1、用问题串引导学生推理培养合情推理能力广东省江门市第八中学 529000 陈明燕新课标提出对推理能力的培养，既要重视演绎推理又要重视合情推理。合情推理就是根据已有的知识和经验，在某种情境中经历观察、实验、猜想等数学活动推出可能性结论的推理。它的实质是“发现” ，因而关注合情推理能力的培养有助于发展学生的创新能力。归纳推理、统计推理、和类比推理是合情推理的三种重要形式。以下我从归纳推理、统计推理、以及类比推理三种推理形式中设立问题串引导学生推理，培养学生的合情推理能力。1、从归纳推理方面设立问题串引导学生推理，培养合情推理能力。1.1“平方差公式”的教学可设置如下的问题串：例 1计算并观察下列每组
2、算式（1） 99=81 77=49 1111=121810=80 68=48 1012=120（2）已知 1313=169，那么 1214=？（3）你能举出一个类似的例子吗？（4）从上述过程，你发现了什么规律？你能用语言叙述这个规律吗？你能用代数式表示这个规律吗？（5）你能证明自己所得的规律吗？在这样的过程中，引导学生从对具体算式进行观察、比较，利用归纳推理提出猜想，进而用数学符号表达若 aa=m，则（a-1）(a+1)=m-1 ，然后用多项式乘法法则证明猜想是正确的。1.2 从“探索数字特征规律” 中设置问题串。例 2.探索数字特征规律 152=225=1001（1+1）+25252=625
3、=1002（2+1）+25352=1225=1003（）254522025100（）257525625 8527225 （）找出规律，把上面的横线填完整；（）你能用字母表示上面的规律吗？（）计算 20052的值。本题属于探索运算规律型的问题，引导学生解题的关键是：观察已给出的四个式子中发现 100，和 25 是每个式子公有的，因此要填的式子中也肯定有，再研究分析括号外乘的几与括号中的几加，同前面的几十五有关，这样就找出了规律，鼓励学生再探索下去就可以得到：解第（2）小题，关键是如可表示几十五，等式右边再按第（1）小题的规律表示即可。如果表示出第（2）小题只需把相应的值代入，就可以求出第（3）小
4、题的结果。最后归纳小结：其实这些问题之间是有 联系的，上一小题是为下一小题服务的，下一小题需用到上一小题的思路。(归纳推理)（探究聚焦） （1）75 25625100（+1）+2585272251008（8+1）+25（2） （10n+5） 2=100n（n+1）+25（3）2005 2=（10200+5）=100200（200+1）+25=4020025再如：例 3. 观察下列各算式：31=3，3 2=9，3 3=27，3 4=81，3 5=243，3 6=729，3 7=2187，3 8=6561，用你所发现的规律写出 32003的末尾数字。观察第一排各个等式：左边：3 的指数从 1 增加
5、到 4；右边：结果的个位数字分别是 3，9，7，1。 观察第二排各个等式：左边：3 的指数从 5 增加到 8；右边：结果的个位数字重复 3，9，7，1。因此，只要知道 32003中的指数2003 除以 4 的余数是多少就行了。这里，2003=5004，余数是 3。而 33的末位数是 7，所以 32003的末位数字是 7。在这两道探索数字特征规律题型的探究过程中，学生经历了观察、猜想、比较最后发现规律的归纳推理过程。1.3 从“探索算式的规律”中设置问题串。例 4.计算 + + + +原式=（1- ）+（ - ）+（ - ）+（ - ）=1- + - + - + + - =1-=12121212
6、13121312141212121212131213121412120041 2120051 2120041 2120051 21121 21231 21341 21200320041 21200420051 2120051 2200420051 2可以再提出“本题一直加到 ，结果又如何呢？”这样的问题引导学生继续探究、归纳、总结出更一般的规律，在这个算式规律的探究过程中学生经历了观察、运算、分析、比较，最后找出规律的合情推理的过程。 （归纳推理）1.4 从“探索图形变化的规律” 中设置问题串. 例 5.探索图形变化的规律.某种树木的分枝生长规律如图所示，则预计到第 7 年时，树木的分枝为本题
