1、第4讲：自由曲线和曲面,第四章：自由曲线和曲面,参数样条曲线 Bezier曲线 B样条曲线 自由曲面,概 述,从计算机对形状处理的角度来看 （1）唯一性 （2）几何不变性： 对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行拟合，用同样的数学方法得到的拟合曲线形状不变。 （3）易于定界 （4）统一性： 统一的数学表示，便于建立统一的数据库,概 述,标量函数：平面曲线 y = f(x)空间曲线 y = f(x)z = g(x) 矢量函数：平面曲线 P(t) = x(t) y(t)空间曲线 P(t) = x(t) y(t) z(t),插值、逼近和拟合,插值严格通过已知型值点逼近近似地地接近已知型值点拟合以上
2、两种方法统称,插值,逼近,自由曲线曲面的发展过程,目标：美观，且物理性能最佳 1963年，美国波音飞机公司，Ferguson双三次曲面片 19641967年，美国MIT，Coons双三次曲面片 1971年，法国雷诺汽车公司，Bezier曲线曲面 1974年，美国通用汽车公司，Cordon和Riesenfeld, Forrest, B样条曲线曲面 1975年，美国Syracuse大学，Versprille有理B样条 80年代，Piegl和Tiller, NURBS方法,参数表示的好处,有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状 易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算 设计或表示形状更直观，许多参数表
3、示的基函数如Bernstein基和B样条函数，有明显的几何意义,1 参数样条曲线,曲线的三种坐标表示法 直角坐标表示1) 显式： y = f (x) 如 y = sin (x)2) 隐式： f (x, y) = 0,参数坐标表达式,1 参数样条曲线,极坐标表示对于任一坐标曲线 ，坐标变换关系式：例：阿基米德螺线：,1 参数样条曲线,参数坐标表示例：弹道曲线：,1 参数样条曲线,二次参数样条曲线或曲面三次参数样条曲线或曲面参数样条曲线术语 型值点和控制点型值点或控制点的个数 = 曲线次数+1 切线、法线和曲率切线是一阶导数，曲率是二阶导数,1 参数样条曲线,2. 切线、法线和曲率 曲率公式,+d
4、,d,M,Q,ds,x = x ( t ),y = y ( t ), t 0, 1 z = z ( t ),矢量形式： P = P ( t ), t 0, 1 P ( t ) 的 k 阶导数,1 参数样条曲线,对 t = t0，若 P(t0) = x(t0), y(t0),z(t0)T 0， 则称 P(t0)为正则点。正则点的几何意义是什么？,1 参数样条曲线,导数的意义是 P对t 的变化率， P(t0) = 0 意味着 P 在t0处为水平线。,切矢量,曲线弧长,法矢量,曲率,T(s),P(s),P(s+s),T(s +s),R,Q,参数连续性和几何连续性,0阶参数连续性 C 0连续性 如：折
5、线 1阶参数连续性 C 1连续性 如：直线 2阶参数连续性 C 2连续性 如：圆、抛物线、双曲线,3 三次Hermite曲线,定义 给定4个矢量 ，称满足条件的三次多项式曲线P(t)为Hermite曲线,三次Hermite曲线,矩阵表示 条件,三次Hermite曲线,合并解,三次Hermite曲线,基矩阵与基函数（调和函数）,24,三次Hermite曲线,形状控制 改变端点位置矢量P0, P1 调节切矢量 R0, R1 的方向 调节切矢量 R0, R1 的长度Heimite插值曲线并不唯一，需要给出端点条件,三次插值样条曲线的端点条件,二次插值样条需要四个条件。 在全部点列Pi(i=1,2,n
