其相
3、等的十进制数，k 进位制的数（k 取 2k9 的整数）的一般形式为：- 2 -a1kn-1+a2kn-2+a nk0（a 取 0a nk 的所有整数，n 取正整数）这种表示法可以把任意一个 k 进制数，化为与其相等的十进制数 要将十进制数化为与其相等的 k 进位制数，可用 k 去除，把每一位数字的余数从低位到高位排序即可例如：321 7=3×72+2×71+1×70=147+14+1=162；而例题剖析例 1 计算（1）11011 2+100102； （2）1101 2×1102分析：利用下面的加法与乘法表，用竖式计算表中第一行与第一列的数字相加（乘），
4、其和（积）为行列交叉处的数加法表与乘法表如下所示：解：用竖式进行计算：11011 2+100102=1011012； 11012×1102=10011102评注：二进制的四则运算十分简便，计算中要注意进位规则为“满二进一”例 2 计算（1）10011 2-10102； （2）101101 2÷1012分析：仿十进制数做减法与除法，用竖式进行计算- 3 -10011 2-10102=10012； 1011012÷1012=10012评注：二进制数的减法借位规则为“借一为二”，与十进制数竖式除法相类似，不够商时，用 0 占位例 3 某商店将 61 件分成 6 箱事先装
5、好，便于顾客购买时，不管买几件商品都不需要打开包装，就能满足顾客要求，问每箱应事先放几件商品？分析：问题是如何在 161 之间选 6 个数，使其和为 61，且又能通过求和，表示出161 之间的各个数将 6 位的二进制数（由于每箱都不能空，所以每位上数字都是 1），化为十进制数，可得到各箱应装的商品数解：111111 2=25+24+23+22+21+20=32+16+8+4+2+1=6310注意到 6361，第 6 箱内不装入 32 件，而装 32-（63-61 ）=30 （件）答：各箱中应放入的商品数，分别是 1 件、2 件、4 件、8 件、16 件、32 件评注：如果需要的商品数小于 30
6、W 年，可以从前面 5 个盒子中，挑选若干个盒子就可满足；如果需要的商品数大于或等于 30 件，可先取第 6 个盒子，其余的由前 5 个盒子中，挑选若干个盒子来补足例 4 利用二进制数，证明（2 32-1）一定能被 15 整除分析：先把 232-1 与 3、 5 三个数，分别用二进制数表示，然后证明 232-1 能被 3、5整除即得证明：3 10=112，5 10=1012232-1= 1A个用竖式做除法，如下所示：- 4 -被除数中，（1）每两位数都能被 112 除尽，（2）每四位数能被 1012 除尽因为 32是 2 的倍数，也是 4 的倍数，所以 232-1 既能被 3 除尽，也能被 5
7、 除尽，此数一定能被 15整除评注：此证明就是借助二进制数做除法，比较容易判断能否整除的优势来做的例 5 比较 7249，210212 3，588 10，1001001111 2 的大小分析：相比较的 4 个数中，分别是九进制数、三进制数、十进制数和二进制数， 先把它们化为十进制数，再比较大小解：724 9=7×92+2×91+4×90=58910，2102123=2×35+1×34+0×33+2×32+1×31+2×30=5901010010011112=29+26+23+22+21+20=512+64
8、+8+4+2+1=59110591590589588，则 100100111122102123724958810评注：不同进位制的数比较大小，只需化为相同进位制的数，就可以比较， 通常都化为十进制的数进行比较巩固练习1选择题：（1）1001011 2 化为十进制数，得（ ）（A）77 （B）75 （C）76 （D）78（2）将十进制数 163 化为二进制数，得（ ）（A）10100011 2 （ B）10100010 2 （C）10010011 2 （D）10010001 2（3）将四进制数 30214 化为二进制数，得（ ）- 5 -（A）10011001 2 （ B）11001010 2
9、（C）11001001 2 （D）1011001 2（4）将八进制数 5128 化为十进制数，得（ ）（A）334 （B）330 （C）332 （D）3282填空题：（1）计算 1100102+1011102=_；（2）计算 1010112+10012-1000012=_；（3）计算 110102×10112=_；（4）计算 111111112÷1012=_3将 29 个小木球装在 5 个袋子里，不管要拿多少个木球（29 个内），都只拿袋子，而不用从袋子中将木球取出，问这 5 个袋子应各装多少个木球4把 1056 化为与其相等的二进制数与三进制数5比较 5148，10100
10、1101 2，334 10 的大小6比较 10023，110 5，45 7，11111 2 的大小7利用二进制数，证明 210+1 不能被 27-1 整除- 6 -答案:1（1）B；（2）A；（3）C；（4）B 2（1）1100000 2；（2）10011 2；（3）101011110 2；（4）110011 231 个，2 个，4 个，8 个，14 个4101011 2，1121 35514 8101001101233410629303133，1002 3110511111245772 10+1=1 ，2 7-1= ，01A9个 1A个而 1112 不能整除 100012，2 10+1 不能被 27-1 整除
