1、12 在 0K 附近，钠的价电子能量约为 3eV，求其德布罗意波长。解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv，hP如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（ ） ，那么2cEe动 ep如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为 3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即 ，因此利用非相对论性的电子的能量动量关系式，这样，便有eV6105.phnmEchee71.035.24296在这里，利用了 eVhc624以及 e05.最后，对 Ece2作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样
2、的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。13 氦原子的动能是 （k 为玻耳兹曼常数） ，求 T=1K 时，氦原子的德布罗意波TE23长。解 根据，eVK310知本题的氦原子的动能为 ,5.233kTE显然远远小于 这样，便有2c核Ech2核nmm37.011054936这里，利用了 eVec962 107.34核最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为 T 的体系，其中粒子的平均动能的数量级为
3、kT，这样，其相庆的德布罗意波长就为 TkchEc22据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布玻色分布或费米公布。2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：ikrikr ee1)2( 1)( 从所得结果说明 表示向外传播的球面波， 表示向内(即向原点) 传播的球面波。2解： 分 量只 有和 J21在球坐标中 sinr1err0rmkr rikrii eerrimiJ ikrikrikik302 022
4、01*11 )()( ( )(2 )(同向。表示向外传播的球面波。rJ1、rmkr r)1ikr(1)i1(2i e(ereri )(m2iJ )( 30 022 0ikrikrikikr*2 可见， 反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。rJ与2补充：设 ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ikxed*波函数不能按 方式归一化。1)(2其相对位置几率分布函数为表示粒子在空间各处出现的几率相同。122.3 一粒子在一维势场axU， ， 0 )(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解： 无关，是定态问题。其定态 S方程tx与)()()()(2xExdm在各区域的具体形式为： )(
5、)()(2 0 111 xEUdx ： 22xxa： )()()( 3332 xdmx 由于(1)、(3)方程中，由于 ，要等式成立，必须)(U0)(12x即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为 0)(2)(xEd令 ，得2mk0)()(22xkdx其解为 BAcossin)(2根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得 01 )(32a sink),32 1( 0sinkaA xanAxsi(由归一化条件1)2d得 sin02axA由 mnbadxm2ixanxsi2)(2mEk可见 E 是量子化的。),321( 2nan对应于 的归一化的定态波函数为axxetxtE
6、in n , ,0 ,si),(2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。解：212)(xex22311 4)(xxee22 )(321 xdx令 ，得0 )(1dxx 1由 的表达式可知， 时， 。显然不是最大几率的位置。)(1 0， 0)(1x22)5(4 6(2 423 3232 x xex ed而01 )3211dx可见 是所求几率最大的位置。x2.7 一粒子在一维势阱中axU ,0 )(运动，求束缚态( )的能级所满足的方程。E解法一：粒子所满足的 S-方程为)(2xExdx按势能 的形式分区域的具体形式为)(U： )()(11012 ax： )(2xEdx ax： )()(U
7、)(23303 xa整理后，得： 1201E：. 2： 0)(3203U令 221 EkEk则： 012：. ： 0123k各方程的解为xkxk3222xx11111FeEcosDsinCBA由波函数的有限性，有0 )(31EA有 限有 限因此xk311FeB由波函数的连续性，有 )13( FekasinDkacosCk),a( 2 in asincoBe,)0(asi)a()( a122232 222ak121 1 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得 0FekasinkaCcosk0in iBesi a12222ak1 解此方程即可得出 B、 C、D 、F，进而
8、得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须0Bekasinakcos0ciniekoi a122a1 22 ak2cosak2sin)k(e inicoei acsase koiksinknecoasiasi 0kckne esicoaasii0112a 212k2a1 ak 222a21 kk ak122a1 a122 kak1 111111 0 0222 即 为所求束缚态能级所满足的方程。#)(11tg解法二：接（13）式 aksinDakcosCakcosDasinC212122 2202cosk 2sin)( 1 0cosincossicosi 0)in)(i( cossisico)
9、in)(i( 0cossisico122 221221221 2212221 212212 aak akakakakk akkakakkak#解法三：(11)-(13) )(i122 FBeDak(10)+(12) )FB(eakcosD2ak21 )a( tg)1(03(11)+(13) ikeC1)(s122 (12)-(10) aikakin令 则， 22 )d( ctg c 、 faU)k(20212合并 ：b)a、利用212tgaktg12at#解法四：（最简方法-平移坐标轴法）： （0）1012EU： （02 ）22 a： （2 ）33030)(2)(303121EU束缚态 (3)
