1、高考总复习：随机事件及其概率【考纲要求】1、了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别；2、了解两个互斥事件的概率加法公式。【知识网络】【考点梳理】知识点一、事件的有关概念1事件在一定条件下出现的某种结果。在一定的条件下，能否发生某一事件有三种可能：（1）在条件 S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件 S 的必然事件；（2）在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件 S 的不可能事件；（3）在条件 S 下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件 S 的随机事件。必然事件和不可能事件的统称为确定事件，确定事件和随机事件统称为事件，其一般用大写字母
2、 A、B、C表示。2. 基本事件一次试验连同其可能出现的一个结果称为一个基本事件，它是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为基本事件。如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，那么这个试验由 n 个基本事件组成。3基本事件的特点（1）不能或不必分解为更小的随机事件；（2）不同的基本事件不可能同时发生；（3）一次试验中的基本事件是彼此互斥的；（4）试验中出现的结果总可以用基本事件来描绘.概率随机事件的概率等可能事件的概率互斥事件的概率应用知识点二、频率与概率1.频数与频率在相同条件下重复 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 次试验中事件 A 出现的次数nn为
3、事件 A 出现的频数，称 为事件 A 出现的频率。nnfn)(2.概率对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率 稳定在某个)(Afn常数上，则这个常数就叫事件 A 的概率，记作 。()P概率的基本性质任何事件的概率的取值范围： ；0()1P（必然事件）1，P（不可能事件）0。3.频率与概率的区别与联系频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数；随机事件的频率，指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随试验次数的不断增多，摆动幅度越来越小，这个常数就是这个随机事件的概率；概率可以看作是频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机
4、事件发生的可能性的大小。4概率和频率（1）用概率度量随机发生的可能性大小能为我们的决策提供关键性的依据；（2）在相同条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 为事件 A 出现的频率；n ()=nf（3）对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频繁 随着试验次数的增加稳定于概nf率 P（A） ，因此可以用频率 来估计概率 P（A ） 。()nf要点诠释：1、频率和概率的区别是频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象。当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够
5、多，所得频率就近似地当作随机事件的概率。2、求概率的方法:(1)等可能性事件的概率,步骤:明确事件 A 的意义,确定是否等可能性事件.求出一次实验可能出现的结果的总数 n;求 m,n 时,要注意是否与顺序、位置有关，是“有放回”还是“无放回”抽取，正确排列、组合公式或计数原理求出分母 n 和分子 m;(分子、分母可以与顺序同时有关或无关，解题时可以灵活处理)。用等可能性事件概率公式 P= 求出概率值. m知识点三、互斥事件有一个发生的概率1. 互斥事件的概念不可能同时发生的事件叫做互斥事件一般地，如果事件 中的任何两个都是12,nA互斥的，那么就说事件 彼此互斥 奎 屯王 新 敞新 疆12,n
6、A2互斥事件有一个发生的概率对于事件 A 和事件 B，用 A+B 表示事件 A、B 中有一个发生。如果 A、B 互斥，即事件 A、B 不可能同时发生，则：。()()PP一般地，如果 彼此互斥，则：12,n。1212()()()nAAPA 3对立事件的概念其中必有一个发生的两个互斥事件，叫做互为对立事件。事件 A 的对立事件记作 。A4对立事件的概率如果 A、B 对立，即事件 A、B 不可能同时发生，但 A、B 中必然有一个发生，则：。()()1PP一般地， ， 。p()1要点诠释：当计算事件 A 的概率 比较困难时，有时计算它的对立事件 的概率则要A容易些。涉及“至少一个”多转化为求对立事件的
7、概率。5对立事件与互斥事件的区别和联系：互斥事件研究的是两个事件之间的关系，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的。从集合角度来看，A、B 两个事件互斥，则表示 A、B 这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集。对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合 A 的对立事件记作 ，从集合的角度来看，事件 所含结果的集合正是全集 U 中由事件AA 所含结果组成集合的补集。对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。【典型例题】类型一、概率的相关概念【例 1】下面事件：实数的绝对值大于 0；从标有 1，2，3
