1、1第 5 章 定积分及其应用学习目标理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质.掌握变上限定积分的导数的计算方法.熟练应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分，熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法.了解定积分在经济管理中的应用，会利用定积分计算平面图形的面积.定积分和不定积分是积分学中密切相关的两个基本概念,定积分在自然科学和实际问题中有着广泛的应用.本章将从实例出发介绍定积分的概念、性质和微积分基本定理,最后讨论定积分在几何、物理上的一些简单应用.5.1 定积分的概念与性质定积分无论在理论上还是实际应用上，都有着十分重要的意义，它是整个高等数学最重要的内容之一.5.1.1 实例分析1.曲边梯形的面积在
2、初等数学中,我们已经学会计算多边形和圆的面积,至于任意曲边所围成的平面图形的面积,只有依赖于曲边梯形并利用极限的方法才能得到比较完满的解决.所谓曲边梯形,就是在直角坐标系中,由直线 及曲线 所围0,ybxa)(xfy成的图形，如图 5.1(a),(b),(c)都是曲边梯形.现在求 时，在连续区间 上围成的曲边梯形的面积 A（如图 5.1(a),(b)0)(xf ,ba所示） ，用以往的知识没有办法解决.为了求得它的面积，我们按下述步骤来计算：(1)分割将曲边梯形分割成小曲边梯形在区间 内任意插入 个分点： ，把区,ban bxxn1210a o xa o b xy a o b x by y(a
3、) (b) (c)图 5.12间 分成 个小区间： ，第 个小区间的长度,ban , 11210 nixxx i为 ，过每个分点作垂直于 轴的直线段，它们把曲边梯形分成),1(ixii 个小曲边梯形（图 5.2） ，小曲边梯形的面积记为 .),2(iA(2)近似用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积在小区间 上任取一点 ，作以 为底， 为高的小,1iix ),21(ni,1iix)(if矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，则.),()ixfAii (3)求和求 个小矩形面积之和n个小矩形面积之和近似等于曲边梯形之和 ，即n AnA21 nxfxfxf )()()(21.iiif1(4)取
4、极限令 ，当分点 无限增多且 时，和式 的极限便是曲边inix1man0iniixf)(1梯形的面积 A，即.iniixfA)(lm102变速直线运动的路程设一物体作变速直线运动，其速度是时间 的连续函数 ，求物体在时刻t)(tv到 间所经过的路程 .1Tt2tS我们知道，匀速直线运动的路程公式是： ，现设物体运动的速度 是随时间的vtSv变化而连续变化的，不能直接用此公式计算路程，而采用以下方法计算：(1)分割把整个运动时间分成 个时间段no x210xaix1bxn1y图 5.23在时间间隔 内任意插入 个分点： ，把,21T1n 21101 TttTn分成 个小区间： ，第 个小区间的长
5、度为,21Tn ,210 nittt i第 个时间段内对应的路程记作 .),(1itti i ),(Si(2)近似在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程在小区间 上任取一点 ,用速度 近似代替物体在时间,1it )2,1(ni)(iv上各个时刻的速度，则有,1it.),()itvSii (3)求和求 个小时间段路程之和n将所有这些近似值求和，得到总路程的近似值，即 nS21 nitvtvt )()()(21.initv)(1(4)取极限令 ，当分点的个数 无限增多且 时，和式 的极限便init1maxn0initv)(1是所求的路程 .即 SinitvS)(lm10从上面
6、两个实例可以看出，虽然二者的实际意义不同，但是解决问题的方法却是相同的，即采用“分割-近似-求和-取极限”的方法，最后都归结为同一种结构的和式极限问题.类似这样的实际问题还有很多，我们抛开实际问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质特征，从数学的结构加以研究，就引出了定积分的概念.5.1.2 定积分的概念定义 5.1 设函数 在区间 上有定义，任取分点)(xf,ba bxxan1210把区间 任意分割成 个小区间 ，第 个小区间的长度为 ，,ban1iix ),(ii记 .在每个小区间 上任取一点 作和式 ，inix1m,1ii ),21(niiniixf1当 时，若极限 存在（这个极限
