1、数学建模培训系列讲座 数学建模优秀论文选讲 主讲: 刘 弦 (计算机系),最 优 化 问 题,最优化问题大体分两类：,一类是求函数在一定约束条件下的极值; 另一类是求泛函的极值.,这里的函数我们称之为目标函数.目标函数中的变量称之为决策变量.约束条件是指问题对决策变量的限制条件,即决策变量的取值范围. 约束条件常用一组关于决策变量的等式与不等式给出.,如果目标函数有明显的表达式,一般可用微分法,变分法或动态规划等分析方法来求解(间接求优); 如果目标函数的表达式过于复杂甚至根本没有明显的表达式,则可用数值方法或“试验最优化”方法等直接方法来求解(直接求优).,求函数极值的数值方法或试验化方法有
2、时称为数学规划.,数学规划除了线性规划外统称为非线性规划.,求解数学规划的软件: LINDO, LINGO,LINDO(Linear INteractive and Discrete Optimizer)交互式的线性和离散优化求解器 LINGO(Linear INteractive and General Optimizer)交互式的线性和通用优化求解器,实际问题中 的优化模型,x决策变量,f(x)目标函数,gi(x)0约束条件,多元函数条件极值,决策变量个数n和 约束条件个数m较大,数学规划,线性规划 非线性规划 整数规划,重点在模型的建立和结果的分析,数学规划模型,离散模型：差分方程、整数
3、规划、图论、对策论、网络流、 ,离散模型,层次分析模型,Saaty于1970年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process),AHP一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法,背景,日常工作、生活中的决策问题,涉及经济、社会等方面的因素,作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化,层次分析法的基本步骤,1）建立层次分析结构模型,深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。,2）构造成对比较阵,用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。,3）计算
4、权向量并作一致性检验,对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。,4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）,组合权向量可作为决策的定量依据。,算 法 介 绍,求最短路径问题的两个算法,定义:在图G的边集上定义一个到非负实数集的函数w,即:对任意边e, w(e)是非负实数.,则称图G是赋权图.,定义:赋权图G中从结点u到结点v的所有路中各边权之和最小的路,从u到v的最短路上各边权之和称为u到v 的距离.,称为从u到v的最短路.,记作: d(u,v).,例:在上图中,d(A,B)=?,注:这里的路长不限于普通意义上的距离,也可以是费用或时间等.,求单起点最
5、短路径的算法 Dijkstra 算法,在以下讨论中, 假定边 (vi , vj ) 的权wij0,若vi , vj 不邻接,则令wij=+(在实际计算中可用一足够大的数代替).,在这个算法中, 我们将计算从始点v1 到其余各点 vk (2kn) 的距离.,先给每一个顶点一个临时标号(简称T标号),出v1到该顶点的距离时,其思想是:,以此做为该顶点的固定标号(简称P标号).,当计算,求完全最短路径的算法 Floyd 算法,权重矩阵：,该算法通过一系列n阶矩阵来计算有限制的距离矩阵：,，,，,长度。,因此，,表示从第i个结点到,第j个结点之间所有路径中一条中间结点标号不大于k的最短路径,其原理由下
6、述示意图可知：,v3,v4,v2,v1,例:,1,2,3,7,6,权重矩阵：,数学建模培训系列讲座 数学建模优秀论文选讲,数学建模培训系列讲座 数学建模优秀论文选讲,2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题,出版社的资源配置,出版社的资源配置问题(C2006A),出版社的资源主要包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等，它们都捆绑在书号上，经过各个部门的运作，形成成本（策划成本、编辑成本、生产成本、库存成本、销售成本、财务与管理成本等）和利润。,资源配置是总社每年进行的重要决策，直接关系到出版社的当年经济效益和长远发展战略。由于市场信息（主要是需求与竞争力）通常是不完全的，企业自身的数据收集
7、和积累也不足，这种情况下的决策问题在我国企业中是普遍存在的。,某个以教材类出版物为主的出版社,总社领导每年需要针对分社提交的生产计划申请书、人力资源情况以及市场信息分析,将总量一定的书号数合理地分配给各个分社,使出版的教材产生最好的经济效益.事实上,由于各个分社提交的需求书号总量远大于总社的书号总量,因此总社一般以增加强势产品支持力度的原则优化资源配置.资源配置完成后，各个分社（分社以学科划分）根据分配到的书号数量,再重新对学科所属每个课程作出出版计划,付诸实施。,附录,附件1：问卷调查表；,附件2：问卷调查数据（五年）；,附件5：9个分社人力资源细目。,附件4：各课程计划申请或实际获得的书号
