1、目录第一章变分法与最优控制 11.1源头问题与当今应用 11.2变分法与最优控制方法 51.2.1变分法 51.2.2最优控制方法 211.3案例分析 23习题7 . 28.II.目录第一章变分法与最优控制学习目标与要求1.掌握产生变分模型的基本思想和基本内容2.掌握最优控制的基本思想3.掌握变分法和最优控制的建模方法过去我们已经遇到了需要求函数的极值问题，有时在现象或事件中需要寻求某个特殊函数的极值问题，这种特殊函数的自变量也是一个函数，也就是说这种特殊的函数是“函数的函数”，称为泛函，求泛函的极值问题称为变分问题.求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制法.1.1源头问题与当今应用确定
2、某一函数z = f(x)的极值问题是催生微积分理论产生和发展的源头问题之一，而确定一个泛函的极值问题，则是催生变分学理论诞生和发展的源头问题。历史上曾经出现了许多有名的变分问题。1、最速降线问题（brachistochrone）约翰伯努利（JohannBernoulli，16671748）1696年提出了一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”以此挑战全欧洲的数学家。这就是著名的“最速降线”问题（TheBrachistochrone Problem）。它比普通的求函数的极大极小值不同，它是要求出一个未知函数
3、（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了广泛注意，罗比塔（GuillaumeFrancois Antonie de lHospital 1661-1704）、雅可比伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz,1646-1716）和牛顿（IsaacNewton16421727）都得到了解答。后来欧拉（EulerLonhard，17071783）和拉格朗日(Lagrange,JosephLouis，1736-1813)发明.2.第一章变分法与最优控制了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支变分学。
4、设有两点A和B，不在同一铅垂线上，设在A和B两点上连结者某一曲线，有一重物沿曲线从A到B受重力作用自由下滑。如果略去重物和线之间的摩擦阻力，从A到B自由下滑所需时间随这一曲线的形状不同而各不相同。问下滑时间最短的曲线是哪一条？这就是最速降线.显而易见，最快的路线决不是连结A，B两点的直线段。当然，这条直线段在A，B两点间的路程最短，但沿这条直线自由下落时，运动速率的增长是比较慢的。如果我们取一条较陡的路程，则虽然路程是加长了，但在路程相当大的一部分中，物体的运动速率较大，所需时间反而较少。2、测地线（Geodesicline）问题设(x;y;z) = 0是一已知曲面，求曲面(x;y;z) =
5、0上所给两点(A;B)间长度最短的曲线。这个最短曲线叫测地线。球面（如地球表面）上两点的测地线即为通过两点的大圆。这是一个典型的变分问题。按曲面(x;y;z) = 0上A(x1;y1;z1)和B(x2;y2;z2)两点间的曲线长度为L = x2x11 + (dydx)2 + (dzdx)2dx (1:5)其中y = y(x);z = z(x)满足(x;y;z) = 0的条件。于是，我们的变分命题可以写成：在y = y(x);z = z(x)满足(x;y;z) = 0的条件下，从一切y = y(x);z = z(x)的函数中，选取一对y(x);z(x),使（1.5）式中的泛函L为最小。这个变分命
6、题和最速降线问题有下列相同和不同之点：（1）它也是一个泛函求极值的问题，但这个泛函有两个可以选取的函数,即y(x);z(x):（2）边界也已固定不变的，也有端点定值，即y(x1) = y1;z(x1) = z1;y(x2) = y2;z(x2) = z2:（3）y = y(x);z = z(x)之间必需满足：x;y(x);z(x) = 0 (1:6)它是一个在（1.6）式条件下的变分求值问题，不是像最速降线问题那样是无条件的。我们称这种命题为条件变分命题。这个问题已经在1697年约翰 伯努利所解决。但是这一类问题的普遍理论直到1744年通过欧拉(L.Euler)以及1762年拉格朗日(L.La
