1、 目录一 问题重述 .1二 问题分析 .2三 模型假设 .2四 符号说明 .2五 模型的建立与求解 .3六结果分析 .122一 问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图
2、，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图.（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为 =4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。油油浮子出油管油位探测装置 注油口检查口地平线2m 6m1m 1m3 m油位高度图 1 储油罐正面示意图油位探针（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ）之间的一般关
3、系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。(b) 小椭圆油罐截面示意图 油油浮子出油管油位探针注油口水平线2.05m 17cm cm0.4m1.2m1.2m1.78m(a) 小椭圆油罐正面示意图图 2 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图3二 问题分析本题主要考虑的是油罐长时间使用后的变位问题，就是要得出变位后油罐体积与高度之间的关系，计算出罐体变位后油位高度间隔为1cm或10cm的罐容表标定值，算出所有间隔数给出的体
4、积，并算出所有标定值。对于第一个问题根据给出的累加进油量与油位高度，我们用二重积分得出相关的式子，得到计算出计算出来的高度与实际高度之间的差值，在有那个角度我们分三部分对这个问题进行分析，先得到任意处的面积，在积分得到体积，利用附录一中的数据进行计算。对于第二个问题三 模型假设1 假设油罐的厚度是可以忽略不计的。2 假设不油位探针，注油口，出油管所占的体积忽略不计。3 油位探针在储油灌灌底。4 题目所给的数据真实可靠。四 符号说明x:问题一中的横坐标与油罐的水平线平行y:问题一中的纵坐标与油罐的纵坐标平行z:空间坐标 z 轴上的变量h ：是弓形的高h :油罐倾斜的高a ：是长半轴b ：是短半轴
5、V: 未变位油罐体积4五 模型的建立与求解(1)问题一，首先建立罐体未变位时的体积的求解，计算的罐体高度与实际高度之间的差值正常时的高度是已知的，要求出截面的储油面积,求出任意一点的面积，之后对高度进行积分，得到体积。如下所示：图 1 小椭圆截面根据图中已知条件得到方程： 16.089.22zx于是有： 226.0.zx根据面积对高求积分可得体积为： dybaVh2 )arcsin()(2bhha利用拟合得到的方程：根据此得到理论值，用 matlab 与所测量的值进行拟合，如图所示：0.253.867)(h3.5642-0.287)x(h2.615- 30.2867)x(h.14x01)320
6、.867(3417.6y )-(.73.286)()1.arcsin()95图 2 未变位的油量图根据 V 的体积公式得到变位后储油量与测量油位高度，如下图所示： 图 3 拟合后的储油量与标准值所得的数值表如下所示：6表 1 拟合后储油量与变准储油量进油测量值 油罐高度（dm） 进油计算值 油罐高度3018.83 8.5284 3018.5 8.52843068.83 8.66 3068.5 8.663118.83 8.7932 3118.5 8.79323168.83 8.9282 3168.5 8.92823168.91 8.9284 3168.5 8.92843218.91 9.0653
7、 3218.5 9.06533268.91 9.2045 3268.5 9.20453318.91 9.3461 3318.4 9.34613368.91 9.4905 3368.4 9.49053418.91 9.638 3418.4 9.6383468.91 9.7891 3468.3 9.78913518.91 9.9443 3518.3 9.94433568.91 10.1043 3568.3 10.10433618.91 10.2699 3618.2 10.26993668.91 10.4425 3668.2 10.44253718.91 10.6237 3718.2 10.6237
8、3768.91 10.8159 3768.1 10.81593818.91 11.0233 3818.1 11.0233罐体未变位时罐容表的具体模型如下图所示：图 3 储油罐正面图xyz7图 5 无变位时的差值拟合下面分为三种情况计算 V 的函数:对给出的第一组数据可知，当储油罐左面达到最大值时，出油油位高度为1171.31mm1035.36mm，又当储油罐右端达到最小值时，油位高度为146.9mm411.73mm，所以可以断定储油高度应在此之间，故只需对中间段进行积分，得到图 4 变位的小椭圆油罐正面示意图8。dybaVh2对于问题 2 我们首先假设储油罐没有发生变位，对其进行体积积分，并求
