1、3.5 多值函数及其黎曼面,前面讨论：单值复变函数 现在讨论：多值复变函数 多值函数w=f(z)：对于自变量z的每一个值，一般有两个或者两个以上的函数值w与之对应。 多值函数有：根式函数、对数函数、反三角函数,关心的问题：,自变量z与函数值w的对应关系，特别是当z连续变化时 这种对应关系可能的变化。,例：对于多值函数f(z)的积分 ，必须确定z与f(z)之间 的这种对应关系和这种关系的变化。否则积分无意义，至少不确定。,最简单的根式函数：,一、根式函数,当k=1,3,5时:,1.多值性：令 ，,无限多个辐角 (注意： ),当k=0,2,4时：,可见，Z平面上的一个点： ，对应着W平面的两个,点
2、：w0 ,w1 。,w(z)是一个多值函数，且称w0 与w1为 的两个 单值分支。每一个分支是一个单值函数。,考察z的连续变化：在复平面上可用 一条曲线来描述z的变化过程。,造成根式函数 多值的原因：,(1) z从某一给定的 z =e i0 出发，对应的w从w0出发。令 z沿逆时针方向环绕原点(z=0)转一圈回到原处时，它的辐角由0变为0+2 =1 ，而w由 w0变为w1，即w从一个单值分支变到另一个单值分支。继续令z沿逆时针方向绕 z =0 转一圈，z再次回到原处，它的辐角由0+2 =1变为 0 + 4，,z的辐角的多值性，即,而w由w1 变为w0 。这样再转第三圈：辐角为0+6 ，而 w由
3、 w0 变为w1 ，与第一圈上的值完全相同。,(2) 依然从 z =e i 0 出发，但不绕原点z=0转圈，则z在环 绕过程中，其辐角开始增加，到达A点后减少，到达 B 后 又增加。z回到原出发点时，辐角值又回到初值的辐角0。,w始终在同一单值分支中变化，不会变化到另一分支。,定义支点：对于每一个特定的多值函数，都存在一些特殊的点。当 z环绕该点转一圈回到原处时，w(z)的值将由一个单值分支变 到另一个单值分支。这些特殊的点就称为多值函数的支点。,显然：z=0是 的一个支点。,考察点的情况：,令 ，则 ，当 t 绕 t=0转一圈 (相当于 z 绕 点转,一圈(相当于z绕点转一圈) 时，w 的值
4、不会还原，可见 z= 是 的另一支点。,2.将多个单值分支分开的方法,在根式函数的两个支点之间作割缝，并规定：z在连续 变化的过程中不能跨越割缝。,(1) 的割缝：其支点为 z =0， z = ,从z=0出发，沿x轴正方向作一割缝至z=。此时，z无 论在平面上怎样变化都不可能绕 z= 0或 z =转一圈，则辐 角的变化范围在2之内，由此可知，w 的值必在一个单值 分支之内。,(2) 割缝的上、下岸z的辐角值的规定若割缝上岸z的辐角值为u =0 ，割缝下岸 z 的辐角值 为L =2 。辐角变化范围：00 2 ，对应 这一单值分支。,若割缝上岸z的辐角值为u = 2 ，割缝下岸z的辐角 值为L =
5、 4 。辐角变化范围：2 1 4 ，对应这一单值分支。,3.求支点及单值分支的例题,4. 的黎曼面形象地描述多值函数 值的变化,函数 的值在z绕z=0转第二圈时，与z转第一圈时不同。 设想：z的第一圈和第二圈分别在“不同的”复数平面上运行，即将z平面分为两叶平面。为了把多值函数的各个分 支作为整体来研究，两叶平面作以下粘合：第一页的下 岸与第二页的上岸 = 2 粘合在一起，第二页的下岸,与第一页的上岸 = 0粘合在一起。这样，z的第三圈同于 第一圈，z的第四圈同于第二圈。由两叶组成的Z平面就称 为 的黎曼面。,5. 其它根式函数,现在考虑函数,(3-5-1),其中z是自变量，a是复常数，根式下
6、的函数za在复平面上是由a指向z的矢量，如图3-5-5。令,对每一个z值，函数w有两个分支：,图3-5-5,为了划分单值分支，首先找分支点，在复平面上考察矢量 za，当z绕a点转一圈时，Arg (za)改变2函数值从一个分支变到另一个分支，所以 z = a 是分支点。同样可见，z=也是分支点。因此，为了划分出单值分支，应该沿连接 z=a 和 z = 的任意曲线作割缝。,例 试指出 的单值分支及支点的位置，其中a,b为正实数。,解：令 ，则,w的两个单值分支：,并且w、za、z+b 的辐角有关系,(3-5-2),易见，只要考察z=a,b, 这三点是否为支点？可选择一条仅包围它们三者之一的回路，让
7、z沿回路转一圈，看w会不会从一个单值分支变到另一个单值分支来判断。,图3-5-6,为确定起见，设出发点的w(z)值处于w0分支，即 满足 。,由此得,即w值处于另一分支，故 z = a 为支点。,(2) 选择回路C2 考察 z = b是否为支点。 z点沿着C2 转一 圈后，有,(1) 选择回路C1 考察 z = a是否为支点。 z点沿着C1 转一 圈后，有,由此得,即 w 值处于另一分支，故 z = b为支点。,(3) 选择回路C3 考察 z = 是否为支点。 z点沿着 C3 转一 圈后，有,故,即 w 值处于原来分支，故 z=不是支点。,例 设 ，试根据下述条件计算 w(1)的值。,(1)