7、grange)的努力才解决的。3、等周问题（isoperimetricproblem）在长度一定的封闭曲线中，什么曲线所围成面积最大。这个问题在古希腊时已经知道答案是一个圆，但它的变分特性一直到1744年才被欧拉察觉出来。将所给曲线用参数形式表达为x = x(s);y = y(s)，因为这条曲线是封闭的，所以x(s0) = x(s1)，y(s0) = y(s1)，这条曲线的周长为：L = s1s0(dxds)2 + (dyds)2ds (1:7)1.1源头问题与当今应用.3.根据格林公式，其所围成面积R为：R = Rdxdy = 12c(xdy ydx) = 12 s1s0(xdyds ydx
8、ds) (1:8)等周问题于是可以写成：在满足x(s0) = x(s1)，y(s0) = y(s1)和（1.7）式条件下，从一切x = x(s)，y = y(s)的函数中选取一对x = x(s)，y = y(s)函数，使（1.8）式中的泛函R为最大。这也是一个条件变分命题，但其条件本身也是一个泛函，即（1.7）式；同时，其边界（这里是端点）也已固定不变；而且它是两个函数x = x(s);y = y(s)所确定的泛函。这三个历史上有名的变分命题，都是17世纪末期提出的，又都是18世纪上半叶解决的。解决过程中，欧拉和拉格朗日创立了现在大家都熟知的变分法。这个变分法后来广泛地用在力学的各个方面，对力
9、学的发展起了很重要的作用。上述三个历史上有名的变分问题，都有从泛函求极值的共同性，端点或边界都是已定不变的，但有的有条件（第二、第三问题），有的没有条件（第一问题）。在有条件的变分问题中，有的条件是通常的函数条件（第二问题），有的条件则本身也是一种泛函（第三问题）。当然，边界固定不变的、没有条件的变分（第一问题）是最简单的，而且也是很有用。这种边界固定不变的无条件变分还有许多例子。现在再举三个例子如下：4、最小旋转面问题设有一正值函数y = y(x) 0;它所代表的曲线通过(x1;y1);(x2;y2)两点，当这条曲线绕x轴旋转的时候，得一旋转面，求旋转面的面积最小的那个函数y = y(x).
10、即在y(x1) = y1;y(x2) = y2的端点条件下求使泛函S = x2x12 y1 + (dydx)2dx (1:9)最小的函数y(x).5、费马(Fermat)原理费马原理说：通过介质的光路，使光线通过这一段光路所需时间为最小值。以二维空间为例。设介质的折光率为u(x;y)，而光线通过介质的速度v(x;y) = cu(x;y)，其中c为真空中的光速，是一个常数，从原点（0,0）到（x,y）点的光行时间为T = t0dsv =1c x10u(x;y)1 + (dydx)2dx (1:10)其中y = y(x)为待定的光线通过的路线。费马定理成为：“求y(x),使(1.10）式中的泛函T
11、成为最小值”。.4.第一章变分法与最优控制下面再增加一个条件变分问题的例子。6、悬索形状问题求长度已知的均匀悬索的悬线形状。悬线形状是由悬线达到最低位能的要求来决定的，而悬线的位能则由悬线的重心决定。设悬线各点的铅垂线坐标为y(x)，并通过A(0;y0);B(x1;y1)两点，悬线长度为L = x101 + (dydx)2dx (1:11)悬索重心高度为yc = 1L L0yds = 1L x10y1 + (dydx)2dx (1:12)问题变为：在通过y(0) = y0;y(x1) = y1两点，并满足（1.11）式的条件的一切曲线y = y(x)中，求使（1.12）式中的yc为极小的函数y
