1、2019/4/30,1,Content,第五章 函数,本章主要介绍函数的概念函数的复合逆函数函数在集合的基数中的应用。,2019/4/30,2,Definition,5-1 函数的基本概念,一. 概念 定义：X与Y集合， f 是从X到Y的关系，如果任何xX，都存在唯一yY，使得 f ,则称f 是从X到Y的函数，(变换、映射)，记作f :XY, 或 XY。如果f :XX是函数, 也称f是X上的函数.,X：定义域/domain of f x: y 的原像/pre-image Y：陪域/codomain of f y: x的像/image f （X）：值域（Rf 、ran f )/range of
2、f,2019/4/30,3,下面是大家熟悉的实数集合上的几个关系，哪些是R到R的函数？f=|x,yRy= g=|x,yRx2+y2=4 h=|x,yRy= x2 r =|x,yRy=lgx v =|x,yRy= ,Definition,2019/4/30,4,二. 函数的表示方法同关系的表示方法，也有枚举法、有向图、矩阵、谓词描述法。这里不再赘述。函数的矩阵的特点：每行必有且只有一个1。,三. 从X到Y函数的集合YX：YX =f | f :XYYX ：它是由所有的从X到Y函数构成的集合,Definition,2019/4/30,5,例 X=1,2,3 Y=a,b 所有的从X到Y函数:,YX =
3、f1, f2, f3, f4, f5, f6, f7, f8如果X和Y是有限集合，|X|=m,|Y|=n,因为X中的每个元素对应的函数值都有n种选择，于是可构成nm个不同的函数，因此 |YX|=|Y|X|=nm,2019/4/30,6,四. 特殊函数,1. 常值函数：函数f :XY ，如果y0Y, 使得对xX, 有f(x)=y0 , 即ran f =y0 ,称f是常值函数。如上例的f 1和f 8。 2.恒等函数：恒等关系IX是X到X函数，即IX:XX,称之为恒等函数。显然对于xX，有 IX(x)=x 。,五 .两个函数相等,设有两个函数f :AB g:CD, f =g 当且仅当 A=C， B=
4、D，且对任何xA，有f (x)= g (x)。即它们的定义域相等、陪域相等、对应规律相同。,2019/4/30,7,六. 函数的类型,一对一,一对一,满射的,映内的,入射的 单射的 一对一的,双射的 一一对应的,2019/4/30,8,思考题,如果 f :XX是入射的函数，则必是满射的， 所以 f 也是双射的。此命题成立吗？,答案是：不一定。 例如f :NN, f (n)=2n, f是入射的，但不是满射的函数。只有当X是有限集合时，上述命题才成立。,本节重点掌握：函数的定义、函数的类型的判定和证明。 作业 P151 (1) ,(3) ,(5) ,(6),2019/4/30,9,5-2 函数的复
5、合,定义 f :XY, g :YZ是函数,则定义 g f |xXzZy(yYfg) 则称 g f 为f与g的复合函数(左复合)。g f :XZ,即 g f 是X到Z的函数.这样写是为了照顾数学习惯: g f(x)=g(f(x),2019/4/30,10,复合函数的计算,计算方法同复合关系的计算， 但要注意是左复合。,例 f:XY, g:YZ X=1,2,3 Y=1,2,3,4, Z=1,2,3,4,5, f =, g= , g f =, ,=,3,3,用有向图复合:,2019/4/30,11,例 令f和g都是实数集合R上的函数,如下:f=|x,yRy=3x+1 g=|x,yRy= x2 + x
6、 分别求 g f 、 f g 、 f f 、 g g g f (x)=g(f(x)=(3x+1)2+(3x+1)=9x2+9x+2f g (x)=f(g(x)=3(x2+x) +1=3x2+3x+1f f (x)=f(f(x)=3(3x+1) +1=9x+4g g (x)=g(g(x)=(x2+x)2+(x2+x)=x4 +2x3 +2x2 + x可见复合运算不满足交换性。,2019/4/30,12,函数复合的性质,1. 定理5-2.1 满足可结合性 f :XY, g:YZ, h :ZW 是函数,则 (h g) f =h (g f ),2.定理5-2.2 f :XY, g:YZ是两个函数, 则