8、，4 的 4 张号签中取一张，得到 4 号签；在标准大气压下，水在 100C 沸腾；掷一枚硬币，出现反面；异性电荷相互吸引；3+510；随机事件有 ；必然事件 ；不可能事件： .【思路点拨】通过本例，要加深对必然事件，不可能事件，随机事件的理解.【解析】随机事件：、；不可能事件：；必然事件：、.举一反三：【变式】指出下列事件哪些是不可能事件，哪些是必然事件，哪些是随机事件？（1）导体导电时发热；（2）抛一块石头，下落；（3）在标准大气压下且温度低于 0时冰融化；（4）某人射击一次中靶；（5）掷一枚硬币，正面向上；（6）摸彩票中头奖【解答】随机事件： （4） 、 （5） 、 （6）不可能事件：
9、（3）必然事件：（1） 、 （2）【例 2】一个口袋装有 5 个白球和 3 个黑球，从中任意取出一个球：（1） “取出的球是红球”是什么事件？（2） “取出的球是黑球”是什么事件？（3） “取出的球是白球或黑球”是什么事件？【思路点拨】结合必然事件、不可能事件、随机事件的概念求解。【解析】 （1）由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件；（2）由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件；（3）由于口袋内装的黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球鞋。因此，“取出的球是白球或黑球”是必然事件。【点评】对随机事件的理解应
10、包含下面两个方面：（1）随机事件是指一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此必须强调同一事件必须在相同的条件下研究；（2）随机事件可以重复地进行大量试验，每次试验结果不一定相同，且无法预测下一次的结果，但随着试验的重复进行，其结果呈现规律性。【例 3】从一堆产品（其中正品与次品都多于 2 件）中任取 2 件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.（1）恰好有 1 件次品恰好有 2 件次品；（2）至少有 1 件次品和全是次品；（3）至少有 1 件正品和至少有 1 件次品；（4）至少有 1 件次品和全是正品.【解析】依据互斥事
11、件的定义，即事件 A 与事件 B 在一定试验中不会同时发生知：（1）恰好有 1 件次品和恰好有 2 件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，但它们不是对立事件，同理可以判断：（2） （3）中的 2 个事件不是互斥事件，也不是对立事件.（4）中的 2 个事件既是互斥事件也是对立事件【总结升华】解决此类问题，应结合互斥事件和对立事件的定义.【例 4】已知非空集合 A、B 满足 A B，给出以下四个命题：若任取 xA，则 xB 是必然事件 若 xA，则 xB 是不可能事件若任取 xB，则 xA 是随机事件 若 x B，则 x A 是必然事件其中正确的个数是( )A、1 B、2 C、3 D、4【思路
12、点拨】本题主要考查命题、随机事件等基本概念及其灵活运用.【解析】答案：C正确，错误.【名师指引】正确理解概率辩证的概念，它既不是机械的也不是虚无缥缈的此类题目多见于选择判断题，比较简单，但要求对相关的的概念要掌握牢固，否则易出现混淆。举一反三：【变式】在 1、2、3、10 这 10 个数字中，任取 3 个数字，那么事件“这 3 个数字之和大于 6”是（ ）A.必然事件 B.不可能事件 C.随机事件 D.以上均不正确【答案】C类型二、随机事件的频率与概率1随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小
13、。我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率；2概率可看做频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近。只要次数足够多，所是频率就近似地当做随机事件的概率。【例 5】在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5 的六种添加剂可供选用根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验(1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于 4 的概率；(2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之
14、和不小于 3 的概率【思路点拨】采用列举法列举出基本事件个数，再利用概率公式加以求解。【解析】设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于 4”的事件为 A， “所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于 3”的事件为 B.从六种中随机选两种共有(0,1)、(0,2)、(0,3)、(0,4)、(0,5)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)15 种(1)“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于 4”的取法有 2 种：(0,4)、(1,3)，故 P(A) .215(2)“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于