12、 = y(x),这是一个端点已定不变的条件变分命题。图1.1悬索的形状和坐标7、极小曲面问题考虑平面上有界区域，在边界上给定空间闭曲线l :8:x = x(s)y = y(s)u = (s) (0 s s0)这里x = x(s);y = y(s)为平面曲线的方程.求一张定义在 上的曲面S，使得（1）S以l为界（2）S的表面积最小.1.2变分法与最优控制方法.5.换言之，在所有定义在 上并以l为周界的曲面中，要寻求一张曲面，使它的表面积最小.即给定函数集合M = fvjv 2C1( );vj = g求u 2M,使得J(u) = MinJ(v) (1:13)其中J(v) =x1 +vx2 +vy2
13、dxdy这是一种特殊的函数,它的自变量也是函数，J是一个从M到实数轴的映射J : M !R这里J(v)称为定义在函数集合M上的泛函. u是泛函J(v)在集合M上达到极小值的“点”，这样一个泛函的极值问题称为变分问题.函数集合M称为变分问题(1.13)的容许函数集，或称为泛函J(v)的定义域. u称为变分问题的解.1.2变分法与最优控制方法1.2.1变分法一、基本概念我们已经知道函数的极大及极小问题，泛函的极大极小问题有类似的特性。下面我们将函数的定义和泛函的定义，函数的连续和泛函的连续，函数的宗量的增量（或微分）和泛函的宗量增量（或变分）互相类比地进行研究。1、函数的定义和泛函的定义如果对于变
14、量x的某一区域中的每一x值，y有一值与之对应，或者数y对应于x的关系成立，则称变量y是变量x的函数，即y = y(x).如果对于某一类函数fy(x)g中每一函数y(x),有一值与之对应，或者数对应于函数y(x)的关系成立，则我们称变量是函数y(x)的泛函，即=y(x).另一种叙述为：设S为一函数集合，若对于每一个函数x(t) 2S，有一个实数J与之对应，则称J是对应在S上的泛函，记作J(x(t).S称为J的容许函数集.通俗的说，泛函就是“函数的函数”.所以，函数是变量和变量的关系，泛函是变量与函数的关系，泛函是一种广义的函数。.6.第一章变分法与最优控制例1.1对于XY平面上过定点A(x1;y
15、1)和B(x2;y2)的每一条光滑曲线y(x),绕x轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线y(x)的泛函J(y(x).由微积分知识不难写出J(y(x) = x2x12 y(x)1 +y2(x)dx容许函数集可表示为S = fy(x)jy(x) 2C1x1;x2;y(x1) = y1;y(x2) = y2g归纳起来，我们可以把最简单的边界已定不变的变分命题写为：在通过y(x1) = y1;y(x2) =y2两点的条件下，选取y(x),使泛函J = x2x1Fx;y(x);y(x)dx为极值。其中y(x) = dydx;F(x;y;y)为一已知的x;y;y的函数，F(x;y;y)当然还有一些可微的
16、条件。y(x)也视所处理的问题不同而有一些可微的条件，它是在变分法的发展过程中，欧拉和拉格朗日所最先处理的变分命题。这样的泛函还可以推广，使它包括y(x)的高阶导数y(x);y(x);y(n)(x)等。例如对泛函J = x2x1Fx;y(x);y(x);y(x);:;y(n)(x)dx的变分问题，在这样的变分问题中，边界条件有时具有下面形式。8:x = c12 ( sin )y = c12 (1 cos )这是摆线（圆滚线）参数方程，其中，常数c1可利用另一边界条件y(x2) = y2来确定.2、最简泛函的几种特殊情形(1) F不依赖于_x，即F = F(t;x)这时F_x 0,欧拉方程为Fx
17、(t;x) = 0,这个方程以隐函数形式给出x(t),但它一般不满足边界条件，因此变分问题无解.(2) F不依赖x,即F = F(t; _x),欧拉方程为ddtF_x(t; _x) = 0将上式积分便得F_x(t; _x) = c1,由此可求出_x = (t;c1),积分后得到可能的极值曲线族x =(t;c1)dt(3) F只依赖于_x,即F = F(_x)这时Fx = 0;Ft_x = 0;Fx_x = 0欧拉方程为_xF_x_x = 0由此可设_x = 0或F_x_x,如果_x = 0，则得到含有两个参数的直线族x = c1t+c2,另外若F_x_x = 0有一个或几个实根时，则除了上面的