8、数列表（6年）；,附件3：各课程计划及实际销售数据表（5年）；,本题附录中给出了该出版社所掌握的一些数据资料，请你们根据这些数据资料，利用数学建模的方法，在信息不足的条件下，提出以量化分析为基础的资源（书号）配置方法，给出一个明确的分配方案，向出版社提供有益的建议。,本题的一个特色是包含有大量的数据。那么如何从这些数据中提取有用的信息是本问题建模的关键所在。,一、数据分析,1） 每种书号的平均销售预测：,记第i个分社第j门课程在第n年的每种书号的销量均值为qij(n).,(2001年n取1，2006年n取6),由附件3的各课程2001-2005年的实际销售数据，和附件4的各课程在2001-20
9、05年实际所分得的书号数可以算得这5年中每种书号的平均销售量。,通过观察分析这些数据大多呈现线性递增的趋势。,于是采用线性回归的拟合方法,对2006年的各门课程每种书号的,销售量进行预测。,2）市场满意度,附件2提供了5年的问卷调查信息，其中包含有对各教材的满意度。,可求出第i个分社第j门课程在市场中的满意度ij .,利用Excel的自动筛选功能，,3）各课程教材的市场占有率,附件2提供了各门课程的教材使用情况调查信息。,可求出第i个分社第j门课程教材的使用人数和所有使用该教材的人数，由此可求出该教材的市场占有率ij .,利用Excel的自动筛选功能，,4）计划准确度,附件3给出了各门课程的教
10、材的计划销售量与实际销售量数据。,据此可计算出各分社对各门课程的计划准确度ij .,二、各指标的标准化,由于各指标所表达的含义不同，量纲也不同，所以不同的指标不具有可比性、可加性。,因此需要对不同的指标进行标准化。,对各种指标标准化的方法：,设有 n个数据 x1, x2, xn ,平移标准差变换：,则经上述变换后,变量的均值为0,标准差为1.,即可以消除量纲的影响.,平移极差变换：,则,令,令,隶属函数指派方法：,此方法首先是从主观上选用某种形式的含参数的模糊分布，再通过指派某些指标求出其参数,例如取偏大型柯西分布隶属函数,例：,设评语集非常满意，满意，基本满意，不满意，很不满意,对应的分值为
11、，,指定,代入（）式求出,再求出五种评语的量化值,人们对不满意程度的敏感远远大于对满意程度的敏感,(*),第i个分社第j门课程在市场中的满意度ij,三、模型的建立,第 i 个分社第 j 门课程的每种书目销量预测均值为qij,市场占有率ij .,计划准确度ij .,设决策变量为第i个分社第j门课程所分配的书号数 x i j .,标准化,由此可求出经济效益 pij qij,标准化,模型:,约束条件:,四、进一步讨论,讨论约束条件的改变对结果的影响,模型的优缺点及推广,根据上述讨论提出一些建议,数学建模培训系列讲座 数学建模优秀论文选讲,2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛D题,公务员招聘,公务员
12、招聘问题(C2004D),我国公务员制度已实施多年，1993年10月1日颁布施行的国家公务员暂行条例规定：“国家行政机关录用担任主任科员以下的非领导职务的国家公务员，采用公开考试、严格考核的办法，按照德才兼备的标准择优录用”。目前, 我国招聘公务员的程序一般分三步进行：公开考试（笔试）、面试考核、择优录取。,(一)公开考试：凡是年龄不超过30周岁,大学专科以上学历,身体健康者均可报名参加考试，考试科目有：综合基础知识、专业知识和“行政职业能力测验”三个部分,每科满分为100分。根据考试总分的高低排序按1:2的比例（共16人）选择进入第二阶段的面试考核。,现有某市直属单位因工作需要，拟向社会公开
13、招聘8名公务员，具体的招聘办法和程序如下：,（二）面试考核：面试考核主要考核应聘人员的知识面、对问题的理解能力、应变能力、表达能力等综合素质。按照一定的标准，面试专家组对每个应聘人员的各个方面都给出一个等级评分，从高到低分成A/B/C/D四个等级，具体结果见表所示。,（三）由招聘领导小组综合专家组的意见、笔初试成绩以及各用人部门需求确定录用名单,并分配到各用人部门。 该单位拟将录用的8名公务员安排到所属的7个部门，并且要求每个部门至少安排一名公务员。这7个部门按工作性质可分为四类：(1)行政管理、 (2)技术管理、(3)行政执法、(4)公共事业。见表2所示。,单位招聘领导小组在确定录用名单的过
14、程中，本着公平、公开的原则，同时考虑录用人员的合理分配和使用，有利于发挥个人的特长和能力。招聘领导小组将7个用人单位的基本情况（包括福利待遇、工作条件、劳动强度、晋升机会和学习深造机会等）和四类工作对聘用公务员的具体条件的希望达到的要求都向所有应聘人员公布（见表2）。每一位参加面试人员都可以申报两个自己的工作类别志愿（见表1）。请研究下列问题：,（1）如果不考虑应聘人员的意愿，择优按需录用，试帮助招聘领导小组设计一种录用分配方案；,（2）在考虑应聘人员意愿和用人部门的希望要求的情况下，请你帮助招聘领导小组设计一种分配方案；,（3）你的方法对于一般情况，即N个应聘人员M个用人单位时，是否可行？,
15、(4) 你对上述招聘公务员过程认为还有哪些地方值得改进，给出你的建议。,表：招聘公务员笔试成绩，专家面试评分及个人志愿,表 2: 用人部门的基本情况及对公务员的期望要求,数学建模培训系列讲座 数学建模优秀论文选讲,1997年美国大学生数学建模竞赛B题,为取得富有成果的讨论进行搭配与会成员 (AUMCM1997-B),（AUMCM1997B）为取得富有成果的讨论进行搭配与会成员,为了讨论重要问题，特别是长远规划问题而召开小组讨论会正变得越来越普遍。人们相信很多人参加的大型会议不利于充分地讨论,甚至一位占支配地位的人能控制并操纵会议的讨论。因此，在公司的董事会议中在召集全体董事会议之前先开一些小组
