1、2011 年辽宁省丹东市四校协作体第二次联合考试高三数学试卷（ 供 理 科 考 生 使 用 ）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷 （非选择题）两部分，其中第 II 卷第（22）题 第（24）题为选考题，其它题为必考题第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 6 页考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第 I 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项（1）设集合 ，若 ，31,31,MxnNynZZ00,xMyN则与 的关系是0xy,N（A） （B） 0 N
2、yx0（C） （D）MyxM（2）已知 、 、 为互不重合的三个平面，命题 若 ， ，则 ；命:p/题 若 上不共线的三点到 的距离相等，则 。对以上两个命题，下列结论中正:q /确的是（A）命题“ 且 ”为真 （B）命题“ 或 ”为假pqpq（C）命题“ 或 ”为假 （D）命题“ 且 ”为假（3）若关于 x 的方程 在区间（0，1）上有解，则实数 m 的取值范围是mlog21（A） （0，1） （B） （1，2）（C） （D）),(),(),()0,(（4）已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 A 和 ，且 ，nabnn7453nB则使得 为整数的正偶数时， 的值是nab（A）1 （B）2
3、 （C）5 （D）3 或 11（5）已知函数 ，则 是lnxef()fx（A）非奇非偶函数，且在 上单调递增 （B）奇函数，且 在 R 上单调递增0,A C1 A1 B1 E C B D （C）非奇非偶函数，且在 上单调递减 （D）偶函数，且在 R 上单调递减0,（6）如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB1，AC2， BC ，D，E 分别是 AC1和 BB1的中点，则直线 DE 与平面3BB1C1C 所成的角为（A） （B） 64（C） （D）3 2（7）设函数 3002 ),()(),()( xfdxfabxf 则若（A） （B） （C） （D）2123（8）已知等比数列 ，则6n
4、的 公 比 q且 1,又 a（A） （B）5748aa5748（C） （D）|（9）已知数列 满足 ，且 ，则n *331logl()nnaN2469a的值是15793log()a（A） （B） （C）5 （D） 515（10）已知函数 ()21xf，对于满足 120x的任意 12,x，给出下列结论：（1） 21(x； （2） ()()ff；（3） 21)(ffx； （4） 1212，其中正确结论的序号是（A） （1） （2） （B） （1） （3） （C） （3） （4） （D） （2） （4）（11）定义在 R 上的函数 ，当 时， ，且满足下列条件:()fx120x12()fxf , 则
5、 等于,)(f2ff 5ff 01f（A） （B） （C） （D） 161321642（12）设函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，如0),()xfxf xx俯 视 图正 视 图 侧 视 图1，若 有三个不同的根，则实数 的取值范围是1,2.,.1kxf)( k（A） （B） （C） （D）34( 4,031,4 )31,4第 II 卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 （13）数列 ，则数列3, ,log()22nnnnnaSaba的 前 项 和 为 满 足 设的前 19 项和为 ；1nb（14）如图是一个简单的组合体的直观图与三视图下面是一个棱长为 4 的正方体
6、，正上面放一个球，且球的一部分嵌入正方体中，则球的半径是 ；（15）设 ，用 表示不超过 的最大整数，例如 则下列对xRx.52,.15函数 所具有的性质说法正确的有 ； （填上正确的编号）f定义域是 ，值域是 ；若 ，则 ； ，其中Z12x12xnx；nZ ；1x(xZ)（16）给出下列四个命题： 的否定是 ；“0,“2xR“0,2xR对于任意实数 x，有 则,0)(,)(,),()()( xgfgff 时且;)(,0gfx时函数 是偶函数；)1,0(3loaxa若对 函数 f（x）满足 ，则 4 是该函数的一个周期，其中真命,Rx)(2xff题的个数为 三、解答题：本大题共 6 小题，共
7、70 分解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤（17） （本小题满分 10 分）设数列 满足： na112,()nnaN(I)证明： 对 恒成立；n(II)令 ，判断 与 的大小，并说明理由()nabNnb1（18） （本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 PABC中 ， ， ， ， ，APBA3BC， 点 D， E分别在棱 ,上，且 /DE，2BC(I)求证： 平面 ；(II)当 为 的中点时，求 与平面 C所成的角的大小；(III)是否存在点 使得二面角 AP为直二面角？并说明理由（19） （本小题满分 12 分）已知函数 f(x) xln( x a) （ a 是常数） (I)求函数