18、直线族外，又得到含有一个参数c的直线族x = kt+c,它包含于上面含有两个参数的直线族x = c1t+c2中，于是，在F = F(_x)情况下，极值曲线必然是直线族.(4)F只依赖于x和_x,即F = F(x; _x)这时有Ft_x = 0,故欧拉方程为Fx _xFx_x _xF_x_x = 0此方程积分得F _xF_x = c11.2变分法与最优控制方法.17.事实上，注意到F不依赖于t,于是有ddt(F _xF_x) = Fx _x+F_x_x _xF_x _xddtF_x = _x(Fx ddtF_x) = 0例1.3最小旋转面问题J(y(x) = 2 x2x1y(x)1 +y2(x)
19、dxS = fyjy 2C1x1;x2;y(x1) = y1;y(x2) = y2g解因F = y1 +y2(x)不包含x,故由欧拉方程积分得F yFy = y1 +y2 yy y1 +y2 = c1化简得y = c11 +y2令y = sht,代入上式得y = c11 +sh2t = c1sht由于dx = dydy = c1shtdtsht = c1dt,积分之，得x = c1t+c2,消去t,就得到y = c1chx c2c1这是悬链线方程.3、最简泛函的推广最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它地方.(1)含多个函数的泛函使泛函J(y(x);z(x) = x2x1F(x;y;y;z;z
20、)dx取极值且满足固定边界条件.y(x1) = y1;y(x2) = y2;z(x1) = z1;z(x2) = z2.18.第一章变分法与最优控制的极值曲线y = y(x);z = z(x)必满足欧拉方程组8:Fy ddxFy = 0Fz ddxFz = 0(2)含高阶导数的泛函使泛函J(y(x) = x2x1F(x;y;y;y)dx取极值且满足固定边界条件y(x1) = y1;y(x2) = y2;y(x1) = y1;y(x2) = y2的极值曲线y = y(x)必满足微分方程Fy ddxFy + d2dx2Fy = 0(3)含多元函数的泛函设z(x;y) 2C2;(x;y) 2D,使泛
21、函J(z(x;y) =xDF(x;y;z;zx;zy)dxdy取极值且在区域D的边界线I上取已知值的极值函数z = z(x;y)必满足方程Fz xFzx yFzy = 0上式称为奥氏方程.极小曲面问题现在，设u是变分问题(1.13)的解，任意取定v 2 M0，M0 = fvjv 2C1( );vj = 0g。则对任意“2 ( 1;+1)，有u+ “v 2M，记j(“) = J(u+“v)它是一个定义在R上的可微函数，由(1.13)知j(“) j(0);8“2R1即函数j(“)作为“的常义函数在“=0达到最小值，从而有j(0) = 0 (2:19)1.2变分法与最优控制方法.19.不难计算出j(
22、“) =x(u+“v)x vx + (u+“v)y vy1 + (ux +“vx)2 + (uy +“vy)2dxdy利用(2.19)式得x ux1 +ux2 +uy2vx + uy1 +ux2 +uy2vydxdy=x( ux1 +ux2 +uy2; uy1 +ux2 +uy2) rvdxdy = 0;8v 2M0如果u2C2( ),由Green公式得到x( x( ux1 +ux2 +uy2) + y( uy1 +ux2 +uy2)vdxdy+v1 +ux2 +uy2 u ds = 0由于vj = 0。因此上式左端第二个积分为0.从而由被积函数的连续性以及v的任意性，得到xux1 +ux2
23、+uy2 +yuy1 +ux2 +uy2 = 0 (2:20)它称为变分问题(1.13)的Euler方程.因此定义在 上且以空间曲线l为边界的极小曲面u = u(x;y)必定在内适合方程(2.20)和在上适合边界条件uj = (x;y).4、端点变动的情况（横截条件）设容许曲线x(t)在t0固定，在另一端点t = tf时不固定，是沿着给定的曲线x = 上变动.于是端点条件表示为8:x(t0) = x0x(t) = (t)这里t是变动的，不妨用参数形式表示为t = tf + dtf寻找端点变动情况的必要条件，可仿照前面端点固定情况进行推导，即有0 = J = tf+ dtft0F(t;x+ x;