7、属于探究图形变化规律型问题。引导学生自主探索.观察发现，图比图多出 2 个“树枝” ，图比图多出 4 个“树枝” ，图比图多出 8 个“树枝” ，照此规律，图比图多出 64 个树枝” 。继续引导学生自己总结出解决此类问题的关键是看后一个图比前一个图多（或少）了什么.（探究聚焦）.预计到第 7 年（即图）时，树木的分枝数应为：1+2+4+8+16+32+64=127.在解这种探求图形变化的规律的题型的过程中，需要经历观察、分析、比较、猜想，然后发现规律的合情推理能力的训练过程。 （归纳推理）1.5 从“探索图形排列的规律” 中设置问题串.例 6.如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算
8、第一层）.第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推.（1）试写出第 n 层所对的点数；（2）试写出 n 层六边形点阵的总点数；（3）如果一个六边形点阵共有169 个点，那么它一共有几层？ 观察上表，可以看出，在第“n 层上的点数”一栏中，只有第一层是 1，其余层的点数都是 6 的倍数（倍数比层数少 1） ，所以第 n 层的点数是 6（n-1）（n2）.对“总点数”进行的数据分析中可以看出，加数 1 和乘数 3 是各式所 1n(n+1)1 2共有的，其他数据与层数的对应关系也比较明显.（探究聚焦）：（1）第 n 层上的点数为 6（n-1） （n2） ；（2）n 层六边形点阵的总点数为 3
9、n（n-1）+1；（3）令 3 n（n-1）+1=169，得 n=8，所以它一共有 8 层。解决这种探索图形排列的规律问题的题型，首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）.情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性结论。 （归纳推理）综上所述从“平方差公式”的教学、探索数字特征规律、算式的规律、图形变化的规律以及图形排列的规律等五个方面设立问题串。为学生提供足够的探索素材和探索的空间，启发学生积极思考，组织引导学生经历观察、猜想、分析、比较最后作出判断，找出规律的归纳推理的训练过程，培养合情推理能力。 2、从统计推理形式中
10、，设置问题串引导学生推理，培养合情推理能力。2.1 统计推理的过程，是一个经历观察、猜想、归纳、证明的过程。统计推理属于合情推理的范畴，是一种可能性的推理，与其他推理不同的是由统计推理得到的结论无法用逻辑的方法去检验，只有靠实践来证实。因此， “统计与概率”的教学要重视学生经历收集数据、整理数据、分析数据、作出推断和决策的全过程。例 7为了筹备“五四”青年节的联欢晚会，准备什么样的水果才能最受欢迎呢？为此，首先应由每个团员对全体团员喜欢什么样的水果进行调查，然后把调查所得的结果整理成数据，并进行比较，再根据处理后的数据作出决策，确定应该准备什么水果。这个过程的推理是统计推理，其结果可能只是使绝
11、大多数同学喜欢。再如:例 8有一条平均水深 1.5 米的河，一个身高 1.7 米、水性不好的人下河游泳有危险吗？学生在对“平均水深”有了很好的理解之后，会得到这样的结论：可能有危险。这又是进行统计推理得到的结果。例 9.某商场大搞“真情回报社会” ，的幸运抽奖活动，共设五个奖金等级，最高奖金每份一万元，平均奖金 180 元，下面是奖金的分配表：奖金等级 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖奖金额（元） 10000 5000 1000 50 10中奖人数 3 8 89 300 600一名顾客抽到了一张奖卷，奖金数为 10 元，她调查了周围不少正在兑奖的其他顾客，很少有超过 50 元的，她气愤地