6、)中，得到n-3段曲线：,P0和Pn+1的不同会导致不同的曲线,三次插值样条曲线的端点条件,三次插值样条的端点条件（常用）。已知两端的切矢P1和Pn自由端条件形成封闭曲线,P0,P1,P2,Pn,Pn,Pn+1,P1,Pn,27,三次Hermite曲线,优点： 简单，易于理解 缺点： 难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件 不方便,所有参数插值曲线的缺点： 只限于作一条点点通过给定数据点的曲线 只适用于插值场合，如外形的数学放样 不适合于外形设计,28,三次Hermite曲线,优点： 简单，易于理解 缺点： 难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件 不方便,所有参数插值曲线的缺点： 只限于作
7、一条点点通过给定数据点的曲线 只适用于插值场合，如外形的数学放样 不适合于外形设计,Bezier曲线表达式二次Bezier曲线： P(t) = (1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2三次Bezier曲线： P(t) = (1-t)3P0+3t(1-t)2P1 + 3t2(1-t) P2 +t3P3,3 Bezier曲线,Bezier曲线,1962年，法国雷诺汽车公司 P.E.Bezier工程师 以“逼近”为基础 用于汽车设计的UNISURF系统 1972年雷诺汽车公司正式使用,Bezier曲线,Bezier基函数-Bernstein多项式的定义,32,Bezier曲线,Bezier基函
8、数-Bernstein多项式的定义,33,Bezier曲线,Bernstein基函数的性质 正性权性对称性降阶公式升阶公式,34,Bezier曲线,导数积分最大值 在t = i/n处取得最大值线性无关性是n次多项式空间的一组基,35,Bezier曲线,Bezier曲线的定义 n次多项式曲线P(t)称为n次Bezier曲线控制顶点 控制多边形,36,Bezier曲线,对称性 不是形状对称 保持贝塞尔曲线全部控制点Pi的坐标位置不变，只是将控制点Pi的排序颠倒 ，曲线形状保持不变,37,Bezier曲线,凸包性 点集的凸包 包含这些点的最小凸集 Bezier曲线位于其控制顶点的凸包之内,38,Be
9、zier曲线,多值性,39,Bezier曲线,二次Bezier曲线 n=2 抛物线,40,Bezier曲线,三次Bezier曲线 n=3,41,缺点： 所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远 局部控制能力弱，因为曲线上任意一点都是所有给定顶点值的加权平均 控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高 控制顶点数较多时，多边形对曲线的控制能力减弱 曲线拼接需要附加条件，不太灵活,Bezier曲线,42,4 B样条曲线,产生： 1946年，Schoenberg发表关于B样条函数的第1篇论文 1973年前后，Gordon,Riesenfield,Forrest等人受到Bezier方法的启发，将B样条函数拓
10、广成参数形式的B样条曲线 优于Bezier曲线之处： 与控制多边形的外形更接近 局部修改能力 任意形状，包括尖点、直线的曲线 易于拼接 阶次低，与型值点数目无关，计算简便,43,B样条曲线,定义：给定m+n+1个空间向量 ，(k=0,1,m+n)，称n次参数曲线为n次B样条曲线的第i段曲线（i=0,1,m） 它的全体称为n次B样条曲线，它具有Cn-1连续性,44,B样条曲线,为简化记号，取i=0来代表样条中的任意一段基函数为B样条函数,45,B样条曲线,二次B样条 n=2 抛物线,46,B样条曲线,三次B样条 n=3,B0,B1,B2,B3,47,B样条曲线,三次B样条的C2连续性 如果增加一
11、个控制顶点P4，则前一段曲线是否会受影响？,P4,B-样条曲线表达式 与Bezier样条相比的优点：1) B-样条多项式次数独立于控制点的个数。 2) B-样条允许曲线和曲面可以局部控制。B-样条的基函数比Bezier的基函数更为复杂。,4 B-样条曲线,B-样条基函数,4 B-样条曲线,i = 0, 1, n,B-样条曲线局部性、凸包性、直线再生性、 分段参数多项式曲线、连续性、 导数曲线、仿射不变性、平面保型性,4 B-样条曲线,非均匀有理B样条(NURBS)一条k阶（k-1次）非均匀有理B样条其中Ri(i=1,2,n)为控制顶点，hi(i=1,2,n)称为权或权因子，分别与控制顶点相联系
