1、6 3常用参数曲面 本节讨论常用曲面的表示 性质及其有关构造算法 常见的曲面有 平面 二次曲面 直纹面 双线性曲面 Coons曲面 Bezier曲面 B样条曲面 NURBS曲面等 6 3 1参数曲面的定义 曲面也有显式 隐式和参数式表示 从计算机图形学的角度看 参数曲面更便于计算机表示和构造 一张矩形域上的参数曲面片由曲线边界包围具有一定连续性的点集面片 用双参数的单值函数表示为 x x u w y y u w z z u w u w 0 1 可记为p u w x u w y u w z u w 6 3 1参数曲面的定义 参数曲面片常用几何元素有以下几种 角点p 0 0 p 1 0 p 0 1
2、 和p 1 1 可简记为p00 p10 p01和p11 边界线矩形域曲面片的四条边界线是p u 0 p u 1 p 0 w 和p 1 w 可简记为pu0 pu1 p0w和p1w曲面上的一点p ui wj 可简记为pijPij点的切矢PijuPijw点的法矢n ui wj 简记为nij 6 3 1参数曲面的定义 常用面片的参数表示 二维矩形平面球面简单回转体双三次参数曲面代数形式P UAWT几何形式几何系数矩阵BP F u BFT w UMBMTWT切矢和扭矢 6 3 2参数曲面的重新参数化 参数方向变反重新参数化的一般形式参数曲面片的分割给定一张参数曲面片 其几何系数矩阵B1 求其子曲面片的几
3、何系数矩阵B2 6 3 3平面二次曲面和直纹面 平面P u w p00 ur wsu w 0 1 二次曲面Ax2 By2 Cz2 Dxy Eyz Fxz Gx Hy Jz k 0矩阵形式 XSXT 0直纹面绕面上的任一点的面法矢旋转含该法矢的平面 如果该平面至少在某一方向上有一条边和该面重叠 p1 u w 1 u p0w up1wu w 0 1 双线性曲面P342 6 3 4Coons曲面 1964年S A Coons提出一种采用参数方法的曲面分片 拼合造型的思想 用四条边界构造曲面平面 线性Coons曲面是通过四条边界曲线pu0 pu1 p0w p1w来构造曲面 p1 u w 1 u p0w
4、 up1wu w 0 1 p2 u w 1 w pu0 wpu1u w 0 1 p3 u w 1 w 1 u p00 up10 w 1 u p01 up11 P u w p1 u w p2 u w p3 u w u w 0 1 6 3 4Coons曲面 第二类Coons曲面不仅插值于曲面的四条边界 而且插值于给定的斜率 已知四条边界曲线pu0 pu1 p0w p1w及导数矢量pu0w pu1w p0wu p1wu 则p1 u w F0 u p0w F1 u p1w G0 u p1wu G1 u p1wup2 u w F0 w pu0 F1 w pu1 G0 w pu0w G1 w pu1wp3
5、 u w 6 3 4Coons曲面 第二类Coons曲面P u w p1 u w p2 u w p3 u w u w 0 1 张量积曲面在上述曲面构造中 若取边界及跨边界的切矢都按同一调和函数规律地变化 则可简化 略详见P345 6 3 4Coons曲面 Coons曲面片的拼接两张Coons曲面S1 u w 和S2 u w 拼接 要求在公共边界处达到C0G1连续 C0连续要求公共边重叠 即S1 1 w S2 0 w G1连续要求S1 1 w 的S2 0 w 切平面共面 且法矢的方向保持一致 充要条件是 6 3 5Bezier曲面 基于Bezier曲线的讨论 我们可以方便地可以给出Bezier曲
6、面的定义和性质 Bezier曲线的一些算法也可以很容易扩展到Bezier曲面的情况 1 定义设Pij i 0 1 n j 0 1 m 为 m 1 n 1 个空间点列 则m n次Bezier曲面定义为 6 3 5Bezier曲面 其中 是Bernstein基函数 依次用线段连接点列Pij i 0 1 n j 0 1 m 中相邻两点所形成的空间网格 称之为特征网格 Bezier曲面的矩阵表示式是 在一般实际应用中 m n不大于4 性质 除变差减小性质外 Bezier曲线的其它性质可推广到Bezier曲面 1 Bezier曲面特征网格的四个角点正好是Bezier曲面的四个角点 即 性质 2 Bezi
7、er曲面特征网格最外一圈顶点定义Bezier曲面的四条边界 Bezier曲面边界的跨界切矢只与定义该边界的顶点及相邻一排顶点有关 且 和 图打上斜线的三角形 其跨界二阶导矢只与定义该边界的及相邻两排顶点有关 3 几何不变性 4 对称性 5 凸包性 1 双线性Bezier曲面当m n 1时 2 双二次Bezier曲面当m n 2时 其边界曲线及参数坐标曲线均为抛物线 3 双三次Bezier曲面当m n 3时 其矩阵表示为S u w UMzBzMzTWT其中U u3u2u1 W w3w2w1 Mz同前Bezier曲线中 而 两张Bezier曲面S1 u w 和S2 u w 分别由控制顶点Pij和Qij定义 进行拼接C0连续要求公共边重叠 即S1 1 w S2 0 w C1连续要求S1在u 1和S2在u 0处的切矢必须相同 即为两曲面在公共边界处的法矢必须连续 表达式为 4 Bezier曲面片的拼接