12、去找商场的领导理论，领导解释说这不存在什么欺骗，平均奖金确定是 180 元。你认为商场所说的平均奖金是否欺骗了顾客？此种说法是否能够很好地反映中奖的一般金额？用你所学的统计与概率的有关知识做简要分析说明。以后再遇上类似抽奖活动的问题，你会更关心什么？掌握了基本的统计知识和方法的学生，经过思考分析并计算会得出：X= = =180（元）然后推断商场的领导的解释不存在欺骗，但是中小奖（不超过 50 元）的概率为 =0.9 或中大奖（不低于 1000 元）的概率为 =0.1，然而观察奖金分配表中的数据并分析可得出中奖金额的众数为 10，中位数为 10，从而推断以上说法不能反映中奖的一般金额。最后作出决
13、策：在以后此类活动中应注意中大（或小）奖的概率的大小，注重观察众数和中位数。这是一个用到统计推理的合情推理的过程。例 10.新安商夏销量较大的 A.B.C 三种品牌的洗衣粉进行了问卷调查，发放问卷 270 份（问卷由单选和多选题组成）.对收回的 238 份问卷进行了整理，部分数据如下：（1）最近一次购买各品牌洗衣粉用户的比例（如下图）：（2）用户对各品牌洗衣粉满意情况汇总表：内容 质 量 广 告 价 格品牌 A B C A B C A B C满意的户数 194 121 117 163 172 107 98 96 100根据上述信息回答下列问题：1）A 品牌洗衣粉的主要竞争优势是什么？你是怎样看
14、出来的？ 2）广告对用户选择品牌有影响吗？请简要说明理由。3）你对厂家有何意见？观察图表，从表中获得信息：（1）A 品牌洗衣粉主要竞争优势是质量，通过比较，分析可从以下两方面看出：对 A 品牌洗衣粉的质量满意的用户最多；对 A 品牌洗衣粉的广告，价格满意的用户不是最多；（2）广告对用户选择品牌有影响。通过观察、比较、分析表中数据，从而作出推断：对 B、C 品牌洗衣粉质量、价格满意的用户数相差不大；对 B 品牌洗衣粉的广告满意的用户数多于 C 品牌，而且相差较大；购买 B 品牌洗衣粉的用户比例高于 C 品牌。最后作出决策，对厂家提出建议：要重视质量。在保证质量的前提下，要关注广告300+6001
15、000A40.69%C22.12%B30.57%其他6.62%3+8+891000100003+50008+100089+50300+106003+8+89+300+6001800001000和价格。这是统计与概率中统计推理的典型素材。综上所述，对于我们现实生活中遇到的例如：搞一个联欢晚会要准备什么样的水果才能最受欢迎？抽奖活动我们应该关注什么？这活动是否欺骗了消费者？对于经营者想知道什么品牌的商品最受欢迎？等等许多生活中非常常见的有关“统计与概率”的实际问题，都要用到观察、猜想、比较、以及整理数据、分析数据，然后作出推断和决策这个统计推理的过程。教学中多设置这方面的问题串，为学生提供发展合情
16、推理能力的素材和情境。3、从类比推理形式中，设置问题串引导学生推理，培养学生的合情推理能力。. 日常生活中经常需要作出判断和推理，许多游戏活动也隐含着类比推理的要求。所以要培养学生形成善于观察、勤于思考的习惯。例 11两个人握一次手，若每两人握一次手，则三个人共握几次手？N 个人共握多少次手呢？这与“由上海开往北京的 1462 次列车途中停靠 23 个站（不包括上海和北京） ，这次列车共发售多少种不同的车票”这样的问题，有什么联系？（类比推理）例 12打台球，当“主球与目标球”之间有障碍时，为了击中目标球。如图所示，主球 P 击打桌边的点 O 处，反弹后再击中要害目标球 E。 （根据入射角等于
17、反射角原理）图中的POD=COE，目标球从 P 点出发经过点 O 到点 E，相当于从点 P出发直接击打目标球 E。这里就有图形的轴对称变换。它与“公路的同旁有两个村庄，要在公路上建一个车站，使车站到两个村庄的距离和最小”这样的问题，没有本质的区别。 （类比）能力的发展决不等同于知识与技能的获得。能力的形成是一个缓慢的过程，有其自身的特点和规律，它不是学生“懂”了，也不是学生“会”了，而是学生自己“悟”出了道理、规律和思考方法等。这种“悟”只有在数学活动中才能得以进行，因而教学活动应该多从归纳推理、统计推理、以及类比推理三种推理形式中设立问题串，给学生提供探索、交流的空间、创设探索情境，组织、引导学生“经历观察、实验、猜想、归纳、类比、统计”等数学活动过程，使学生的合情推理能力得到发展。CAP OPBDE本文作于(2006 年 10 月)*参考文献：全日制义务教育数学课程标准解读 （实验稿）北京师范大学出版