7、如果f 和g是满射的，则 g f 也是满射的；如果f 和g是入射的，则 g f 也是入射的； 如果f 和g是双射的，则 g f 也是双射的。,2019/4/30,13,定理2 证明： 设f和g是满射的，因g f :XZ,任取zZ, 因g:YZ是满射的，所以存在yY,使得z=g(y), 又因f:XY是满射的，所以存在xX,使得y=f(x), 于是有z=g(y)=g(f(x)= g f (x), 所以 g f 是满射的。 设f和g是入射的，因g f :XZ,任取x1, x2X, x1x2因f:XY是入射的，f(x1)f(x2) , 而f(x1) ,f(x2)Y， 因g:YZ是入射的，g(f(x1)
8、g(f(x2) 即g f (x1) g f (x2)所以g f 也是入射的。 由可得此结论。,2019/4/30,14,3.定理5-2.3 如果 gf 是满射的，则g是 满射的； 如果gf 是入射的，则 f 是入射的； 如果 gf 是双射的，则f是入射的和g是 满射的。 此定理的证明是作业题 P156 (3)。 4.定理5-2.4 f:XY是函数, 则f IX= f 且 IYf=f 。,2019/4/30,15,定理4证明：先证明定义域、陪域相等。因为IX:XX， f:XY， f IX : XY, IY f : XY可见fIX、IYf 与 f 具有相同的定义域和陪域。再证它们的对应规律相同：任
9、取xX，fIX(x)=f(IX(x)=f(x) IYf (x)= IY(f(x)=f(x)所以 fIX = f 且 IY f = f 。,2019/4/30,16,5-3 逆函数,定义：设f :Xy是双射的函数， f C:YX 也是函数, 称之为 f 的逆函数。并用f -1代替f C 。 f -1存在，也称f 可逆。显然， f -1也是双射的函数。,R是A到B的关系，其逆关系RC是B到A的关系。f:Xy fC:YX, 是否是个函数？请看下面的例子：,2019/4/30,17,性质,1.定理5-3.1 设f :XY是双射的函数，则(f-1)-1= f。 2.定理5-3.2 设f :XY是双射的函
10、数，则有f-1 f= IX 且 f f-1 = IY 。 证明：先证明定义域、陪域相等。因为 f:XY是双射的，f-1:YX也是双射的，所以 f-1 f :XX ; IX:XX 可见f-1 f 与IX 具有相同的定义域和陪域。 再证它们的对应规律相同：xX, 因f:XY, yY, 使得 y=f(x),又f 可逆，故 f-1(y)=x，于是f-1 f (x)=f-1(f(x)=f-1(y)=x= IX (x) 同理可证 f f-1 = IY 。,2019/4/30,18,3.定理5-3.3 令 f: XY, g:YX是两个函数, 如果 g f= IX 且 f g = IY ,则 g= f-1 。
11、 证明： 证f和g都可逆。因为g f= IX ， IX是双射的， 由关系复合性质3得， f是入射的和g是 满射的。同理由 f g = IY，得g是入射的和f 是 满射的。所以f和g都可逆。 显然f-1和g具有相同的定义域和陪域。 证明它们的对应规律相同。任取yY， f-1(y)= f-1 IY (y) = f-1 (f g) (y) = (f-1 f) g (y) =( IX g) (y) =g(y) 所以f-1 =g,2019/4/30,19,顺便说明： f-1 =g 的两个条件必须同时满足，缺一不可。 例如,此例只满足g f=IX ,但 f与 g都非双射，不可逆。,4. 定理5-3.4,令
12、 f:XY, g:YX是两个双射函数, 则 (g f) -1 =f -1 g-1 此定理与关系的复合求逆(R S)C=SCRC 类似，,作业 P156 (1) , (3)c)， (5),2019/4/30,20,*5-4 集合的特征函数与模糊子集,一.集合的特征函数,2019/4/30,21,下面以E=a,b,c为例, 看E的各个子集的特征函数。,2019/4/30,22,2.性质 令A,B是全集E的子集, 1) A=x(A(x)=0) 2) A=Ex(A(x)=1) 3) ABx(A(x) B(x),证明: 任取xE, 从下表看出ABx(A(x) B(x),2019/4/30,23,4) A
13、=Bx(A(x)=B(x) 5) ABx(A(x) B(x)x(B(x)=1A(x)=0) 6) AB(x) =A(x)B(x),2019/4/30,24,7) A (x)=1-A(x),8). AB(x) =A(x)+B(x)-AB(x),2019/4/30,25,9) A-B(x) =A(x)-AB(x) 证明: 任取xE A-B(x) =AB(x) =A(x)B (x) = A(x)(1-B (x)=A(x)-A(x)B (x) = A (x) -AB(x),应用上述公式可以得到一些集合公式。例如证明吸收律： A(AB) =A 证明: 任取xA, A(AB)(x) =A(x)+AB (x