12、。其中首、末权因子大于零，其余权因子不小于零。控制顶点顺序连成控制多边形。其节点向量是一般非均匀的。当所有权因子均为1时，NURBS曲线就成为B样条曲线。,5 非均匀有理B样条,对标准的解析形状（如圆锥曲线、二次曲面、回转面等）和自由曲线、曲面提供了统一的数学表示，而且对二次曲线曲面的表示是精确的。 由操纵控制顶点和权因子为各种形状设计提供了充分的灵活性。 计算稳定且速度较快。 NURBS在比例、旋转、平移、剪切以及平行和透视投影变换下是不变的。 NURBS是非有理B样条形式以及Bezier形式的合适的推广。,NURBS的特点,4 自由曲面,参数曲面的概念P(u,w) = x(u,w), y(
13、u,w), z(u,w) 0 u,w 1,0,1,1,u,w,(u,w),P(0,0),P(0,w),P(0,1),P(u,0),P(1,1),P(1, w),P(1, 0),P(u, 0),P(u,w),u和w向切矢：四个角点的u向和w向切矢为：Pu(0,0)、 Pu(1,0)、 Pu(0,1) 、Pu(1,1)、Pw(0,0)、 Pw(1,0)、 Pw(0,1) 、Pw(1,1). 混合偏导矢（扭矢）：四个角点的扭矢为：Puw(0,0)、 Puw(1,0)、 Puw(0,1) 、Puw(1,1),三次曲面的数学表示,双三次曲面片的代数形式为其矩阵表达式为P(u,w) = UAWT 其中,1
14、. 孔斯（Coons）曲面,由曲面四个角点、每个角点处的两个切矢及四个角点处的混合偏导矢（扭矢）确定曲面。,P(0,0),P(0,w),P(0,1),P(u,1),P(1, w),P(1, 0),P(u, 0),P(1,1),P(u,w),Coons曲面的特点：,属于构造插值曲面的方法，曲面构造的几何意义明确且曲面的表达式简洁，主要用于构造那些通过给定型值点的曲面，而不适用于进行曲面的设计。这是因为： 在曲面设计的初级阶段，需要不断地修改型值点的位置。所以对位置尚未最后确定的型值点构造插值曲面，显然是不合理的。 由于扭矢的几何意义不很明显，工程设计人员难以把握，因此难以提供精确的角点信息，使曲
15、面的形状不易控制。 不具备局部性。修改任意一个型值点都会影响整张曲面的形状，而其形状变化又难以预测。,2. Bezier曲面,用控制多边形网格（特征网格）替代点矢、切矢与扭矢构造Bezier曲面。可以认为控制网格是曲面P(u,w)大致形状的勾画；P(u,w)是对控制网格的逼近。,Bezier曲面的特点：,Bezier曲面是以逼近为基础的曲面设计方法。它先通过控制顶点网格勾画出曲面的大体形状，然后通过修改控制顶点的位置修改曲面的形状。这种构造方法比较直观，易于为工程设计人员所接受，因而获得了广泛的应用。 这种方法不具有局部性，即修改任意一个控制顶点都会影响整张曲面的形状。,B样条曲面,用控制多边
16、形网格（特征网格）替代点矢、切矢与扭矢构造曲面。注意:Ni,3(t)为3次均匀B样条基函数,B样条曲面的特点：,B样条曲面构造方法是Bezier曲面方法的推广，它用B样条基函数代替Bezier方法中的Bernstein基函数来反映控制顶点对曲面形状的影响。它在保留了Bezier曲面设计方法几乎所有优点的同时，解决了Bezier曲面设计中存在的局部性修改问题。,非均匀有理B样条曲面（NURBS）,给定一张(m+1)x(n+1)的网格控制点 Pij (i=0,1,m; j=0,1,n),以及各控制网格点的权值Wij (i=0,1,m; j=0,1,n)，则其确定的NURBS曲面的表达式为：,NURBS曲面的特点：,规则曲面与自由曲面精确的统一的数学表示。 有多种方式定义曲面，但构造这些曲面的数学基础以及在造型系统中存储它们的方法是相同的。 NURBS方法已成为众多CAD/CAM系统的基本几何表达式和数据交换标准。,Thank You !,
