1、程序设计领域里，每一个人都想飞。 但是，还没有学会走之前，连怕跑都别想！,勿在浮沙筑高台！,2019年4月30日星期二,2019年4月30日星期二,专题一：图论基础问题知识点讲解,该材料用于图论第2讲课知识点讲解环节,在无向图G中，与结点v(vV)关联的边的条数（有环时计算两次），称为该结点的度数，记为deg(v)；,结点的度数 （次数）,在有向图G中，以结点v为始点引出的边的条数，称为该结点的出度,记为deg+(v)；以结点v为终点引入的边的条数，称为该结点的入度,记为deg-(v)；而结点的引出度数和引入度数之和称为该结点的度数，记为deg(v)，即deg(v)deg+(v)+deg-(v
2、)；,对于图G，度数为1的结点称为悬挂结点，它所关联的边称为悬挂边。 在图G中，称度数为奇数的结点为奇度数结点，度数为偶数的结点为偶度数结点。,结点的度数 （次数）,v5是悬挂结点，为悬挂边。,度数序列,设Vv1, v2,vn为图G的结点集，称,(deg(v1),deg(v2),deg(vn)为G的度数序列。,上图的度数序列为（3,3,5,1,0）。,（3,3,2,3），（5,2,3,1,4）能成为图的度数序列吗？为什么？ 已知图G中有10条边，4个度数为3的结点，其余结点的度数均小于等于2，问G中至少有多少个结点？为什么？,度数序列,解 1）由于这两个序列中，度数为奇数的结点个数均为奇数，由
3、握手定理的推论知，它们都不能成为图的度数序列。 2）图中边数为10，由握手定理知，G中所有结点的度数之和为20，4个度数为3的结点占去12度，还剩下8度。若其余全是度数为2的结点，还需要4个结点来占用这8度，所以G至少有8个结点。,握手定理,在无向图G中，则所有结点的度数的总和等于边数的两倍，即：,在有向图G中，则所有结点的引出度数之和等于所有结点的引入度数之和，所有结点的度数的总和等于边数的两倍，即：,推论,在图G中，其Vv1,v2,v3,vn，E,e1，e2，em，度数为奇数的结点个数为偶数。,证明设V1v|vV且deg(v)奇数，V2v|vV且deg(v)偶数。显然，V1V2，且V1V2
4、V，于是有：,由于上式中的2m和(偶数之和为偶数)均为偶数，因而也为偶数。于是|V1|为偶数(因为V1中的结点v之deg(v)都为奇数)，即奇度数的结点个数为偶数。,度数序列,设Vv1, v2,vn为图G的结点集，称(deg(v1),deg(v2),deg(vn)为G的度数序列。,上图的度数序列为（3,3,5,1,0）。,（3,3,2,3），（5,2,3,1,4）能成为图的度数序列吗？为什么？ 已知图G中有10条边，4个度数为3的结点，其余结点的度数均小于等于2，问G中至少有多少个结点？为什么？,解 1）由于这两个序列中，度数为奇数的结点个数均为奇数，由握手定理的推论知，它们都不能成为图的度数
5、序列。 2）图中边数为10，由握手定理知，G中所有结点的度数之和为20，4个度数为3的结点占去12度，还剩下8度。若其余全是度数为2的结点，还需要4个结点来占用这8度，所以G至少有8个结点。,度数序列,子图,定义8.7 设有图G和图G。 若VV，EE，则称G是G的子图，记为GG。 若GG，且GG（即VV或EE），则称G是G的真子图，记为GG。 若V=V，EE，则称G是G的生成子图。 设V“V且V“，以V“为结点集，以两个端点均在V“中的边的全体为边集的G的子图称为V“导出的G的子图，简称V“的导出子图。,在如图中，给出了图G以及它的真子图G和,生成子图G“ 。G是结点集v1，v2，v3，v4，
6、v5 的导出子图。显然，每个图都是它自身的子图。,子图,完全图,设G为一个具有n个结点的无向简单图，如果G中任一个结点都与其余n-1个结点相邻接，则称G为无向完全图，简称G为完全图，记为Kn。设G为一个具有n个结点的有向简单图，若对于任意u,vV(uv)，既有有向边，又有有向边，则称G为有向完全图，在不发生误解的情况下，也记为Kn。,完全图,无向的简单完全图K3，K4，K5和有向的简单完全图K3。,无向完全图Kn的边数为 = n(n-1)，有向完全图Kn的边数为 = n(n-1)。,改变才能更好的生存！,29-15,补图,设G为具有n个结点的简单图, 从完全图Kn中删去G中的所有边而得到的图
7、称为G相对于完全图Kn的补图，简称G的补 图，记为G。这里，当G为有向图时，则Kn为有向完 全图：当G为无向图时，则Kn为无向完全图,显然，G与G互为补图，即G=G。,改变才能更好的生存！,29-16,补图,图的同构,图的同构：设两个图G=和G=，如果 存在双射函数g：VV，使得对于任意的e=(vi,vj)（或者）E当且仅当e= (g(vi),g(vj)（或者）E， 并且e与e的重数相同，则称G与G同构， 记为GG。,图的同构,容易验证：G1G2，结点之间的对应关系为：av1，bv2，cv3，dv4，ev5；G3G4；G5G6；但G7与G8不同构。图G5称为彼得森图。,两个图同构的必要条件,结
8、点数目相同； 边数相同； 度数相同的结点数相同。,注意：这三个条件并不是充分条件。例如下面两个图满足这三个条件，但它们不同构。,若图的结点可以任意挪动位置，而边是完全弹性的，只要在不拉断的条件下，一个图可以变形为另一个图，那么这两个图是同构的。,图的同构,图论里的图要比欧几里得几何学里的图抽象得多。 由于它描绘的是事物之间的某种“关系”，而不是事物的几何形状，因此它不在乎图形的外形与大小，更不涉及长度、面积、体积、角度等这些量，它只包含顶点和边这两种要素，用这两种要素来描绘事物之间的种种关系就足够了。 在图论里判断两个图是否相同，就是说是否同构，只要看两个图所描绘的顶点和邻接关系是否相同就行了，而不需要看这两个图的形状、大小是否相同这正是图论里的图和欧几里德几何学里的固有本质区别的地方。,图的同构,图的同构,判断下列两组图是否相同,