8、f(x)的单调区间；(II) 当 在 x1 处取得极值时，若关于 x 的方程 f(x)2 x x2 b 在 ，2上恰)(y 12有两个不相等的实数根，求实数 b 的取值范围；(III)求证:当 时 2,n+Nen2221.31（20） （本小题满分 12 分）如图，正方形 ABCD所在平面与圆 O所在平面相交于 CD，线段 为圆 O的弦， AE垂直于圆 O所在平面，垂足 E是圆 上异于 的点， 3AE，圆 的直径为 9（I）求证：平面 平面 A；（II）求二面角 的平面角的正切值（21） （本小题满分 12 分） 已知函数 21()ln(0).fxax(I)若函数 在定义域内单调递增，求 a的
9、取值范围；(II)若 2a且关于 x 的方程 1()2fxb在 ,4上恰有两个不相等的实数根，求实数 b的取值范围；(III)设各项为正的数列 na满足： *11,ln2,.aN求证：12na请考生在（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题作答， 如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑（22） （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图所示，AB 是O 的直径，G 为 AB 延长线上的一点，GCD 是O 的割线，过点G 作 AB 的垂线，交 AC的延长线于点 E，交 AD 的延长线于点 F，过 G 作O 的切线，切点为H .求
10、证：（I）C， D，F，E 四点共圆；（II）GH 2=GEGF.（23） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的 x轴的正半轴重合直线 l的参数方程是3154xty（ 为参数） ，曲线 C的极坐标方程为2sin()4(I)求曲线 C的直角坐标方程；(II)设直线 l与曲线 相交于 M， N两点，求 M,N 两点间的距离（24） （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲(I)已知 都是正实数，求证： ；,xy32xyx(II)已知 都是正实数，求证： .abc3221()()abcabcABCDEF GHO三、解答
11、题：本大题共 6 小题 ，共 70 分 （17） （本小题满分 12 分）解：（1）证法一：当 时， ，不等式成立，n121a假设 时， 成立 （2 分） ，nkka当 时， （5 分）121223(1)kkka时， 时成立n1()1ka综上由数学归纳法可知， 对一切正整数成立 （6 分）2n证法二：当 时， ，结论成立；13假设 时结论成立，即 （2 分） 当 时，nk1ka1nk由函数 的单增性和归纳假设有()()fx（4 分）,121kkak 因此只需证： ，23而这等价于 ，211(2)302kk显然成立，所以当 是，结论成立；n综上由数学归纳法可知， 对一切正整数成立 （6 分）na
12、（2）解法 一： （8 分）1211()()2nnba na（1 0 分）2()2()() 4121nnn又显然 ，故 成立 （12 分）0()nbN1nb解法二： 1na()nn 21(1)()nnaa（由（1）的结论） （8 分）1(2()na（10 分）()(2)(1)nna(1)()nn1(1)0()nna所以 （12 分）1b解法三： （8 分）2211nn221()nnmaa（10 分）2()()nma10n故 ，因此 （12 分）21b1nb（）AE/BC，又由（ ）知，BC平面 PAC，DE平面 PAC，又AE 平面 PAC，PE 平面 PAC，DEAE，DEPE，AEP 为二
13、面角 ADEP的平面角，PA底面 ABC，PAAC， 90C.在棱 PC 上存在一点 E，使得 AEPC，这时 P，故存在点 E 使得二面角 ADP是直二面角.（12 分）（法 2）如图，以 A 为原煤点建立空间直角坐标系 xyz，设 Aa，由已知可得 ， ， ， .(0,)a(,0)13(,0)2Ba3(,0)2C（） ， ， ，(0,)APa1(,0)2BCa0APBCBCAP.又 9，BCAC，BC平面 PAC.（4 分）（19） （本小题满分 12 分）解：(I) 由已知由函数 的定义域为 ， ， fxxaaxxf 11，1a由 得 ，,0)(xf1a由 得 ，x所以函数 的减区间为 ，增区间为 4 分)(f,1a（II）由题意，得 ， a0 5 分1f由()知 f(x)xlnx，f(x)2xx 2b ，即 xlnx2xx 2b ， x23xlnxb0，设 x 23xlnxb(x0)，g则 2x3 ,1x 2x2 3x 1x (2x 1)(x 1)x