15、1”的取法有 1 种：(0,1)；“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于 2”的取法有 1 种：(0,2)，故 P(B)1( ) .115 115 1315【总结升华】将分类讨论的思想渗透到具体问题中来，用列举法列举基本事件的个数，作到不重不漏举一反三：【变式】据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为 0,1,2 的概率分别 0.4,0.5,0.1.(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过 1 次的概率；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率【解析】法一：(1)设事件 A 表示“一个月内被投诉的次数为 0”，事件 B 表
16、示“一个月内被投诉的次数为 1”，P(AB)P(A)P(B)0.40.50.9.(2)设事件 Ai表示“第 i 个月被投诉的次数为 0”，事件 Bi表示“第 i 个月被投诉的次数为 1”，事件 Ci表示“第 i 个月被投诉的次数为 2”，事件 D 表示“两个月内共被投诉 2 次” P(A i)0.4，P(B i)0.5，P(C i)0.1(i1,2)两个月中，一个月被投诉 2 次，另一个月被投诉 0 次的概率为 P(A1C2A 2C1)，一、二月 份均被投诉 1 次的概率为 P(B1B2)，P(D)P(A 1C2A 2C1)P(B 1B2)P(A 1C2)P(A 2C1)P(B 1B2)，由事
17、件的独立性得P(D)0.40.10.10.40.50.50.33.法二：(1)设事件 A 表示“一个月内被投诉 2 次” ，事件 B 表示“一个月内被投诉的次数不超过1 次” P(A)0.1，P(B)1P(A)10.10.9.(2)同法一类型三、互斥事件、对立事件的概率【例 6】一盒中装有各色小球共 12 只，其中 5 个红球、4 个黑球、2 个白球、1 个绿球.现从中随机取出 1 球，求：（1） 取出 1 球是红球或黑球的概率；（2） 取出 1 球是红球或黑球或白球的概率.【思路点拨】先设事件，再分析事件的性质，然后根据互斥事件概率求法求解。【解析】记事件 A1=任取一球为红球，A 2=任取
18、一球为黑球，A 3=任取一球为白球， A4=任取一球为绿球，则 1 345421(),(),(),()1PPA（1） 122P（2） 313()()2AA（或 ）12412P【总结升华】 （1）解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件，再决定用哪一个公式进行计算。（2）求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算。二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式 ，即运用逆向思维（正难则反） ，特别是“至多”APp1， “至少”型题目，用间接求法就显得较简便。（3）互
19、斥事件、对立事件的定义是判断两事件是否是互斥事件、对立事件的一种最有效、最简便的基本方法。举一反三：【变式】从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件，假设事件 ：“取出的A2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 ()0.96PA（1）求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 ；p（2）若该批产品共 100 件，从中任意抽取 2 件，求事件 ：“取出的 2 件产品中至少有B一件二等品”的概率 ()PB【答案】（1）记 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品” ，0A表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品” 则 互斥，且 ，故01， 0A01()PA2121()(C(
20、)Ppp于是 解得 （舍去） 2.96p2.0.，（2）记 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品” ，则 0B 0B若该批产品共 100 件，由（1）知其中二等品有 件，1.2故 2801C36()495P.00179()45BPB【例 7】某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是 0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200 元；若顾客采用分期付款，商场获得利润 250 元（）求 3 位购买该商品的顾客中至少有 1 位采用一次性付款的概率；（）求 3 位顾客每人购买 1 件该商品，商场获得利润不超过 650 元的概
21、率【解析】记 表示事件：“ 位顾客中至少 位采用一次性付款” ，A则 表示事件：“ 位顾客中无人采用一次性付款” ，2()10.6).4P(0.936A（）记 表示事件：“ 位顾客每人购买 件该商品，商场获得利润不超过 元” B1650表示事件：“购买该商品的 位顾客中无人采用分期付款” 0表示事件：“购买该商品的 位顾客中恰有 位采用分期付款” 1 3则 01B， 3().62P123()0.64.3PBC 01()010.648【变式】某射手在一次射击训练中，射中 10 环、9 环、8 环、7 环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：（1）射中 10 环或 9 环的概率；（2）少于 7 环的概率.【解析】 （1）该射手射中 10 环与射中 9 环的概率是射中 10 环的概率与射中 9 环的概率的和，即为 P=0.21+0.23=0.44.（2）射中不少于 7 环的概率恰为射中 10 环、9 环、8 环、7 环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于 7 环的事件与射中不少于 7 环的事件为对立事件，所以射中少于 7 环的概率为 P=10.97=0.03.