9、解出器体积积分表达式， 75.320)15(2.6( 1530)15(arcos.16arcos.9 222 h hhy得到有关数据如下：表 2 有关数据第一部分第二部分 求和1 实际值 差值 拟和值 求和2拟和差值拟和后误差313.2 636.7 949.9 962.86 12.96 14.9839964.8839 2.02390.0021019670565333.9 660.6 994.5 1012.86 18.36 15.18061009.6806-3.1794-0.0031390320479359.6 690 1049.6 1062.86 13.26 15.52171065.1217
10、2.26170.0021279378281381 714.3 1095.3 1112.86 17.56 15.91321111.2132-1.6468-0.0014797908093404.8 740.9 1145.7 1162.86 17.16 16.48391162.1839-0.6761-0.00058141134788429.8 768.7 1198.5 1212.86 14.36 17.25621215.7562 2.89620.0023879095691451 792.1 1243.1 1262.86 19.76 18.06341261.1634-1.6966-0.00134345
11、8499475.4 818.7 1294.1 1312.79 18.69 19.16781313.2678 0.47780.00036395767792498 843.2 1341.2 1362.79 21.59 20.37081361.5708-1.2192-0.000899463527029520.9 867.8 1388.7 1412.73 24.03 21.76281410.4628-2.2672-0.0016048360267543.8 892.3 1436.1 1462.73 26.63 23.33181459.4318-3.2982-0.0022548248822568.8 91
12、8.8 1487.6 1512.73 25.13 25.25331512.8533 0.12338.1508266512E-05592.8 944.1 1536.9 1562.73 25.83 27.29161564.1916 1.46160.00093528632585616.5 968.8 1585.3 1612.73 27.43 29.48171614.7817 2.05170.0012721906333640.3 993.6 1633.9 1662.73 28.83 31.86891665.7689 3.03890.0018276569257661.5 1015.6 1677.1 17
13、12.73 35.63 34.14891711.2489-1.4811-0.00086475976949685.4 1040.1 1725.5 1762.73 37.23 36.86221762.3622-0.3678-0.00020865362251708.8 1064 1772.8 1812.73 39.93 39.6921812.492 -0.238-0.00013129368411733.1 1088.6 1821.7 1862.73 41.03 42.7671864.467 1.7370.00093250229502754.5 1110.2 1864.7 1912.73 48.03
14、45.61271910.3127-2.4173-0.0012637957265779.2 1135 1914.2 1962.73 48.53 49.03551963.2355 0.50550.000257549433710802.6 1158.4 1961 2012.73 51.73 52.40742013.4074 0.67740.00033655780954823.6 1179.2 2002.8 2062.73 59.93 55.53232058.3323-4.3977-0.0021319804337848.7 1203.9 2052.6 2112.73 60.13 59.37712111
15、.9771-0.7529-0.00035636356752872.3 1227 2099.3 2162.73 63.43 63.09852162.3985-0.3315-0.00015327849524896.2 1250.3 2146.5 2212.73 66.23 66.96592213.4659 0.73590.00033257559666919 1272.4 2191.4 2262.73 71.33 70.73242262.1324-0.5976-0.00026410574837942.8 1295.3 2238.1 2312.73 74.63 74.75522312.8552 0.1
16、2525.4135156287E-05966.2 1317.7 2283.9 2362.73 78.83 78.77552362.6755-0.0545-2.3066537438E-05987.9 1338.3 2326.2 2412.73 86.53 82.5532408.753 -3.977-0.00164834026191012 1361.1 2373.1 2462.73 89.63 86.8252459.925 -2.805-0.00113897991251036.3 1383.9 2420.2 2512.73 92.53 91.18082511.3808-1.3492-0.00053