16、讨论会，这些规模较小的小组会议仍然有被某个占支配地位的人控制的危险。 为减少这种危险，常用的办法是把会议分成若干段，每段让不同组的与会者充分地混合。,An Tostal公司的一次会议的参加者为29位公司董事会成员，其中9位是在职董事（即公司的雇员）。会议要开一天，每个小组上午开三段，下午开四段，每段会议开45分钟，从上午9:00到下午4:00每整点开始开会,中午12:00午餐。上午的每段会议都有6个小组讨论会，每个小组讨论会都由公司的一位资深高级职员来主持讨论。这些资深高级职员都不是董事会的成员。因此，每位资深高级职员都要主持三个不同的小组讨论会。这些资深高级职员不参加下午的讨论会，而且下午的
17、每段会议只有4个不同的小组讨论会。公司董事长要一份公司董事参加7段会议的每个小组讨论会的分配名单安排计划。这份搭配名单要尽可能多地把董事均匀搭配。理想的搭配应每一位董事和另一位董事一起参加小组讨论会的次数相同，并要使不同段的小组中在一起开过会的董事数达到最小。,名单中的安排计划还应满足下列两个准则：,（1）在上午的3段会议上，不允许任一位董事参加由同一位资深高级职员主持的两次会议；,（2）在职董事要按比例地分配到每一段的各个小组内。,给出一张19号在职董事、1029号董事、16号公司资深高级职员的分组搭配名单。说明该名单在多大程度上满足了前面提出的各种要求和准则。因为有的董事可能在最后一分钟宣
18、布不参加会议，也可能不在名单上的董事将出席会议，因此提出一个能使秘书在一小时前得到变更后，可用于临时通知来调整分组安排的算法定会得到赏识。理想的算法还要能够用于不同类型、不同水平的与会者的分组安排。,数学建模培训系列讲座 数学建模优秀论文选讲,2000高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题,钢管订购和运输,钢管订购和运输 (C2000B),一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。钢厂在指定期限内能生产该钢管的最大数量为个si个单位，钢管出厂销价1单位钢管为pi万元，如下表：,为方便计，1km主管道钢管称为1单位钢管。,要铺设一条 的输送天然气的主管道, 如图一所示(见下页)。经筛选
19、后可以生产这种主管道钢管的钢厂有 .图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。,1单位钢管的铁路运价如下表：,（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出模型和结果。,1000km以上每增加1至100km运价增加5万元。,公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）.,（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。,
20、（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。,数学建模培训系列讲座 数学建模优秀论文选讲,2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题,乘公交，看奥运,我国人民翘首企盼的第29届奥运会明年8月将在北京举行，届时有大量观众到现场观看奥运比赛，其中大部分人将会乘坐公共交通工具（简称公交，包括公汽、地铁等）出行。这些年来，城市的公交系统有了很大发展，北京市的公交线路已达800条以上，使得公众的出行更加通畅、便利，但同时也面临多条线路的选择问题。针对市场需求，某公司准备研制开发一个解决公
21、交线路选择问题的自主查询计算机系统。,乘公交，看奥运问题(C2007B),1、仅考虑公汽线路,给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型与算法.并根据附录数据,利用你们的模型与算法,求出以下6对起始站终到站之间的最佳路线（要有清晰的评价说明）.(1)、S3359S1828 (2)、S1557S0481 (3)、S0971S0485(4)、S0008S0073 (5)、S0148S0485 (6)、S0087S3676,为了设计这样一个系统，其核心是线路选择的模型与算法，应该从实际情况出发考虑，满足查询者的各种不同需求。请你们解决如下问题：,2、同时考虑公汽与地铁线路，解决以上问题。,【附
22、录1】基本参数设定 相邻公汽站平均行驶时间(包括停站时间)： 3分钟 相邻地铁站平均行驶时间(包括停站时间)： 2.5分钟 公汽换乘公汽平均耗时： 5分钟(其中步行时间2分钟) 地铁换乘地铁平均耗时： 4分钟(其中步行时间2分钟) 地铁换乘公汽平均耗时： 7分钟(其中步行时间4分钟) 公汽换乘地铁平均耗时： 6分钟(其中步行时间4分钟) 公汽票价：分为单一票价与分段计价两种，标记于线路后；其中分段计价的票价为：020站：1元；2140站：2元；40站以上：3元 地铁票价：3元（无论地铁线路间是否换乘） 注：以上参数均为简化问题而作的假设，未必与实际数据完全吻合.,3、假设又知道所有站点之间的步
23、行时间，请你给出任意两站点之间线路选择问题的数学模型。,【附录2】公交线路及相关信息 （见数据文件B2007data.rar ）,数学建模培训系列讲座 数学建模优秀论文选讲,2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题,DVD在线租赁,随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。,DVD在线租赁问题(C2005B),考虑如下的