10、 0kE2k )U( 1321 20110E0UxkxkxkxFeEDCBA1113222cossin0 )(3EB有 限有 限因此（b）kactgkk )10()12( )13()11( 122 xkFeA131 由波函数的连续性，有 )7( Feak2cosDasinC),a2()( 6 ink 5 ,0 )4( )( ak2232 ak212112 1(7)代入(6)DC212122 sincsi 利用(4)、(5)，得 0ak2cosak2sin)k(i)0A0ak2cosasin)k( akiAi112 2212212 21221 、3.1 一维谐振子处在基态 ，求：tixex2)(
11、1)势能的平均值 ；2U(2)动能的平均值 ； pT(3)动量的几率分布函数。解：(1) dxex2221 222411410 122)(53andxean (2) dxppT)(2*dxeex22121)(x222dedexx2324241或 12UET(3) dxpcp)()(*121dxePixix2 2depix22)(1 1xipp222)(1 212pe 2pe动量几率分布函数为21)(2pepc#3.2.氢原子处在基态 ，求：0/3),(arr(1)r 的平均值；(2)势能 的平均值；re2(3)最可几半径；(4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。解：(1) drreadr
12、 a sin1),(022/32 00/2304dra01!naxnde04032a020320/2/3022/3214 sin si1)()(0 0aeaedrdreae rrUarrar(3)电子出现在 r+dr 球壳内出现的几率为 022 sin),()( drrdr drear2/3004/3004)ea0/2)(ardr令 0321 , , 0)(rr 、当 为几率最小位置)( ,210/20302 )484areradr)(220ear 是最可几半径。0ar(4) 221pT 0 2/2/30 sin)(100 dreaarr2 /2/ i0drre 2sin1)(i10/0230
13、2 )(140dreara24(5) drpcp),)(* 200cos02/32/3 in10 dereaprir0cos0/232/ )( )(dpriar0 0cos/232/ 0)( priaree0/32/ )(0dripapiriar01!naxnde)1()1()2( 202030/ piapiai 22030)(41ipa403)(2420/)(pa动量几率分布函数420253)(8(pac#3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是0erJ2sin m证：电子的电流密度为)(*mnneJ在球极坐标中为si11rerr式中 为单位矢量er、)sin11(
14、2* *mnrmnr reeiJ )sin1sin1()1 ()(2 * mnmnmnn nnr rreei 中的 和 部分是实数。r eiiiJnne )(s222 ern2si可见， 0r2sinme#3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。(1)求一圆周电流的磁矩。(2)证明氢原子磁矩为 )( 2 CGScmeIMz原子磁矩与角动量之比为 )( 2 SceILz这个比值称为回转磁比率。解：(1) 一圆周电流的磁矩为（AdJidMe为圆周电流， 为圆周所围面积）iA22)sin(sinrSrmdenrrm22si )(rdS(2)氢原子的磁矩为 02 sinded
15、Mn02 sin2drmemn 2e)(SI在 单位制中 CGScM原子磁矩与角动量之比为)( 2SIeLzz )( 2CGSceLMz#3.5 一刚性转子转动惯量为 I，它的能量的经典表示式是 ，L 为角动量，求与此IH2对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：(1)转子绕一固定轴转动：(2)转子绕一固定点转动：解：(1)设该固定轴沿 Z 轴方向，则有2ZL哈米顿算符 1dIIH其本征方程为 ( 无关，属定态问题 )t、)(2)( 2IEdI令 ，则2IEm0)()( 2md取其解为 ( 可正可负可为零 )iAe)(由波函数的单值性，应有imie)2()2即 1mim= 0 ，1，2，
16、 转子的定态能量为 (m= 0，1， 2，)IE2可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为 imAeA 为归一化常数，由归一化条件212 2020*AAdm 转子的归一化波函数为ime综上所述，除 m=0 外，能级是二重简并的。(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为21LIH无关，属定态问题，其本征方程为t与),(),(2EYI(式中 设为 的本征函数， 为其本征值),Y,(L令 ，则有2IE),),2Y此即为角动量 的本征方程，其本征值为) ,210( 1(2 其波函数为球谐函数 immmePNcos), 转子的定态能量为2)(IE可见，能量是分立的，且是 重简并的。)
17、12(3.9.设氢原子处于状态),()23),(),( 1102 YrRYrRr求氢原子能量、角动量平方及角动量 Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。解：在此能量中，氢原子能量有确定值2228ssenE)2(n角动量平方有确定值为)1(L1角动量 Z 分量的可能值为012其相应的几率分别为， 43其平均值为43041ZL4.1.求在动量表象中角动量 的矩阵元和 的矩阵元。x2xL解： depzyeriyrpipx )()21()(3dezpyeriyrpi )()21(3 deppierizyzrpi )()21(3deppi rpizyz 、3)21()()()(ppiyzy dLxLpppx2*2)()(depzyeriyrpi 23)()21( depzyzperiyri )()21(3 deppizpye riyzyyri )()21(3 depzyeppi riyrpiyzy )()21()(3depprpiyzy 、322 )1()()(22 ppyzy