24、 _x+ _x)dtj =0=tft0(Fx ddtF_x) xdt+F_x xjt=tf +F_xjt=tf(2:21)再对（2.21）式做如下分析：(1)对每一个固定的tf，x(t)都满足欧拉方程，即（2.21）式右端的第一项积分为零；(2)为考察（2.21）式的第二、第三项，建立dtf与 xjt=tf之间的关系，因为x(tf + dtf) + x(tf + dtf) = (tf + dtf).20.第一章变分法与最优控制对 求导并令 = 0得_x(tf)dtf + xjt=tf = _ (tf)dtf即xjt=tf = _ _x(tf)dtf将上式代入（2.21）并利用dtf的任意性，得
25、F + ( _ _x)F_xjt=tf = 0上式是确定欧拉方程通解中另一常数的定解条件，称为横截条件.横截条件有两种常见的特殊情况(1)当x = (t)是垂直横轴的直线时,tf固定，x(tf)自由,并称x(tf)为自由端点.此时（2.21）式中dtf = 0及 xjt=tf的任意性，便得自由端点的横截条件F_xjt=tf = 0(2)当x = (t)是平行横轴的直线时，tf自由，x(tf)固定，并称x(tf)为平动端点.此时_ = 0（2.21）式的横截条件变为F _xF_xjt=tf = 0注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件.例1.4设质点以速度v = x从A(x0;y
26、0)沿曲线y = y(x)移动到B(x1;y1),求曲线y = y(x)为何形状时质点移动时间最少.其中,x0 = 1;y0 = 52;x1任意，y1 = 3.解：取从A到B的曲线上任意一点P(x;y),用s表示曲线从A点算起到点P的弧长，则有dsdt = v = x:所以dt =1 +y2x dx质点A点移动到B点时，花费的时间是ty(x) = x1x01 +y2x dx定解条件为y( 1) = 52;y(x1) = 3;y(x1) = 0:因为F =1 +y2x dx1.2变分法与最优控制方法.21.所以相应的欧拉方程为ddx(yx1 +y2) = 0:两边积分得y = c1x1 c21x
27、2; y = 1c11 c21x2 +c2代入定解条件得c1 = 45;c2 = 74;x1 = 0:因此y =p25 16x2+74为所求曲线，质点移动时间最少为tmin = x1x0dxx1 (45x)21.2.2最优控制方法一、有约束条件的泛函极值问题在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件的泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统_x(t) = f(t;x(t);u(t) (2:22)寻求最优性能指标（目标函数）J(u(t) = (tf;x(tf) + tft0F(t;x(t);u(t)dt (2:23)其中u(t)是控制策略,x(t)是轨线,t0固定,tf及x(tf)自由,x(t) 2
28、 Rn;u(t) 2 Rm(不受限，充满Rm空间),f;F连续可微.下面推导得到目标函数极值的最优控制策略u 和最优轨线x (t)的必要条件.采用拉格朗日乘子法，化条件极值为无条件极值，即考虑J1(x;u; ) = (tf;x(tf) + tft0F(t;x(t);u(t)dt (2:24)的无条件极值，首先定义（2.22）式和（2.23）式的哈密顿（Hamilton）函数为H(t;x;u; ) = F(t;x;u) + T(t)f(t;x;u)将其代入（2.24）式，得到泛函J1(x;u; ) = (tf;x(tf) + tft0H(t;x;u; ) T _xdt.22.第一章变分法与最优控
