1、知识结构,要点复习,例题解析,巩固练习,平面向量复习,平 面 向 量 复 习,表示,运算,实数与向量的积,向量加法与减法,向量的数量积,平行四边形法则,向量平行的充要条件,平面向量的基本定理,三 角 形 法 则,向量的三种表示,平 面 向 量 复 习,向量定义：,既有大小又有方向的量叫向量。,重要概念：,（1）零向量：,长度为0的向量，记作0.,（2）单位向量：,长度为1个单位长度的向量.,（3）平行向量：,也叫共线向量，方向相同或相反 的非零向量.,（4）相等向量：,长度相等且方向相同的向量.,（5）相反向量：,长度相等且方向相反的向量.,平 面 向 量 复 习,几何表示,: 有向线段,向量
2、的表示,字母表示,坐标表示,: (x，y),若 O(0,0), A(x1,y1), B(x2,y2),AB =,(x2 x1 , y2 y1),(x1 , y1),1.单位向量都相等；,判断下列命题的真假：,8. 与 的夹角0，。,3.长度不等且方向相反的两向量不一定共线；,(假),(真),(假),(假),(假),(假),(假),(真),平 面 向 量 复 习,向量的模（长度）,1. 设 a = ( x , y ),则,2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则,平 面 向 量 小 复 习,已知向量a=（5，m）的长度是13，求m.,答案： m =
3、 12,平 面 向 量 复 习,1.向量的加法运算,A,B,C,AB+BC=,三角形法则,O,A,B,C,OA+OB=,平行四边形法则,坐标运算:,则a + b =,重要结论：AB+BC+CA=,0,设 a = (x1, y1), b = (x2, y2),( x1 + x2 , y1 + y2 ),AC,OC,平 面 向 量 复 习,2.向量的减法运算,1）减法法则：,O,A,B,OAOB =,2）坐标运算:,若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ),则a b=,3.加法减法运算率,a+b=b+a,（a+b)+c=a+(b+c),1）交换律：,2）结合律：,BA,(x1 x2
4、 , y1 y2),平 面 向 量 复 习,例1 化简（1）（AB + MB）+ BO + OM（2） AB + DA + BD BCCA,分析,利用加法减法运算法则，借助结论,AB=AP+PB；AB=OBOA；AB+BC+CA=0,进行变形.,解：,原式=,AB +（BO + OM + MB）,= AB + 0,= AB,（1）,（2）,原式=,AB + BD + DA （BC + CA）,= 0BA = AB,例1,平 面 向 量 复 习,练习2 如图，正六边形ABCDEF中，AB=a、BC=b、 AF=c，用a、b、c表示向量AD、BE、BF、FC.,A,F,E,D,C,B,a,c,b,
5、答案：,AD=2 b,BE=2 c,BF= ca,FC=2 a,思考： a、b、c 有何关系？,b =a + c,0,平 面 向 量 小 复 习,练习3已知点A（2，1）、B（1，3）、C（2，5）求（1）AB、AC的坐标；（2）AB+AC的坐标；（3） ABAC的坐标.,答案： （1） AB=（3，4）， AC =（4， 4 ）,（2）AB+AC=（ 7，0 ）,（3） ABAC= （1，8）,平 面 向 量 复 习,实数与向量 a 的积,定义：,坐标运算：,其实质就是向量的伸长或缩短！,a是一个,向量.,它的长度 |a| =,| |a|；,它的方向,(1) 当0时,a 的方向,与a方向相同
6、；,(2) 当0时,a 的方向,与a方向相反.,若a = (x , y), 则a =, (x , y),= ( x , y),平 面 向 量 复 习,非零向量平行（共线）的充要条件,ab,a=b （R且b0）,向量表示：,坐标表示：,设a = ( x1, y1 ) , b = ( x2, y2 )，则,ab,x1y2x2y1=0,平 面 向 量 小 复 习,n为何值时, 向量a=（n，1）与b=(4,n)共线且方向相同?,答案： n= 2,思考: 何时 n=2 ?,平 面 向 量 复 习,例3,设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)， 求证：A、B、D 三点共线。,
7、分析,要证A、B、D三点共线，可证,AB=BD关键是找到,解：,BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b,AB=2 BD,且AB与BD有公共点B, A、B、D 三点共线,AB BD,例3,平 面 向 量 复 习,例2 已知 a=(1, 2), b=(3, 2), 当k为何值时, ka+b与a3b平行? 平行时它们是同向还是反向?,分析,先求出向量ka+b 和a3b的坐标，再根据向量平行充要条件的坐标表示, 得到关于k方程, 解出k, 最后它们的判断方向.,解: ka+b=k(1, 2)+(3, 2)=,思考: 此题还有没有其它解法?,(k3,2k+2),a3b=(1, 2)
8、3(3, 2)=,(10, 4),(ka+b)(a3b),4(k3)10(2k+2)=0,K=, ka+b=,=,(a3b),它们反向,例2,平 面 向 量 复 习,平面向量的基本定理,设 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任何一个向量 a ，有且只有一对实数1、2 使,a =1 e1 +2 e2,不共线的向量 e1和 e2 叫做表示这一平面 内所有向量 的一组基底,1 e1 +1 e2 =2 e1 +2 e2,1= 2, 1=2,向量相等的充要条件,1、平面向量数量积的定义：,数量积,3、运算律:,2、数量积的坐标运算,4、向量垂直的判定,5、向量的模,6、向量的夹角,坐标表示,向量表示,0, 180,cos=,6或-1,-6,2,1,2,2,2,1,1,1,2,1,PP,P,P,y,x,P,y,x,P,P,P,y,x,P,l,l,=,即,）,，,（,），,，,（,，其中,所成定比为,）分有向线段,，,（,点,定比分点P的坐标,中点坐标,7、线段的定比分点,练习,点P（x，y）分有向线段p1p2所成比为3， 其中p1（1，4），p2（3，5）求p点坐标,平 面 向 量 小 复 习,已知a=（1，0），b=（1，1），c =（10） 求和，使 c =a +b.,答案： =1， = 0,
