1、第 1 页 共 6 页例 1已知函数 f (x)= 的图像关于原点对称，其中 m,n 为实常数。)(63)423 Rxnmx(1) 求 m , n 的值；(2) （2）试用单调性的定义证明： 在区间 上是单调函数.()f2,例 2设 f (x)是定义在 R 上的偶函数，在区间（，0）上单调递增，且满足, 求实数 a 的取值范围。2(5)(1)fafa例 3判断下列函数的奇偶性：1()(0162();()0xxnxf f x 22(3)1(1)fxogx例 4 （1） 是定义在 R 上的奇函数,它的最小正周期为 T, 则 的值为)(xf )2(Tf（2）定义在实数集 上的函数 满足 ， ，()f
2、x()(fyxxfy0)f且 ，则 是以 为一个周期的周期函数.()0f()f（3）已知定义在 R 上的函数 y= f (x)满足 f (2+x)= f (2x)，且 f (x)是偶函数，当 x0 ，2时，f (x)=2x 1，当 x 4，0时，f (x)的表达式为._练习题一、选择题1若函数 , 则该函数在 上是 1()2xf(,)A单调递减无最小值 B单调递减有最小值 C单调递增无最大值 D单调递增有最大值2若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，在 上是减函数，且 f (2)0，则使得 f (x) c b B abc Cba c Dc ab5若 f (x)是奇函数,且在(0,+)上是增
3、函数, 又 ，则 xf (x)0 的解集是(3)0fA x| 3x0 或 x3 B x|x 3 或 0x3 C. D.|3或 |03xx或6如果 f(x)是定义在 R 上的偶函数，它在 上是减函数，那么下述式子中正确的是 A),B C D以上关系均不确定)142a1()4(2aff )1()4(2aff7 是定义在 R 上，以 2 为周期的偶函数， 时, 的表达式为)(xf 0,3 xxx则 当时 )(xfA B C Dx2|3|8对于函数 =1g 的奇偶数性，下列判断中正确的是fx()1A是偶函数 B是奇函数 C既奇又偶函数 D非奇非偶函数9奇函数 y= f（x） （x0） ，当 x（0，+
4、）时，f （x）= x 1，则函数 f（x 1）的图象为10设 f (x)为奇函数，对任意 xR ，均有 f (x+4)=f (x)，已知 f ( 1)=3，则 f ( 3)等于A3 B 3 C4 D 411设函数 f (x)是定义在 R 上以 3 为周期的奇函数，若 f (1)1，f (2) ，则2a 3a 1Aa Ba 且 a 1 Ca 或 a 1 D. 1a23 23 23 2312下列函数既是奇函数，又在区间 上单调递减的是,A B C D()sinfx()fx()2xf2()lnxf二、填空题13设偶函数 f (x)在 上为减函数，则不等式 f (x) f (2x+1) 的解集是 )
5、,014若函数 f (x)=4x3ax+3 的单调递减区间是 ，则实数 a 的值为 .)1,第 3 页 共 6 页15若函数 是奇函数，则 a= )2(log)(axxfa16设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 y=f (x)的图象关于直线 对称，则 f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)21x=_.三、解答题17已知 f (x)是定义在 R 上的增函数，对 xR 有 f (x)0，且 f (5)=1，设 F(x)= f (x)+ ，讨论 F (x)的单调性，)1并证明你的结论。18设函数 ，32()(1)fxkxk（1）当 k 为何值时，函数 f (x)单调
6、递减区间是（0，4） ；（2）当 k 为何值时，函数 f (x)在（0，4）内单调递减。19已知函数 y=f (x)是定义在 R 上的周期函数，周期 T=5，函数 y= f (x) (1x1)是奇函数，又知 y=f (x)在0，1上是一次函数，在1，4上是二次函数，且在 x=2 时函数取得最小值，最小值为5。（1）证明：f (1)+f (4)=0；（2）试求 y=f (x)在1，4上的解析式；（3）试求 y=f (x)在4，9上的解析式。第 4 页 共 6 页（五）函数的单调性、奇偶性与周期性参考答案（三） 、例题讲评例 1解：(1)由于 f (x)图象关于原点对称，则 f (x)是奇函数,由
7、 得()(fx 恒 成 立 ，)6(3)4()6(3)4( 2323 nmxxnmxx,0,0122 )12)()12()( ,)1()2 .064211 23312xffxf xxfnm即从 而 ，知 ，由 且任 取可 知由 恒 成 立 ， 必 有即例 2 为 R 上的偶函数，)(,087)41(225),12()5( ),52)2222aaaff faaf而 不 等 式 等 价 于 在区间 上单调递增，而偶函数图象关于 y 轴对称，)(xf, 在区间（0，+）上单调递减，,1403 125)2()5(22 aa aff 得由实数 a 的取值范围是（4，1）.例 3 （1）函数定义域为 R，
8、f(x)为偶函数；2164121626)(xf xxxxx （另解）先化简： ，显然 为偶函数；4)( xxf )(f从这可以看出，化简后再解决要容易得多.（2）须要分两段讨论：设 );(1(1)1(),0, xfxnxnxnfx 设 第 5 页 共 6 页当 x=0 时 f(x)=0，也满足 f (x )=f (x)；由、知，对 xR 有 f (x) = f (x)， f (x)为奇函数；（3） ，函数的定义域为 ，101221f(x)=log 21=0(x=1) ，即 f(x)的图象由两个点 A（1，0）与 B（1，0）组成，这两点既关于 y 轴对称，又关于原点对称，f(x )既是奇函数，
9、又是偶函数；例 4（1）选 B; (2) 4; 提示： 1()2()()(1)ffxffxf()()4ffx（3）由条件可以看出，应将区间4，0 分成两段考虑：若 x2，0，x 0 ，2，f (x)为偶函数， 当 x 2，0 时，f (x)= f (x)=2 x1,若 x4，2 ， 4+ x0，2 ，)f (2+x)= f (2 x)， f (x)= f (4x)，f(x)= f (x)= f 4（x）= f (4+x)=2（x+4）1=2x+7; 综上， 74)( .10（一） 练习题一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A D B B A A D B D
10、 B D D7提示： 即当 时，3()xxfx32x()fx当 10322()f,(26)(514)(fff)(106fg11. 提示： 233)1af 二、填空题13 ； 143 ； 15 160),31(),(2三、解答题17在 R 上任取 x1、x 2，设 x110 时 f (x)1;第 6 页 共 6 页若 x1x15，则 f (x2)f (x1)1 , f (x 1)f (x2)1, 0, F(x 2) F (x1)；)(21f综上，F ( x)在（，5）为减函数，在（5，+ ）为增函数.18对 f (x)求导得： ，/2()36()fk（1）函数 f (x)的单调递减区间是（0，4） ，不等式 f (x)0 的解集为x|0x4, 得 kx2+2(k1) x0，x=0 或 4 是方程 kx2+2(k1)x=0 的两根，将 x=4 代入得 k= ，由二次不等式性质知所求 k 值为 .3131（2）命题等价于 kx2+2(k1)x0 对 x（0，4）恒成立，设 g (x)=kx+2(k1), g (x )为单调函数， .0)4(g则（或分离变量） 恒成立，)4,0(2k对记 .31,)()(,2)( kgxxgxg为 单 调 减 函 数19(1)证明：略. (2)解：f (x)=2(x2) 25(1x4); (3)解：f (x )=96 ,5)7(242xx