29、制令 J1 = 0,再由dtf; x(tf); x; u; 任意性,便得(1) x ; 必满足如下正则方程：1状态方程：_x = H = f(t;x;u)2协态方程：_ = Hx(2)哈密顿函数H(t;x ;u; )作为u的函数，也必满足Hu = 0并由此方程求得u (3)求x ; ;u 时，必利用边界条件1x(t0) = x0(用于确定x )2 (tf) = x(tf)(用于确定 )3tf = H(t;x;u; )jt=tf(用于确定tf)二、最大（小）值原理如果受控系统_x = f(t;x;u);x(t0) = x0其控制策略u(t)的全体构成有界集U,求u(t) 2U使性能指标J(u(t
30、) = (tf;x(tf) + tft0F(t;x;u)dt达到最大（小）值.最大（小）值原理：如果f(t;x;u);(tf;x(tf)和F(t;x;u)都是连续可微的，那么最优控制策略u 和相应的最优轨线x (t)由下列的必要条件决定:1、最优轨线x (t),协态向量 (t)由下列的必要条件决定：dxdt = f(t;x;u);u(t) 2Ud dt = Hx2、哈密顿函数H(t;x ;u; ) = F(t;x ;u) + T(t)f(t;x ;u)作为u(t)的函数，最优策略u (t)必须使H(t;x ;u ; ) = maxu2UH(t;x ;u; )或使H(t;x ;u ; ) = m
31、inu2UH(t;x ;u; )(最小值原理)1.3案例分析.23.3、满足相应的边界条件1若两端点固定，则正则方程的边界条件为x(0) = x0;x(tf) = xf2若始端固定，终端tf也固定，而x(tf)自由，则正则方程的边界条件为x(0) = x0; (tf) = x(tf)(tf;x(tf)3若始端固定，终端tf;x(tf)都自由，则正则方程的边界条件为x(0) = x0; (tf) = x(tf)(tf;x(tf)H(tf;x(tf);u(tf); (tf) +tf(tf;x(tf) = 01.3案例分析案例一、巧妙的蘑菇问题背景：考虑生长中的蘑菇要使水分损失减小，它们应该为表面积
32、最小以减少水分蒸发量。根据这个假设，我们通过解如下简单数学问题寻找蘑菇的最佳形状，然后我们将其与实际蘑菇作比较.【问题分析】考虑在(x;y)平面的连接固定点P1 = (x1;y1)和P2 = (x2;y2)的曲线y = y(x)。我们绕x轴旋转曲线以获得表面。问题在于哪个曲线使其旋转的表面积最小?【模型构建】当变量x介于变量x和x+dx之间时，考虑其表面的微元带。其微元带的面积为2 xds = 2 x1 +y2dx这是因为(ds)2 = (dx)2 + (dy)2从而ds =1 +y2dx因此，旋转面的总表面积由下式给出S = 2 x2x1x1 +y2dx【模型求解】.24.第一章变分法与最优
33、控制从而，我们得到如下变分方程：找出基于拉格朗日公式L = x1 +y2的变分积分曲线L(x;y;y)dx其取极值的必要条件等同于欧拉-拉格朗日方程:Ly Dx(Ly)= 0 (3:1)因为在我们的例子里有Ly = 0;Ly =xy1 +y2方程(3.1)写为一守恒定律的形式：Dx(xy1 +y2)= 0 (3:2)因此，经微分后，我们得到如下二阶非线性微分方程:y + 1x(y +y3) = 0 (3:3)守恒定律(3.2)满足方程(3.3)的如下一次积分:xy1 +y2 = A =常数我们解以上关于y的方程，积分得到通解y = B +karccos h(xk)其包含有两个积分常数B和k.评
34、估双曲余弦函数的倒数，我们将解写为y = B +klnx+px2 k2k= C +klnx+x2 k2其中C = B kln jkj.因此，所求曲线由以下方程给出y = C +klnx+x2 k2;满足方程(10.24)边界条件y(x1) = y1;y(x2) = y2.1.3案例分析.25.案例二、生产设备的最大经济效益问题问题背景：某工厂购买了一台新设备投入到生产中.一方面该设备随着运行时间的推移其磨损程度愈来愈大，因此其转卖价格随着运行时间的增加而减少；另一方面生产设备总是要进行日常保养，花费一定的保养费，保养，可以减缓设备的磨损程度，提高设备的转卖价.那么，怎样确定最优保养费和设备转卖
