1、2.1如图所示U(x)U0左 右1() 2()0 x设粒子的能量为 ， 下面就 和 两种情况来讨论 0 U0此时，粒子的波函数 所满足的定态薛定谔方程为()212+121=0222+222=0其中12=22 , 22=22(0)其解分别为1()=1+12()=2+2（1）粒子从左向右运动右边只有透射波无反射波，所以 为零由波函数的连续性1()|=0=2()|=0得 +=1|=0=2|=0得 11=2解得=121+2= 211+2由概率流密度公式=2()入射=1|2=1|2 ,=2 |2反射系数 =|2=(121+2)2透射系数 =|2=21( 211+2)2（2）粒子从右向左运动左边只有透射波
2、无反射波，所以 为零同理可得两个方程+=22=1解 =212+1= 222+1=2|2=2|2 ,=1 |2反射系数=|2=(212+1)2透射系数=|2=12( 222+1)2（二） 的情形E0在中间区域所满足的定态薛定谔方程为22+2=02=22其解是 ()=sin(+)由波函数连续性条件得sin()=0sin(+)=0 =1 ,+=2=(12)=1,2,3,4 =22222相应的 =()=sin(+1)=sin()因为正负号不影响其幅度特性可直接写成()=sin()由波函数归一化条件得0|()|2=20sin2()=201cos22 =22=1 =2所以波函数 ()=2sin()（ 2）
3、 ()左 中 右 0 x2 2显然 =0时只有中间有值0在中间区域所满足的定态薛定谔方程为22+2=02=22其解是 ()=sin(+)由波函数连续性条件得sin(2 +)=0sin(2+)=0 2 +=1 ,2+=22=(1+2)=2当 ， 为任意整数 ，=2 =则 =2(1)=2(2)=21, 1=1,2,3当 ， 为任意整数 ，=2+1 =+2则 =2(1)+=2(2+1)+=(21+1)综合得 =,=1,2,3 =22222当 时 ， ，=21 =波函数 ()=sin()归一化后 ()=2sin()当 时 ， ，=21+1 =+2波函数 ()=cos()归一化后 ()=2cos()2.
4、4如图所示 ()0左 中 右 0 a显然 =0在中间和右边粒子的波函数 所满足的定态薛定谔方程为()22+12=02222=0其中 12=22 , 22=22(0)其解为 ()=sin(1+)()=2+2由在右边波函数的有界性得 为零 ()=sin(1+)()=2再由连续性条件，即由()|=0=()|=0得 sin()=0则 ()=sin(1)()|=()|=得 sin(1)=2 (I) |=|=得 1cos(1)=22 () 除以 得() (I)1cot(1)=21=n+cot1(21)再由公式 ,注意到 cot1=sin1 11+2 12+22=2201=sin1 120令 1=1, 1=
5、sin1120, 则 1=20sin(1)其中 ， 不同 n 对应不同曲线 ,20图中只画出了在 的取值范围之内的部分111=16 n=65 n=5n=44n=3 3n=22n=1 0 n=020 1只能取限定的离散的几个值，则 E 也取限定的离散的几个值，1对每个 E， 确定1， 2()=sin(1)()=sin(1)22归一化条件得0|()|2+|()|2=20sin2(1)+2sin2(1)2222=201cos(21)2 +2sin2(1)22 =22141sin(21)+122sin2(1)=221412tan(1)+tan2(1)+122tan2(1)1+tan2(1)=22+14
6、1212+(12)2+122(12)21+(12)2=22+122=1=(2+122)122.5()=122(2+22)=122(+2)2( 2)2=122(+2)21222则该一维谐振子的波函数的定态薛定谔方程为22+22+1222122(+2)2=0令 =+1222=+2则上式可化成22+221222=0令 = = =2则22+(2)=0只有当 有解1=2()=122()=+1222=(+12)()=12()2()=(+12)1222 n=0,1,2,3 ()=122(+2)2(+2)= 2!2.6由 和已知条件可得()=2!122()第三章3.1能量本征值方程为 H=即22(22+22)