14、)-A(AB)(x) =A(x)+AB (x)-AB(x)=A(x),2019/4/30,26,二.模糊子集,定义,注意:,2019/4/30,27,定义说明,2019/4/30,28,2019/4/30,29,模糊子集的表示方法,1) 序偶的集合表示,2) 用Zaden记号表示,3) 用有序n元组表示,2019/4/30,30,4) 用函数表达式或曲线表示,例如,以年龄为论域, E=0,1,2,3,200, Zaden给出了“年老- ” “年青 - ”两个模糊子集的隶属函数表示为:,2019/4/30,31,模糊集合的运算,2019/4/30,32,5-6 集合的基数,一.自然数,1.集合A
15、的后继集合A+,A是个集合，A的后继集合A+ 为：A+ =AA 例如:A: A+ : =0 0+= =1=0 =1 1+= ,=2=0,1 ,=2 2+= ,= ,=3=0,1,2 . .,2019/4/30,33,2.自然数集合N的定义(Peano公理),1). 0N 这里 0=2). nN, 则 n+N, 这里n+ =nn3). 不存在 nN, 使得 n+ =0 0是最小的自然数4). 若n+= m+ , 则 n=m 后继数的唯一性5). 如果 SN ，且 0S ； nS, 则 n+S 则 S=N。 从此定义得 n=0,1,2,3,n-1, 所以有：0123. 0 1 2 3 自然数的这个
16、定义，解释了许多数学问题，是一个很准 确的抽象。因为0,1,2,3,本身就是个抽象的概念。,2019/4/30,34,二. 集合的等势,比较两个集合的“大小”有两种方法：数集合中元素的个数。这只使用于有限集合。看两个集合的元素间是否有一一对应的关系(双射)。 这种方法既适用于有限集合，也适用无限集合。,定义：A是B集合，如果存在双射f:AB，则称A与B等势。记作AB。,例如下面集合间是等势的。N=0,1,2,3,4,.A=0,2,4,6,8,. f:NA，f(x)=2xB=1,3,5,7,9,. g:NB， g(x)=2x+1,2019/4/30,35,集合间的等势关系“”是个等价关系令S是个
17、集合族(即“所有集合构成的集合”)，在S上的等势关系，满足：自反性：因为任何集合A有双射IA:AA,AA对称性：任何集合A,B，若AB，有双射f:AB,又有双射f -1 :BA，所以BA。传递性：任何集合A,B,C，若AB，且BC，则有双射f:AB,和双射g:BC,由函数的复合得双射： g f:AC，所以AC。所以是等价关系。按照等势关系“”对集合族S，进行划分，得到商集S/，进而得到基数类的概念。,2019/4/30,36,三. 基数类和基数,1.基数类 定义 S是集合族，“”是S上的等势关系，相对的等价类称之为基数类。 S=0,，1,1,a,，2,0,1,a,b,，3,0,1,2,， N,
18、I,，R, S/=0,1,2,3,N,R,.任何集合A，必属于且仅属于一个等价类。如a,b,0,14, 因为a,b,0,1与4(即集合0,1,2,3)等势。偶数集合E=0,2,4,6,8,.N, 因为EN。,2019/4/30,37,2.基数定义 给定集合A，A所属于的基数类，称之为A的基数，记作KA。如A=1,2, A2, KA=2, 简记成 KA=2如B=a,b,c, B3, KB=3, 简记成 KB=3,采用这种简单记法，使得对于有限集合A，KA=|A|。,2019/4/30,38,四.有限集合与无限集合定义凡是和某个自然数n等势的集合，都称之为有限集合；否则是无限集合。如A=a,b,c
19、,d,e,A与5(0,1,2,3,4)等势，故A是有限集。 五.可数集合及其基数 自然数集合N的基数因为N不可能与某个自然数n等势。所以N的基数不能是有限数，就用一个“无限大”的数0(读:阿列夫零)表示, 即KN= 0 。,2019/4/30,39,可数集: 与自然数集合N等势的集合，称之为可数集。A=0,2,4,6,8,. f:NA f(n)=2nB=1,3,5,7,9,. g:NB g(n)=2n+1 C=100,10,102,103,104,. h:NC h(n)=10n都是可数集合。,至多可数集：有限集合和可数集统称至多可数集。,2019/4/30,40,整数集合IN 因为I可以写成：
