1、第 1 页 版权所有 不得复制年 级 初三 学 科 数学 版 本 北师大版内容标题 第六章 第 12 节 频率与概率，投针实验编稿老师 王威【本讲教育信息】一、教学内容频率与概率，投针实验二、教学目标1、通过实验、统计等活动过程，在活动中促进知识的学习，并进一步培养学生之间合作交流的意识和能力。2、通过实验，让学生体会频率的稳定性，理解事件发生的频率与概率之间的关系，加深学生对概率的理解，进一步体会概率是描述随机现象的数学模型。三、知识要点1、频数、频率、概率对一个随机事件做大量试验时会发现，随机事件发生的次数（也称为频数） ，与试验次数的比（也就是概率）总在一个固定数值附近振动，这个固定的值
2、就叫随机事件发生的概率，概率的大小反映了随机事件发生的可能性的大小。2、概率的性质：P（必然事件）=1 ，P （不可能事件） =0，0P（不确定事件）13、频率与概率的区别与联系：频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在着的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在，而频率是通过实验得到的，它随着实验的次数变化而变化的，但当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出一随机事件的概率，我们可以通过多次实验，用所得的频率来估计事件的概率。4、计算简单事件发生的概率可以通过列表或画树状图（注意：用列表法或树状图求概率时，应注意各种结果出现的可能性务必相同。
3、）5、用试验的方法求概率的步骤：试验：为增大试验次数，通常分几组在相同的条件下同时进行，各组再研究事件发生的次数和试验总次数。统计：将各组试验所统计的事件的发生次数加起来。再除以各组试验总数之和，从而得到事件发生的频率；估计概率：试验统计所得的频率值可以“认定”为事件发生的概率。6、投针试验：在平面上画一些平行线，相邻两条平行线间的距离都为 ，向此平面内任投一长度为a第 2 页 版权所有 不得复制的针，记录针与平行线相交或不相交的次数来估计与平行线相交的概率。al注意：（1）因为试验的结果与 的值相关， 不同，试验的结果不同，所以分la和 la,小组进行时， 的值要相同。l和（2）试验次数要保
4、证足够大，投针时必须从一定的高度自由落下，保证投针的随意性。由试验我们总结出一个计算公式： 。因为这个公式和圆周率 有关，所以可alP2以用这个公式来估计 的值。注意：由于相交和不相交的可能性不相同，所以不能用列表法或树状图求出该针与平行线相交的概率，因此，对这一类事件，虽无法从理论上推算出其概率，我们可以借助实验来估算它们发生的概率的大小。四、重点难点重点：1、通过实验，理解当实验次数较大时，实验的频率稳定于理论概率，并据此估计某一事件发生的概率。2、用列表和树状图计算涉及两步实验的随机事件发生的概率。3、能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。难点：1、理解当实验次数较大时，实验的
5、频率稳定于理论概率。2、正确地用列表和树状图计算涉及两步实验的随机事件发生的概率。3、借助大量的重复的实验去感悟实验频率稳定于理论概率。【典型例题】考点一：用频率估计概率例 1、从一副牌的 52 张（没有大小王）牌中每次抽出 1 张，然后放回洗匀再抽，在抽牌试验中得到下列表中部分数据：试验次数 50 100 150 200 250 300 350 400出现红心牌的频数 13 30 35 51 60 76 90 98出现红心牌的频率 26.0% 30% 24% 25.3% 24.5%（1）请将数据表补充完整；（2）观察上面的图表可以发现：随着试验次数的增加，出现红心的频率（ ） ；（3）你知道
6、从 52 张牌中抽出 1 张红心牌的概率是多少吗？分析：从上面的试验中我们可以发现，虽然每次抽取的结果是随机、无法预测的，但随着试验次数的增加，出现红心的频率逐渐稳定在 25%左右，从而利用这一事件发生的频率来估计这一事件的概率。解：（1）依次填 23.3%，25.5%，25.7%；（2）逐步稳定于 ，即是 25%左右；41第 3 页 版权所有 不得复制（3）从中抽取红心牌的概率为 。41小结：许多事件发生的概率是通过试验的频率估计出来的，而有些事件发生的概率可以准确地计算出来考点二：概率的计算例 2、高楼中学周末有 40 人去体育场观看足球赛，40 张票分别为 B 区第 2 排 1 号到 4
