1、量子力学基础习题 1在 0K 附近，钠的价电子能量约为 3 电子伏，求其德布洛意波长。2氦原子的动能是 kTE23（k 为玻耳兹曼常数） ，求 KT1时，氦原子的德布洛意波长。3设质量为 m的粒子在谐振子势21)(xmV中运动，用量子化条件求粒子能量 E 的可能取值。4两个光子在一定条件下可发转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？5证明在定态中，几率密度和几率流密度与时间无关。6由下列两定态波函数计算几率流密度；（1）ikre1， （2）ikre127求粒子在一维无限深势阱 axxV或0,)(中运动的能级和波函数。8证明（2.6-14）式中的归一化常数
2、是 aA1。9求一维线性谐振子处于第一激发态时几率最大的位置。10一维运动的粒子处于如下状态：0)(xAe0其中 0，(1)(1) 将此波函数归一化，(2)(2) 问在何处找到粒子的几率最大？11设在球坐标系中，粒子的波函数为 ),(r，求 (1)在球壳 )(dr中找到粒子的几率，(2)在 ),方向，立体角元 中找到粒子的几率。12 求三维各向同性谐掁子 )(2122zyxU的能级和波函数。13设 1和 2都是一维定态薛定谔方程的解，而且它们属于同一能级 E，试证明： 121dxconstant.14上题中，若 和 2描述的都是束缚态，试证明 1和 2只相差一个常数因子。(提示：所谓束缚态，即
3、当 x时有 0)15一维线性谐振子处于基态tie210，求（1）势能的平均值 21xU（2）动能的平均值2pT（3）动量的几率分布函数。16氢原子处于基态01),(arer，求：（1） r的平均值；（2）势能e2的平均值；（3）最可几半径；（4）动能的平均值；（5）动量的几率分布函数。17一刚性转子转动惯量为 I，它的能量的经典表示式是 ILH2。L为角动量。求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：（1）转子绕一固定轴转动；（2）转子绕一固定点转动。18一维运动的粒子的状态是0)(xAe0其中 0，求（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子的平均动量。19在一维无限深势阱中运动的粒
4、子，势阱的宽度为 a，如果粒子的状态由波函数 )(xaA描写，A 为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。20设氢原子处于状态),()23),(21),( 110 YrRYrRr求氢原子的能量，角动量平方及角动量 z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。21求（3.7）题中粒子位置和动量的测不准关系 2x?p22已知 F和 G是二个厄密算符，试证明：(1)(1) K也是厄密算符(2)(2) )(FGiM也是厄密算符23求解算符 xdi的本征值和本征函数。24令 yxiL和 yxiL，试证明(1) z, ，(2) z2,25求动量表象中角动量 x的矩阵元和 2x的矩
5、阵元。26求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。27求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。28求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。29设已知在 2L和 z表象中，算符 xL和 y和矩阵分别为01x， 02iiy求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵 xL和 y对角化。30求下面四个矩阵元： x， p， x和 p。31已知某表象的三个基矢为： 321,，有两个算符 A和 B，它们有如下性质： 1A， 02， A，3B， ， 13，试写出算符 ， 2， 和 2的矩阵。32实际原子核不是一个点电荷，它具有一定大小，可近似视为半径为 R的均匀分球体它产生的电势为arrZ
6、eRR,213Ze为核电荷，试把非点电荷效应看成微扰， arRZeRrZeH, 02132计算原子的 s1能级的一级微扰修正。33设 0， )0(2)(10EH， abH（ ,为实数）用微扰论求解能级修正（准到二级近似） ，并与严格解（把 H矩阵对角化）比较。34一维无限深势阱（0，a）中的一个粒子在 0t时刻处于如态：xaAt2cosin)(，求 时刻的状态波函数。35已知某体系的哈密顿算符 H0，其中无微扰哈密顿算符0H和微扰 在 0表象中的矩阵分别为： 32， 0*，试用微扰论方法求能级。(精确到二级修正)36体系无微扰的能级 E 是二度简并，波函数是 1和 2，它们是相互正交归一的。现
7、有微扰 H，而且有 21， 1H，求一级近似的能级和相应的零级近似波函数。37求证： izyx38在 zs本征态0121zs下，求 2xs?y39在 zS表象中，求 xS和 y的本征值和本征矢量。40求自旋角动量在 cos , ,cos方向的投影zyxn的本征值和所属的本征函数。41设氢原子状态是),(23)110YrR（1）求轨道角动量 z 分量 zL和自旋角动量 z 分量 zS的平均值；（2）求总磁矩 SeM2（SI）的 z 分量的平均值（用玻尔磁子表示） 。42一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？43证明 )1(S， )2(， )3(S和 A组成正交归一系。44设两电子在弹性中心力场中运动，每个电子的势能是 2)(rrU。如果电子之间的库仑能和 )(rU可以忽略，求当一个电子处在基态，另一个电子处于沿 x 方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。