20、I=0,-1,1,-2,2,-3,3,-4,4,. 即可将I中元素从0开始按照箭头指定次序排列：,所以 I 是可数集。,可数集的判定定理5-6.1 集合A是可数集，充分且必要条件是可将A的元素写成序列形式，即A= a0,a1,a2,a3,.,2019/4/30,41,有理数集合QN。,因为每个有理数都可以写成一个分数形式如下：,可以从0/1开始按照箭头指定次序排列Q中元素(如果某个在前面出现，就跳过去)，所以Q是可数集。 另外 IIN 以及 NNN 如右图所示。同理可证NNN,六. 不可数集合及其基数,1.实数轴上的(0,1)区间中的实数是不可数的。 证明：假设(0,1)是可数的，则可以将它的
21、元素写成如下 序列形式：x1,x2,x3,. ,其中xi =0.ai1ai2ai3 i=1,2,3, 即 0 xi1aik0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 k=1,2,3,4, 令 x1 =0.a11a12a13a14.x2 =0.a21a22a23a24.xn =0.an1an2an3an4. 构造一个数b=0.b1b2b3b4bn，其中 b1a11 b2 a22 b3a33 bn ann. 于是bx1, b x2, b x3 . b xn b(0,1) 产生矛盾，所以(0,1)是不可数的。,2019/4/30,43,2.连续统基数 (0,1)区间的基数是一个比N的基数0更大的无限大的
22、数,用(阿列夫)表示,即0 。 整个实数集合R(0,1)证明：构造函数f:(0,1) R f(x)=tg(x-/2)显然 f是双射，所以R(0,1)。实数轴上的任何一段连续区间(a,b)的基数都是，所以称之为连续统基数。,2019/4/30,44,3.计算公式 KA1=KA2=. =KAn=, 则KA1A2.An = KA=KB=, 则 KAB = KA= KB=0 , (或KB=n),(B是多可数集) 则 KAB =,2019/4/30,45,七. 基数的比较前边讲了基数相等与否的问题, 下面讨论诸如和0的大小问题, 即所谓无限集合的“次序”问题。在比较两个集合基数相等时, 要看这两个集合之
23、间是否存在双射, 但是找双射往往是个麻烦的事, 为了解决这个问题, 提出下面定理。 定理5-6.2 如果集合A到B存在入射函数, 则KAKB。 定理5-6.3(Zermelo定理) A和B是任何集合, 则以下 三条 之一必有一个成立:a) KAKB. b) KBKA c) KA=KB.,2019/4/30,46,定理5-6.4(Contor- Schroder- Bernstein定理) A和B是任何集合, 如果 KAKB 且 KBKA 则KA=KB。这三个定理的证明都超出我们的范围，用这些定理对集合基数进行比较。,例如 证明0,1与(0,1)等势。 证明: 构造两个入射函数:f:(0,1)0
24、,1 f(x)=xg:0,1(0,1) g(x)= 因为f和g都是入射的, 所以有K(0,1)K0,1 且 K0,1K(0,1) 所以K0,1=K(0,1),2019/4/30,47,定理5-6.5 设A是有限集合, 则KA 0 证明:令KA=n 于是A0,1,2, n-1=B 显然KA=KB构造一个函数 f:B N, f(x)=x 显然f是入射的。所以KBKN, 另外N与B之间不可能存在双射 , 所以KBKN 所以 KBKN, KA 0 ; 再构造函数 g:N0,1 g(n)= , 显然g 也是入射的,所以0 ,另外N与0,1之间不可能存在双射 , 所以KNK0,1 所以 KNK0,1, 即
25、0 。 所以最后得 KA 0 。,2019/4/30,48,定理5-6.6 设A是无限集合, 则0 KA 证明:因为A是无限集合,所以A必包含一个可数无限子集B构造函数f:B A f(x)=x 显然 f是入射的, 但是KBKA, 而KB=0 ,所以0KA。可见可数集合是“最小的”无限集合。 连续统假设: 是大于0的最小基数,不存在集合A使得0 KA 到目前为止, 该假设既没有被证明, 也没有被否定。但是有人已证明, 根据现有的公理系统, 既不能证明它是正确的, 也不能证明它是错误的。,2019/4/30,49,本章小结： 重点掌握内容：函数的概念、类型函数的复合、求逆 *了解集合的特征函数了解集合的基数概念、可数集概念,
