1、关于超几何分布和二项分布的小题超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，若 N 件产品中有 M 件次品，抽检 n 件时所得次品数 X=k 则 P(X=k) 此时我们称随机变量 X 服从超几何分布（hypergeometric distribution ） 1）超几何分布的模型是不放回抽样 2）超几何分布中的参数是 M,N,n 上述超几何分布记作 XH(n，M ，N) 。二项分布：二项分布（Binomial Distribution） ，即重复 n 次的伯努力试验（Bernoulli Experiment）, 用 表示随机试验的结果. 如果事件发生的概率是 P,则不发生的概率 q=1-p，N 次独立
2、重 复试验中发生 次的概率是 上述二项分布记作kknkqpPC)( ),(pnB下面我通过几个例子说明一下两者的区别【例 1】某人参加一次英语考试，已知在备选题的 10 道试题中能答出其中的 4 道题，规定每次考试从备选题中随机抽取 3 题进行测试，求答对题数 的分布列？解：由题意得 ， ， ， . 服从参数为 , , 的超几何分布.01210NM3n6)(3106CP 216)(31024CP1032)2(3104 30)(3104故 的分布列 2P61103点评：这是一道超几何分布的题目，学生在做的时候容易把它看到是二项分布问题，把事件发生的概率看做是 0.4。【例 2】甲乙两人玩秒表游戏
3、，按开始键，然后随机按暂停键，观察秒表最后一位数，若出现 ， ， ， 则甲赢，若最后一位出现 ， ， ， 则乙赢，若最后一位出现 ，01367894是平局.玩三次，记甲赢的次数为变量 ，求 的分布列5X解：由题意得： ， ， ， 0X123216.0.)0(3CP4.6.)1(3CP 8.423故 的分布列4X0123P216.432.08.0064.点评：学生这是一道二项分布的题目，学生容易看成超几何分布，认为 服从X, , 的超几何分布。10N4M3n【例 3】已知一批种子发芽率为 0.4 现在从中选取三颗进行测试，记其发芽数为 ，求 的分布列。解：由题意得 ， ， ， .0123)6.0
4、(B216.0.)(30CP46.)1(3CP 84223故 的分布列4.013216.432.028.0064.点评：与例 2 比较这两个题目是完全相同的。二项分布应满足独立重复试验：每一次试验中只有两种结果（要么发生，要么不发生）.任何一次试验中发生的概率都一样.每次试验间是相互独立的互不影响的.例 1 在抽取过程中可以认为是不放回的抽取，两次抽取之间是有影响的不是独立的。例 2、例 3 在抽取过程中可以认为是有放回的抽取，两次抽取过程中是互不影响的。【例 4】 （2006广东，16）某运动员射击一次所得环数 的分布列如下：XX6078910P2.03.03.02.现进行两次射击，以该运动
5、员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为 .求 的分布列？解：由题意得 ， ， ， ， .6078910环 ） ，两 次 命 中小 于环 ， 另 一 次 命 中 的 环 数一 次 命 中 mPmP ()()( 2 04.2.02.)7( P39.0.3.0)9(）（61 ）（P故 的分布列为6078910P04.21.3.036.点评：学生容易把本题看做是超几何分布，理解成【例 5】 ，本题利用课本上推到二项分布公式的原理中事件的独立性和互斥性。【例 5】一个袋中装有 10 个大小相同的小球，其中标号为 7 的球 2 个，标号为 8 的球 3 个，标号为 9 的球 3 个，标号为 10 的球 2
6、 个.从盒中任取两球记较大的一个球的标号为 ，求的分布列？解：由题意得 ， ， ， .78910当 时包含一个球标号为 和一个球标号比 小，和两个标号都是mmm45)7(210CP 5149)8(21033CP)9(21033 47)(2108故 的分布列为78910P4515152457【例 6】一个袋中装有 20 个大小相同的小球，其中标号为 7 的球 4 个，标号为 8 的球 6 个，标号为 9 的球 6 个，标号为 10 的球 4 个.从盒中任取两球记较大的一个球的标号为 ，求的分布列？答案： 78910P9531903381597点评：【例 5】和【例 6】虽然球所占的比例相同，但分
7、布列也不同。两次试验都可以看做是不放回的抽取，两次抽取不是相互独立的。对比同学看以看一下下面两道超几何分布问题袋中有 10 个完全相同球，其中白球 3 个，黑球 7 个，从中,取出 2 个球记录其中白球个数为 ，求 的分布列.袋中有 20 个完全相同球，其中白球 6 个，黑球 14 个，从中,取出 2 个球记录其中白球个数为 ，求 的分布列.【例 7】一个袋中装有 10 个大小相同的小球，其中标号为 7 的球 2 个，标号为 8 的球 3 个，标号为 9 的球 3 个，标号为 10 的球 2 个.从盒子中任意取出一个球，放回后第二次再任取一个球，记两次球标号较大的为 ，求 的分布列？方法一：解
8、： ， ， ， .由【例 1】中类似的方法789042.)(P 21.03.203.)8( P9.3.）（ 6.03.0)1(）（7810P4.21.39.036.方法二：由分步计数原理共计有 种取法，当 时有01m种取法.22)m（ 标 号 小 于）（ 标 号 小 于 等 于 04.1)7(P 21.0158(P39589 368)故分布列为 78910P04.210.点评：【例 7】可以看做是又放回的抽取，每次抽取是相互独立的。小结：当抽取的方式从无放回变为有放回，超几何分布变为二项分布，当产品总数 N很大时，超几何分布变为二项分布。独立重复试验的实际原型是有放回的抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似的看做此类型。