24、在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：,1) 网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表 1 给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，6
25、0%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？,表1 对1000个会员调查的部分结果,表2 现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例）,注：D001D100表示100种DVD, C0001C1000表示1000个会员, 会员的在线订单用数字1,2,表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。,2) 表2中列出了网站手上100种DV
26、D的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据位于文件B2005Table2.xls中），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001C0030）分别获得哪些DVD。,4) 如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。,3) 继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0. 如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配,才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD,并且满
27、意度最大？,讨 论 与 练 习,面试顺序问题,例 面试顺序问题,有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试: 公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试, 然后到部门主管处复试, 最后到经理处参加面试, 并且不允许插队(即在任何一个阶段4名同学的顺序是一样的). 由于4名同学的专业背景不同, 所以每人在三个阶段的面试时间也不同,如下表所示(单位:分钟):,这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司.假定他们从早晨8:00开始面试,试建立数学模型以确定他们最早何时能离开公司?,这个问题的关键是决策变量与目标函数的确定.,决策变量,目标函数,约束条件,设 xij 表示第i 名同学参加第 j 阶段面试的
28、开始时刻.,(记早上8:00为0时刻),其中tij 表示第i 名同学参加第 j 阶段面试需要的时间.,( i =1,2,3,4 ; j=1;2;3),时间先后约束:,次序不变约束:,记,优化目标,可转化为带约束条件的优化问题:,s.t.,下面是LINGO程序,在上机课时大家读懂,model: Title面试问题; sets: A/file(d1.txt)/; B/file(d1.txt)/; link1(A,B):t,x; link2(A,A)| endsets,min=MAXT; maxt=max(link1(i,j)|j#eq#size(B):x(i,j)+t(i,j); for(link
29、1(i,j)|j#lt#size(B):x(i,j)+t(i,j)x(i,j+1); for(B(j):for(link2(i,k):x(i,j)+t(i,j)-x(k,j)maxt*y(i,k);for(link2(i,k):x(k,j)+t(k,j)-x(i,j)maxt*(1-y(i,k); ); for(link2:bin(y); end,data: T=file(d1.txt); enddata,讨 论 与 练 习,人员安排问题,人员安排问题,“PE公司”是一家从事电力工程技术的中美合资公司，现有41个专业技术人员，其结构和相应的工资水平分布如表1所示。,表1 公司的人员结构及工资情
30、况,目前，公司承接有4个工程项目，其中2项是现场施工监理，分别在A地和B地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在C地和D地，主要工作在办公室完成。由于4 个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，具体情况如表2所示。,表2 不同项目和各种人员的收费标准,为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，具体情况如表3 所示：,表3：各项目对专业技术人员结构的要求,说明： 表中“13”表示“大于等于1，小于等于3”，其他有“”符号的同理； 项目D，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能参加； 高级工程师相对稀缺，而且是质量保证的关键，因此，各项目客户对高级工程师的配备有不能少于一定数目的限制。各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求； 各项目客户对总人数都有限制； 由于C、D两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支。,由于收费是按人工计算的，而且4个项目总共同时最多需要的人数是10+16+11+18=55，多于公司现有人数41。因此需解决的问题是：如何合理的分配现有的技术力量，使公司每天的直接收益最大？并写出相应的论证报告。,