17、6945871621057.9 1404.1 2462 2562.73 100.73 95.10072557.1007-5.6293-0.0021966028114151082.7 1427 2509.7 2612.73 103.03 99.64482609.3448-3.3852-0.00129565626761108 1450.3 2558.3 2662.73 104.43104.34292662.6429-0.0871-3.2710789303E-051132.2 1472.3 2604.5 2712.73 108.23108.87932713.3793 0.64930.00023935
18、2976521155.6 1493.5 2649.1 2762.73 113.63 113.3242762.424 -0.306-0.000110760009121179.3 1514.8 2694.1 2812.73 118.63117.85872811.9587-0.7713-0.00027421757511201.8 1534.9 2736.7 2862.73 126.03122.22992858.9299-3.8001-0.00132743919271226.6 1556.7 2783.3 2912.73 129.43127.08532910.3853-2.3447-0.0008049
19、83640781252 1579 2831 2962.73 131.73132.14612963.1461 0.41610.000140444792471274.5 1598.4 2872.9 3012.73 139.83136.68943009.5894-3.1406-0.00104244323251299.9 1620.2 2920.1 3062.73 142.63141.92853062.0285-0.7015-0.000229044022821324.3 1640.8 2965.1 3112.73 147.63147.07183112.1718-0.5582-0.00017932811
20、3911346.5 1659.4 3005.9 3162.73 156.83 151.874 3157.77 - -122 42 4.9558 0.00156693742431371.7 1680.2 3051.9 3212.73 160.83157.48823209.3882-3.3418-0.00104017455561397.3 1701 3098.3 3262.73 164.43163.39343261.6934-1.0366-0.000317709402861420 1719.2 3139.2 3312.73 173.53 168.8313308.031 -4.699-0.00141
21、846754791442.8 1737.2 3180 3362.73 182.73174.55443354.5544-8.1756-0.00243123890411468.5 1757 3225.5 3412.73 187.23181.32063406.8206-5.9094-0.00173157560081491.7 1774.5 3266.2 3462.73 196.53187.79633453.9963-8.7337-0.00252220069141518.9 1794.5 3313.4 3512.73 199.33195.94173509.3417-3.3883-0.000964577
22、408451520.9 1796 3316.9 3514.74 197.84196.56373513.4637-1.2763-0.00036312785583进而我们可以建立坐标系，以储油罐底边纵向为 y 轴，对其做剖面图，得到俩端为弓形中间为矩形，然后为得到整体面积，我们对其中一端弓形进行进一步积分，建立直角坐标系，通过直角坐标方程,对其进行坐标分析，得到弓形面积方程组为dxyyxD325.625.1V弓13在由弓形的面积通过积分得到弓形的体积，进而我们可以正常解hyx5.1;22出储油罐体积。当储油罐存在倾角 时，根据 分析可以得到2201)(),(miniiihV数据组，然后对 求导可以
23、得到驻点值及最小值。,。14六结果分析模型的误差分析本次实验在忽略温度，湿度的影响下正常进行的。（1（ 在无变位的情况下的误差为：在极坐标求解弓形面积时，有少量油残留在储油罐内表面，无法进行计算；罐体生锈，或被腐蚀等其他因素。（2（ 在有变位的情况下的误差为：对储油罐进行体积积分时，上下弓体忽略了微小的弧度差，因此带来了小量的误差。七模型的评价与改进本题主要是运用微积分的方法与空间几何学相结合建立数学模型，进而得出储油罐内的有聊体积与测油量之间的关系，并在表 2 中得到准确的数据，计算过程中涉及到了计算量较大的公式，借助 Matlab 软件，Lingo 软件大大的提高了我们的计算效率。15参考文献1 迟学斌,赵毅.高性能计算技术及其应用J.中国科学院院刊,2007.2.2 苗建宁.高性能机群系统规划及研究J.中国教育信息化(高教职教),2009.3.3 安阳师范学院网络教学资源.并行计算的重要性DB/OL. 2002.3.4林雪松，周婧。MATLAB7.0应用集锦M.机械工业出版社，2005.9.5 陈国良,并行算法实践M.北京:高等教育出版社,2004:24-25.