35、时间，才能使这台设备的经济效益最大.【问题分析与假设】(1)设备的转卖价是时间t的函数，记为x(t).x(t)的大小与设备的磨损程度和保养费的多少密切相关.记初始转卖价x(0) = x0.(2)设备随其运行时间的推移，磨损程度越来越大.t时刻设备的磨损程度可以用t时刻转卖价的损失值来刻画，常称其为磨损函数或废弃函数，记为m(t).(3)保养设备可以减缓设备的磨损速度,提高转卖价.如果u(t)是单位时间的保养费，g(t)是t时刻的保养效益系数（每用一元保养费所增加的转卖价）,那么单位时间的保养效益为g(t)u(t).另外，保养费不能过大（如单位时间保养费超过单位时间产值时，保养失去了意义），只能
36、在有界函数集中选取，记有界函数集为W,则u(t) 2W.(4)设单位时间的产值与转卖价的比值记为p,则px(t)表示在t时刻单位时间的产值，即t时刻的生产率.(5)转卖价x(t)及单位时间的保养费u(t)都是时间t的连续可微函数.为了统一标准，采用它们的贴现值.对于贴现值的计算,例如转卖价x(t)的贴现值计算，如果它的贴现因子为 (经过单位时间的单位费用贴现)，那么由8:dx(t1)dt1 = x(t1)x(t) = 1解得x(t) = e (t t1)令t1 = 0,便得t时刻单位费用的贴现（称贴现系数）为e t,所以设备在t时刻转卖价x(t)的贴现为x(t)e t.(6)欲确定的转卖时间t
37、f和转卖价x(tf)都是自由的.【模型构建】根据以上的分析与假设可知:考察的对象是设备在生产中的磨损保养系统；转卖价体现了磨损和保养的综合指标，可以选作系统的状态变量；在生产中设备磨损的不可控性强,其微弱的可控性也是通过保养体现，加之保养本身具有较强的可控性,所以选单位时间的保养费u(t)做为控制策略.这样,生产设备的最大经济效益模型可以构成为在设备磨损保养系统的（转.26.第一章变分法与最优控制卖价）状态方程8:dx(t)dt = m(t) +g(t)u(t)x(0) = x0之下，在满足0 u(t) U的函数集W中寻求最优控制策略u (t),使系统的经济效益这一性能指标J(u(t) = x
38、(tf)e tf + tf0px(t) u(t)e tdt为最大，其中tf;x(tf)都是自由的.【模型求解】首先写出问题的哈密顿函数H = px(t) u(t)e tf + m(t) +g(t)u(t) (3:4)再由协态方程及边界条件求出 (t),即由8:d (t)dt = Hx = pet(tf) = x(tf) = e tf解得(t) = (1 p )e tf + p e t下面利用最大值原理求u (t).先将（3.4）式改变为H = px(t)e t m(t) + g(t) e tu(t)显然,H是对u的线性函数,因此得到u (t) =8 00 g(t) e t 00 (1 p )e
39、 tf + p e tg(t) e t ts时,u (t) = 0,状态方程为dxdt = 2于是tts时有t0dxdt = tf0 2 + 2(1 +t)12dt+ tts( 2)dt解得x(t) = 4(1 +ts)12 + 96 2t (3:6)由自由边界条件Hjt=tf = tf及 (tf) = e tf得x(tf) = 2p = 40当t = tf时，由（3.6）式有40 = 4(1 +ts)12 + 96 2tf即tf = 2(1 +ts)12 + 28求得ts = 10:6;tf = 34:8.28.习题7于是最优控制策略（保养费）为u (t) =81为常数，求当tf自由时的最优控制u (t)及最优轨线x (t)9在生产设备或科学仪器中长期运行的零部件，如滚珠、轴承、电器元件等会突然发生故障或损坏，即使是及时更换也已经造成了一定的经济损失。如果在零部件运行一定时期后，就对尚属正常的零件做预防性更换，以避免一旦发生故障带来的损失，从经济上看是否更为合算？如果合算，做这种预防性更换的时间如何确定呢？10渔场中的鱼的数量由鱼的自然增长和捕捞量决定。设鱼的自然增长服从logistic模型，而单位时间的捕捞量是当时鱼的总数的一个确定的函数。设1t鱼的价格为p，捕捞1t鱼的费
