1、金太阳新课标资源网 第 1 页 共 12 页 金太阳新课标资源网 北京四中 2012-2013 年度第一学期高三年级期中数学试题试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟。考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。第一部分（选择题，共 40 分）一、选择题：（每小题 5 分，共 40 分, 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 , ，所以(3)03Pxx=22Qxx, 选 B.02Q2. “ ”是“ ”的（ ）A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必
2、要条件【答案】B【解析】由 ，得 或 ，所以“ ”是“1cos223k2,3kZ”的充分不必要条件，选 B,3. 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）A. 15 B. 18 C. 9 D. 12 【答案】D【解析】在等差数列中 ，所以 ，所以1535()250aaS34a，选 D.23432aa4. 设 为两个平面， 为两条直线，且 ，有如下两个命题：若 ；若 . 那么（ ）A是真命题，是假命题 B是假命题，是真命题金太阳新课标资源网 第 2 页 共 12 页 金太阳新课标资源网 C、都是真命题 D、都是假命题【答案】D【解析】若 ，则 或 异面，所以错误。同理也错误，所以选 D./lm
3、,l5. 若 是 所在平面内的一点，且满足 ，则 一()()0BOCA定是（ ）A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 斜三角形【答案】C【解析】由 得 ,即 ，所以 ,所()()0BOCA0BA90C以三角形为直角三角形，选 C.6将函数 的图象按向量 平移后得到图象对应的函数解析式是（ ）A B C D【答案】D【解析】图象按向量 平移，相当于先向右平移 个单位，然后在向上平移 1 个单位。2图象向右平移 个单位，得到 ，然后向上平移 12sin2()sin()sin2yxxx个单位得到 ，选 D.sin1yx7已知函数 的部分图象如图所示，则函数 的解析式为（ ）
4、A BC D金太阳新课标资源网 第 3 页 共 12 页 金太阳新课标资源网 【答案】B【解析】由图象可知 ，即 。又 ，所以32,()2TA4T24，所以函数 。又 ，即121()sinfxx1()sin()f ，即 ，即 ，因为sin()42,4kZ32,4kZ，所以 ，所以函数为 ，选 B.31()sin()fxx8. 已知函数 ，给出下列四个说法：若 ，则 ； 的最小正周期是 ； 在区间 上是增函数； 的图象关于直线 对称其中正确说法的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】函数 ，若 ，即1()sincosin2fxx12()=()fxf，所以 ，即 ，所以12sin2
5、=i12i=i12sinix或 ，所以错误； 所以周期xk12,xkZ,，所以错误；当 时， ，函数递增，所以正确；T4x2x当 时， 为最小值，所以正确，所以正确34x131()sin2)=sinf（的有 2 个，选 B.第二部分（非选择题，共 110 分）二、填空题：（每小题 5 分，共 30 分） 金太阳新课标资源网 第 4 页 共 12 页 金太阳新课标资源网 9. 函数 的递增区间是_. 【答案】 (,3)【解析】令 ，则函数 在定义域上单调递减，由2tx12logyt得， 或 ，当 时， 单调递减，根据复230t13x23tx合函数的单调性可知，此时函数 单调递增，所以函数的递增
6、区间为 。(,)10. 向量 ， 满足 ，且 ， ，则 ， 夹角的等于()24abA_. 【答案】 120【解析】由 得 ，即 ，所以()4abA224abA4abA，所以 。1cos,2 ,1011已知函数 的最小正周期是 ，则正数 _.【答案】2【解析】 因为 的周期为 ，而绝对值的周期减半，即sin()6yx2T的周期为 ，由 ，得 。sin()6yxT212湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为 12 cm，深 2 cm 的空穴，则该球的半径是_cm，表面积是_cm. 【答案】10，400【解析】设球的半径为 r，画出球与水面的位置关系图，如图：金太阳新课标资源
7、网 第 5 页 共 12 页 金太阳新课标资源网 由勾股定理可知， ，解得 r =10.所以表面积为 。24104r13某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是_. 【答案】 【解析】由三视图可知，该几何体为直三棱柱，所以体积为 。31122a14. 如上页图，一条螺旋线是用以下方法画成： 是边长为 1 的正三角形，曲线分别以 为圆心， 为半径画的弧，曲线 称为螺旋线旋转一圈然后又以 为圆心 为半径画弧，这样画到第 圈，则所得整条螺旋线的长度 _(用 表示即可) 金太阳新课标资源网 第 6 页 共 12 页 金太阳新课标资源网 【答案】 (31)n【解析】设第 n 段弧的弧长为 ，由弧长