7、=122(2+2)分离变量法，令 = =+则有+22(1222)=0 +22(1222)=0 令 = = =2则22+(2)=01=2=12() 2( )=(+12) =0,1,2,3同理 =12() 2( )=(+12) =0,1,2,3令 则=+=+=(+1)=(+1) =0,1,2,3=12() 212() 2( )( ) =0,1,2式中= 2!能级简并度为 +13.2角动量算符 =（ +） (+)在极坐标系下 =则 H=22由能量本征值方程 H=22+22=0令 =22其解为()=由周期性 得 (0)=(2) =归一化条件 20|()|2=22=1则 = 12()= 12=22223
8、.4H=22+()=222+()由能量本征值方程 H=222=()令 (,)=()(,)当 =0时 (,)=0()00(,)=0()令 此时 满足的方程为()=0() ()22+22 ()=0时0222+22 2=0只考虑 时 令00图中只画出了在 的取值范围之内的部分111=16 n=65 n=5n=44n=3 3n=22n=1 0 n=0 20 1只能取限定的离散的几个值，则 E 也取限定的离散的几个值，1对每个 E， 确定1， 21()=sin(1)2()=sin(1)22归一化条件得 1 可求得0|1()|242+|2()|242=(8+ 181)12,具体求法 见 2.43.5记 (
9、,)=|=1()=)=1(|)|)=0同理 =0方差算符 2=()2=1()=1()1=1(+)1=1(+)1=2+11()2=()2则 ()2=()2=12()2+()2)=12=12(22)=12(2+2)2由测不准关系 ()2()224()2代入，验证该式是成立的第四章4.1在动量表象中 ， = =则 =2222222代入 =得 22+ 222(22)=0令 = , =1 ,=2得 22+(2)=01=2()=122()则 =(+12) n=0,1,2,3 归一化后的 ()=12()2()= 2!4.5本征方程的矩阵形式+01 +0212=12= 00 12+01 +0212=00上式
10、存在非零解的条件是1 2+01 +02=0即 2(2+01+02)+(+01)(+02)2=0解得1=2+01+02+ (2+01+02)24(+01)(+02)+422=2+01+02+ (0102)2+4222=2+01+02 (0102)2+422当 =121=101 =0201+ (0102)2+422再由 |1|2+|2|2=1得 1 2=12当 ， 同样=2第六章6.3解：在 表象， 的矩阵元为zSn cos102cos02cos102in i其相应的久期方程为 0cos2)cos(2)(ii即 )(4202 )1coscos222利 用所以 的本征值为 。nS2设对应于 的本征函
11、数的矩阵表示为 ，n baSn)(21则 ii2coscso2 ba)(cs1ib由归一化条件，得 2*),(21 babcos12aia2)cos1(2)(21iSn 2121)cos(cos00)(21 iSn同理可求得 对应于 的本征函数为nS)cos1(2)(21 iSn6.1设 在 的表象下的本征函数为 ， =本征值为 ， 在 的表象下的本征函数为 ， 本征值 =为 由 在 的表象下的矩阵得 0 11 0= 11 =00方程有非零解的条件为 det =0， 11 即 ， 的本征值、本征函数有两个1=1,2=1 当 时，代入得 1=1 =由波函数归一化条件得 |2+|2=1有1= 22