7、0号，分票采取随机抽样的办法，小明第一个抽取，他抽取的号为 10 号，接着小亮从其余的票任意抽取一张，取得一张票恰好为小明邻座的概率是（ ）A. B. C. D. 4012139139分析：小明已经抽过一张了，只剩下 39 张票了，由于小明的 10 号票有 2 张票是与其相邻的：即 9 号与 11 号，在剩余的 39 张票中抽到 9 号与 11 号的概率是 。39答案：D例 3、 “一方有难，八方支援” ，四川汶川大地震牵动着全国人民的心，我市某医院准备从甲、乙、丙三位医生和 A、 B 两名护士中选取一名医生和一名护士支援汶川。（1）若随机选一位医生和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能
8、出现的结果；（2）求恰好选中医生甲和护士 A 的概率。分析：（1）画树状图或列表时一定要注意，列出所有可能出现的情况，不要遗漏；（2）由（1）可知所有出现的情况共有 6 种，同时选中医生甲和护士 A 的概率是 。61解：（1）用列表法或画树状图表示所有可能结果如下：列表法：护士医生 A B甲 （甲、A） （甲、B ）乙 （乙、A） （乙、B ）丙 （丙、A） （丙、B ）树状图：（2）P（恰好选中医生甲和护士 A）= ，61第 4 页 版权所有 不得复制恰好选中医生甲和护士 A 的概率是 。61考点三：用试验的方法求估计概率例 4、在地面上有一组平行线，相邻的两条平行线间的距离都为 5cm，将
9、一个长为 3cm的投针投向这组平行线，下表是九年级某班同学合作完成投针试验后统计的数据：投掷次数 100 600 1000 2500 3500 5000针与线的相交次数 48 281 454 861 1371 1901相交的频率（1）计算出针与平行线相交的频率，并完成统计表；（2）估计出针与平行线相交的概率；（3）表中的数据能说明在上面的条件下相交与不相交的可能性相同吗？（4）能否用列表法或画树状图求出针与平行线相交的概率？分析：相交频率= 对于复杂的随机事件发生的概率，一般不用列表法）投 掷 次 数相 交 次 数或树状图法，而多用试验频率估计随机事件发生的概率。解：（1）投掷次数 100 6
10、00 1000 2500 3500 5000针与线的相交次数 48 281 454 861 1371 1901相交的频率 0.48 0.47 0.45 0.34 0.39 0.38（2）因为当试验次数较多时，试验频率稳定在理论概率附近，所以估计针与平行线相交的概率约为 0.38。（3）不能说明，根据表中试验频率的变化，说明在已知条件下，针与平行线相交与不相交的可能性不相同。（4）不能，由于相交与不相交的可能性不一定相同，因此不能用列表的方法或画树状图的方法求针与平行线相交的概率。例 5、已知投针试验与平行线相交的概率计算公式是 ，其中 表示平行线间的距alP2离， 表示针的长度，小明做了 10
11、00 次投针试验，针与直线相交了 505 次，若小明所用针l的长度是 4cm，平行线间的距离是 5cm，据此估计 的值是多少？分析：根据试验次数很大时，某一事件的频率近似的等于该事件发生的概率，从而计算出概率 P，代入 ，求出 的值。al2解： ，其中 =5cm ， =4cm 105l 42 68.3答： 1例 6、在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共 20 只，某学习第 5 页 版权所有 不得复制小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000
12、摸到白球的次数 m 58 96 116 295 484 601摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601（1）请估计：当 n 很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率是 ；（3）试估算袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？分析：通过试验来估计不确定事件发生的概率大小，通常是在试验次数越多，事件发生的频率值逐渐趋于稳定时，才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率。解：利用摸球次数最多 1000 次的频率去估计接近值，再用这个值代替概率值，即（1）由上表可知，当 ，频率值稳定在 0.6 左右，因此当 n 很大时