8、公式，可得数列 是以 为首项、 为公差的等差数列.画到第 n 圈，有 3n 段弧，故所得整条螺旋线的长度三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）15.（本小题满分 13 分）在 中， ， .（）求角 ；（）设 ，求 的面积.16.（本小题 13 分） 已知函数 .（）求 函数图象的对称轴方程；（）求 的单调增区间；（）当 时,求函数 的最大值,最小值.17.（本小题满分 13 分）如图，正三棱柱 中，D 是 BC 的中点，金太阳新课标资源网 第 7 页 共 12 页 金太阳新课标资源网 （）求证： ；（）求证： ；（）求三棱锥 的体积.18
9、.（本小题满分 13 分）已知各项都不相等的等差数列 的前六项和为 60，且 的等比中项.（）求数列 的通项公式 ；（）若数列 的前 项和19.（本小题满分 14 分）已知函数 处取得极值.（）求 的值；（）若当 恒成立，求 的取值范围；（）对任意的 是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，请说明理由.20.（本小题满分 14 分）设数列 的首项 R） ，且 ，（）若 ；金太阳新课标资源网 第 8 页 共 12 页 金太阳新课标资源网 （）若 ，证明： ；（）若 ，求所有的正整数 ，使得对于任意 ，均有 成立.【参考答案】第一部分（选择题，共 40 分）一、选择题（每小题 5 分，共 4
10、0 分）1. B 2. B 3. D 4. D 5. C 6. D 7. B 8. B第二部分（非选择题，共 110 分）二、填空题：（每小题 5 分，共 30 分）9. 10. 11. 2 12. 10，400 13. 14. n (3n+1)10三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分）15.（本小题满分 13 分）（）解：由 ， ， 得 ， 所以 3 分6 分且 ， 故 7 分（）解：据正弦定理得 ，10 分所以 的面积为 13 分16. （本小题 13 分）解：（I） . 3 分令 .金太阳新课标资源网 第 9 页 共 12 页 金太阳新课标资源网 函数图象的对称轴方程是 5
11、分（II）故 的单调增区间为 8 分(III) , 10 分 . 11 分 当 时,函数 ,最小值为 . 13 分17 （本小题满分 13 分）（）证明：ABCA 1B1C1 是正三棱柱，BB 1平面 ABC，BD 是 B1D 在平面 ABC 上的射影在正ABC 中，D 是 BC 的中点，ADBD，根据三垂线定理得，ADB 1D（）解：连接 A1B，设 A1BAB 1 = E，连接 DE.AA 1=AB 四边形 A1ABB1 是正方形，E 是 A1B 的中点，又 D 是 BC 的中点，金太阳新课标资源网 第 10 页 共 12 页 金太阳新课标资源网 DEA 1C. 7 分DE 平面 AB1
12、D，A 1C 平面 AB1D，A 1C平面 AB1D. 9 分 （） 13 分18 （本小题满分 13 分）解：（）设等差数列 的公差为 ，则1 分又 2 分解得 4 分. 5 分6 分（）由9 分13 分19 （本小题满分 14 分）解：金太阳新课标资源网 第 11 页 共 12 页 金太阳新课标资源网 （）f(x)= x3 x2+bx+c，f(x)=3 x2x+ b. 2 分f(x) 在 x=1 处取得极值，f(1)=31+b=0.b=2. 3 分经检验，符合题意. 4 分（）f(x)=x 3 x22x+c.f(x)=3 x2x2=(3x+2)(x1) ， 5 分x 1 (1,2) 2f
13、( x) + 0 0 + f(x) 7 分当 x= 时， f(x)有极大值 +c. 又 x1，2时， f(x)最大值为 f(2)=2+c. 8 分c 22+c. c2. 10 分（）对任意的 恒成立.由（）可知，当 x=1 时， f(x)有极小值 .又 12 分 x1，2时， f(x)最小值为 .，故结论成立. 14 分金太阳新课标资源网 第 12 页 共 12 页 金太阳新课标资源网 20 （本小题满分 14 分）（）解：因为所以 a2= a1+4= a+4，且 a2（3，4）所以 a3=a23= a+1，且 a3（0，1）所以 a4= a3+4=a+3，且 a4（3，4）所以 a5=a43= a 4 分（）证明：当所以， 6 分当所以， 综上， 8 分（）解：若因此，当 k=4m（mN*）时，对所有的 nN*， 成立 10 分若因此，当 k=2m（mN*）时，对所有的 nN*， 成立 12 分若 ，因此 k=m（mN*）时，对所有的 nN*， 成立 13 分综上，若 0a1，则 k=4m； ，则 k=2m；若 a=2，则 k=m. mN* 14 分