12、22同理2= 2222由 在 的表象下的矩阵得 0 0= =方程有非零解的条件为 det =0， 即 ， 的本征值、本征函数有两个1=1,2=1 当 时，代入得 1=1 =由波函数归一化条件得 |2+|2=1有1= 2222同理2= 22226.3 节的证明题在中心场问题中（即氢原子中电子的状态）（1）当无自旋动量距与轨道动量矩的耦合（即存在 算符与 算 符的相乘项）电子的哈密顿量为=22+()求其本征值时转化为球坐标系下的方程 (,)=则方程左边可分解为 三维表象下的三个方程，|r | | |三个表象下各自的波函数相乘即是 的本征函数。表象下是 阶连带拉盖尔多项式 ，记作 算符的本|r +
13、R() F征值表象下的方程显示的对 的作用关系即是 算符| | 2是球谐函数 ，是 与 的共同本征函数(， ) 2 表象下是| ()其本征函数为 R()(， )()主量子数 n=1,2,3,4， 角量子数 l=0,1,2， n-1轨道量子数 m=0， 1， 2， 自旋量子数 m=12（2）当存在自旋动量距与轨道动量矩的耦合电子的哈密顿量为=22+()+()同样求其本征值时转化为球坐标系下的方程 (,)=表象下也是 阶连带拉盖尔多项式|r + R()表象下的方程显示的对 的作用关系即是总动量| | | 矩 算符2， 是属于不同自由度的 ， 分别为其=+ ， ， ， 分量类似于在轨道角动量矩的性质
14、， 具有共同本征函数2 下面先求 的本征函数 1=+的本征函数为球谐函数(， )，本征 值为 ， m=0， 1， 2， 的本征函数为 ()，本征 值为 ， m=12则 的本征函数为 ， (， )()本征 值为 (+)=显然 的简并度为 2属于本征值 的本征函数可表示为=12(， )12()+12(， )12(),通过 ，确定 可得 表象下的本征函数2=2 ， | | | 22=2+2+2（ 这 是定 义类 似于 2， 不能直接 (+)2）=(+)2+(+)2+(+)2=2+2+2+2+2+2+2(+)=2+2+2(+)在 表象下|=12(， )+12(， )2=2+342+2(20 11 0+
15、20 0+21 00 1)=2+342+ + 由 求得（以下只要记住就行）2=22=(12)(12+1)2=(+1)2时=+12=+122+1+122+1 时=12=+122+1+122+1 至此该情况下的本征函数为 R() 主量子数 n=1,2,3,4， 角量子数 l=0,1,2， n-1磁量子数 m=12, +112, ,+12内量子数 =12量子力学全书重点1. 量子力学三大作用：奠基作用、渗透作用、设计作用2. 量子力学中粒子的特点单一粒子具有波粒二象性多粒子体系具有全同性3. 量子力学的三大原理：态叠加原理：若波函数 ，是描述粒子的一1， 2， ， 些可能态，则这些波函数线性叠加得到
16、的 也是描=述粒子的可能态测不准原理：对于任意两个不可对易的力学量算符 ，与 设其满足 ，则有， =()2()2()24对于时间与能量 2全同性原理：全同系的状态不因交换两个粒子而改变，其运动状态只能用对称或反对称的波函数来描述4. 量子力学的三大概率分布概率跃迁概率散射概率5. 量子力学的三大景象薛定谔景象 随时间变化， 不变= 海森伯景象 取 时刻， 含时t0 互作用景象（狄拉克景象）6. 量子力学的三大方程薛定谔方程：含时形式：=(222+()定态形式：(222+()=(,)=(,)海森伯方程泡利方程7. 波函数物理含义：描述微观物体的运动状态， 是 描述的粒|2子在体积元 内出现的概率性质：连续性，有界性，单值性，归一性厄米算符线性条件： (+)=+厄米条件： =()本征函数:正交归一性、完备性具有完备的共同本征函数：两算符必须对易力学量的完备集合1. 力学量的数目至少等于系统的自由度2. 这一组力学量必须两两对易3. 这一组力学量必须相互独立8. 常见力学量算符9. 力学量的表象与矩阵力学 P12210. 自旋电子自旋的两个假设1. 每个电子都有自旋动量距 ，在空间任意方向上只能取两个值 22. 自旋磁距=泡利矩阵 =2=1 00 1=0 11 0=0 0自旋波函数 P176 6.30 式11. 双粒子系下波函数的形式 P205，P20612. 散射截面