13、，摸到白球50n的频率将会接近 0.6。（2）0.6；0.4（3）白球个数： 黑球个数： （只） 。，)(126.只84.02【方法总结】本讲主要运用实验交流合作、 “探究实验归纳”的课堂教学方法，适时启发诱导，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良好的思维方法与习惯【预习导学方案】（第六章，第 34 节，及本章的知识回顾）（一）预习前知（二）预习导学探索任务 1：每个同学课外调查 10 人的生日，从全班的调查结果中随机选择 50 人，看有没有 2 人生日相同，设计方案估计 50 人中有 2 人生日相同的概率。反思：经历用实验估计理论概率的过程，
14、初步感受到生日相同的概率较大。探索任务 2：一个口袋中有 8 个黑球和若干个白球，如果不许将球倒出来数，那么你能估计其中的白球数吗？反思：你能利用频率估计概率吗？那么利用样本估计总体的方法你知道吗？【模拟试题】 （答题时间：60 分钟）一、选择题*1、在一个不透明的袋子中，红色，黑色，白色的玻璃球共有 40 个，除颜色外其它都相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸红色球，黑色球的频率稳定在 15%和 45%，则口袋中白球的个数可能是（ ）A、24 B、18 C、16 D、62、在一副扑克牌（54 张，其中王牌两张）中，任意抽取一张牌是“王牌”的概率是（ ）A、 B、 C、 D、54129127
15、113第 6 页 版权所有 不得复制3、一位人寿保险人员对客户说“人有可能得病，也可能不得病，因此，得病与不得病的概率各占 50%。 ”他的说法（ ）A、正确 B、不正确 C、有时正确，有时不正确 D、应由气候条件确定4、今年我县约有 36000 名学生参加初中毕业会考，为了了解这 36000 名学生的数学成绩，准备从中随机抽取 1200 名学生的数学成绩进行统计分析，那么你的数学成绩被抽到的概率为（ ）A、 B、 C、 D、3601120501301*5、随机掷一枚硬币 2 次，落地后至少有一次正面朝上的概率是（ ）A、 B、 C、 D、4324*6、同时投掷两枚普通的正方体骰子，所得两个点
16、数之和大于 9 的概率是（ ）A、 B、 C、 D、619113617、估计一个羽毛球羽毛着地的概率采用的方法是（ ）A、列表法 B、画树状图法 C、试验法 D 以上方法都可以8、当 时，投针试验的概率是（ ）al3A、 B、 C、 D、1321239、下列说法正确的是（ ）A、试验所得概率一定等于理论概率B、试验所得概率不一定等于理论概率C、试验所得概率一定不等于理论概率D、以上说法都错10、抛一枚均匀的硬币，出现正面朝上和反面朝上的概率相等，则下列说法正确的是（ ）A、若抛 20000 次，一定会有 10000 次出现正面B、若抛 20000 次，一定会有小于 10000 次出现反面C、若
17、抛 20000 次，出现正面和反面的次数非常接近 10000 次D、若抛 20000 次，出现正面和反面的次数无法预料二、填空题11、我们可以通过多次实验，用一个事件发生的（ ）来估计这一事件发生的概率。12、若 100 个产品中有 95 个正品，5 个次品，从中随机抽取一个，恰好是次品的概率是（ ）13、随机掷一枚均匀的普通的硬币两次，出现正面都朝上的概率是（ ）*14、同时抛掷两枚正方体骰子，所得点数之和为 7 的概率是（ ）三、计算题15、九年级 1 班将竞选出正，副班长各一名，现有 A、B 两位男生和 C、D 两位女生参加竞选，第 7 页 版权所有 不得复制（1）男生当选班长的概率是？
18、（2）请用树状图或列表的方法求出女生当选正、副班长的概率。16、在一个不透明的布袋中有 4 个完全相同的乒乓球，把它们分别标号为 1、2、3、4，随机地摸出一个乒乓球然后再放回去，再随机摸出一个乒乓球，求下列事件的概率；（1）两次摸出的乒乓球的标号相同；（2）两次摸出的乒乓球的标号的和等于 5。第 8 页 版权所有 不得复制【试题答案】1、C，点拔：先根据题意求出红色和黑色的球可能是多少，40（15%+45%）=24，4024=162、C，P= 27154总 张 数王 的 张 数3、B 4、D 5、A 6、A 7、C 8、B 9、B 10、D 11、频率 12、5% 13、 114、 ；列出所有可能性，拿符合要求的比较所有可能的情况615、解：（1） 2（2）列表A B C DA A、B A、C A、DB B、A B、C B、 DC C、A C、B C、 DD D、A D、B D、C所以，两位女生同时当选正、副班长的概率是 61216、解：（1）列表1 2 3 41 1、1 1、2、 1、3 1、42 2、1 2、2 2、3 2、43 3、1 3、2 3、3 3、44 4、1 4、2 4、3 4、4蓝色是标号相同的情况；6P）(标 号 相 同（2）红色是标号的和等于 5 的情况两次标号之和等于 5 的结果也只有 4 种故 。164）(标 号 之 和 等 于