8、作割线(见图3-5-7)，并规定割线上岸的点z0的辐角,图 3-5-7,(2) 不作割线，规定,求z分别沿路径C1和C2 (图3-5-8)从z0 移动到z1点时，w(1)的取值。,解： 的模与辐角分别为,(3-5-3),(3-5-4),图3-5-8,由此得,(3-5-5),将后两式相减，并利用题设argw(z0)=0，即有,(3-5-6),上式的方括号表示，当z由z0移动到 1点时，z及(1-z)的辐角的改变量之和。 (1) 作割线如图3-5-7，并规定argw(z0)=0，此时从z0出发还可沿C逆和C顺两条路径达到z1点，尽管沿两条路径求得的argz,arg(1z) 以及 argw(1)不同
9、，但w(-1)具有确定值，即,(3-5-7a),或,(3-5-8b),(2) 不作割线，z分别沿C1和C2从z0移动到z1,如图所示。,代入 ,均得相同的函数值,(3-5-9a),或,(3-5-10b),还应注意，在计算argz, arg(1z)时要么均按C逆路径算，要么均按C 顺路径算，两者不能取不同路径。,(3-5-11),沿路径C2的情形，有,(3-5-12),为便于观察，习题3.5.2将证明，可用 代替 。沿路径C1的情形，有,(3-5-13),这表明，如果不作割线，则 w(-1) 的值取决于由z0到 z1的路径。w(-1)既可取第一分支的值，也可取另一分支的值。,因而,(3-5-14
10、),二、对数函数,1. 对数函数的定义及多值性,表达式：,令,可见，其多值性来源于辐角的多值性：,则,对应于每一z值，有无穷多个w值，这些不同的w值只是虚部不同，相差2的整数倍。,2. 支点,对数函数w=Lnz的黎曼面：由无穷多个z平面重叠而成。,当z环绕z=0或转一周时，Argz改变2 ，Lnz改变 i 2， 故 z = 0， 是对数函数的支点。,3. 割线,从 z=0 沿正实轴作一割线至 z = ，并规定：,则得 w =Lnz 的第 k 分支。,4. 黎曼面,对数函数的支点在 z= 0 及 z = 。取正实轴为割线，当,时，函数取值在第k个分支。,例 作如图3-5-9所示割线，求函数w(z
11、)=Ln(1 z2)在 z =3 和 z3i的值。已知w(0)=0。,解：首先将w(z)的实部和虚部分开,图 3-5-9,(1) 求w(3)的值。分别求w(3)的实部与虚部如下：,即有,(3-5-15),题设条件w(0)=0给出,(3-5-16),(2)求w(3i)的值。同理分别求w(3i)的实部与虚部如下：,式中 为实轴与1至3i 连线的夹角（如图3-5-9）,因此,例 规定在割缝上岸：arg(z1)=，arg(z+1)=0，求z=i处函数 之值,解：欲求w(i)之值，分别求出模 |w(i)|和辐角argw(i)。将z=i 代入，求得其模为,现在来求argw(i) 。根据规定，可以知道割缝上
12、岸任一点(比 如说z=0点)的辐角值,我们写,(3-5-17),(3-5-18),这里argw 是当自变量z由z=0变到z=i时函数w的辐角的改 变量。利用(3-5-10)和 (3-5-9)，我们有,为了计算矢量 z1和 z+1的辐角的改变量，考虑 z 沿任 意不穿过割缝的曲线C由z=0变到z=i时，这两个矢量辐角的变化，如图3-5-10，显然,图 3-5-10,由此得,因此,在上例中，由于规定了多值函数的一个单值分支，因而确 定了整个z平面上每一点的函数值。如果只需要知道函数w 在某一点z=z1的值，也可以不作割缝，而是规定由参考点z0 到z1的变化路径。从以上例子可以看出，在确定多值函 数
13、之值时，割缝的作用是限制z的变化路径；因此，如果不 作割缝，而是规定z的变化路径，也可以确定多值函数在任 一点的值。,例 规定z=0时，w(0)=i，设z从0沿C 变到i(图3-5-11)，求,函数 之值。,图 3-5-11,解：根据规定,由(3-5-17)式可见，求argw(i)的关键是求,由图3-5-11看出，当z由0沿曲线C 变到i时，有,所以,而 ，所以最后得,在上例中，我们得到了和前面例题不同的函数值，这是,因为z的变化路径与图3-5-10规定的不同，所得到的是函数,在z=i点的另一个单值分支之值。这种通过规定z的,到。例如，已知积分下限对应的函数值和积分路径，要计算,的变化路径来确定多值函数之值的办法在复变积分中常常遇,缝这两种确定多值函数数值的方法是等效的。,积分上限处的函数值。实际上，规定变量的变化路径和作割,