7、值与区间 的分法及点 的取法0iniixf)(l10 ,bai4无关） ，则称函数 在 上可积，并称这个极限为函数 在区间 上的定积分，)(xf,ba)(xf,ba记作 ，即badf)(. badxf)(iniixf)(lm10其中， “ ”称为被积函数， “ ”称为被积表达式， 称为积分变量， 称为积)(xf f a分下限， 称为积分上限， 称为积分区间.b,ba根据定积分的定义，前面所讨论的两个实例可分别叙述为：曲边梯形的面积 是曲线 在区间 上的定积分.A)(xfy,ba( ).df0)xf变速直线运动的物体所走过的路程 等于速度函数 在时间间隔 上的S(tv,21T定积分.21)(Td
8、tv关于定积分的定义作以下几点说明：闭区间上的连续函数是可积的；闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的.定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数 和积分区间 ，而与积分变)(xf,ba量使用的字母的选取无关，即有 .babadtxf)(在定积分的定义中，有 ，为了今后计算方便，我们规定：.babxff)()(容易得到 .0)(adxf5.1.3 定积分的几何意义设 是 上的连续函数，由曲线 及直线 所围成的)(xfba, )(xfy0,ybxa曲边梯形的面积记为 .由定积分的定义及 5.1.1 实例 1，容易知道定积分有如下几何意义：A（1）当 时，0)(xf Adxfba)(（2）当
9、时，（3）如果 在 上有时取正值，有时取负值时，那么以 为底边，以曲线)(xfb, ba,5为曲边的曲边梯形可分成几个部分，使得每一部分都位于 轴的上方或下方.这)(xfy x时定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图 5.3 所示，有321)(Adxfba其中 分别是图 5.3 中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数.321,A例 5.1.1 利用定积分的几何意义，证明 .21dx证 令 ，显然 ，,12xy0y则由 和直线 ，21,所围成的曲边梯形是单位圆位于 轴上方的半圆.x如图 5.4 所示.因为单位圆的面积 ，A所以 半圆的面积为 .2由定积分的几何意义知：.1dx5.
10、1.4 定积分的性质由定积分的定义，直接求定积分的值，往往比较复杂，但易推证定积分具有下述性质，其中所涉及的函数在讨论的区间上都是可积的.性质 5.1.1 被积表达式中的常数因子可以提到积分号前，即.babadxfkdxf)()(性质 5.1.2 两个函数代数和的定积分等于各函数定积分的代数和，即.bababa dxgfgf )()()(这一结论可以推广到任意有限多个函数代数和的情形.6性质 5.1.3（积分的可加性）对任意的点 ，有c.bcaba dxfxfdxf )()()(注意 的任意性意味着不论 是在 之内，还是 在 之外，这一性质均成立.c,a性质 5.1.4 如果被积函数 为常数)
11、,则f.bacx)(特别地,当 时,有 .1cd性质 5.1.5（积分的保序性）如果在区间 上,恒有 ，则ba)(xgf.babadxgxf)()(性质 5.1.6（积分估值定理）如果函数 在区间 上有最大值 和最小值 ,f,Mm则 ).()()( abMdxfabmb性质 5.1.7 (积分中值定理) 如果函数 在区间 上连续,则在 内至少有一),(ba点 ,使得.baabfdxf)()(),(b证 因 在 内连续，所以 在 内有最大值 和最小值 ，)(xf, ,Mm由性质 5.1.6 知： ).()()(xfbmba从而有 1d这就说： 是介于 与 之间的一个实数.badxf)(1M由连续
12、函数的介值定理 1.10 知：至少存在一点 ，使得 .),(ba)()(1fdxfab即.bafdxf)()( ),(注 性质 5.1.7 的几何意义是:由曲线,直线 和 轴所围成)(xfy,曲边梯形的面积等于区间 上某个矩形ba的面积,这个矩形的底是区间 ,矩形的高为区间 内某一点 处的函数值 ，,ba)(fo a b xy)(f )(xfy图 5.57如图 5.5 所示.显然，由性质 5.1.7 可得 ， 称为函数 在区间badxff)(1)()(f)(xf上的平均值.这是求有限个数的平均值的拓广.,ba性质 5.1.8(对称区间上奇偶函数的积分性质) 设 在对称区间 上连续,则)(xfa
13、有如果 为奇函数,则 ；)(xfadxf0)(如果 为偶函数,则 .aadxf0)(2例 5.1.2 估计定积分 的值.xe12解 设 , ，令 ,得驻点 ，比较 及区2)(xf2)(f)(xf0xx间端点 的函数值,有1x, .1)0(ef ef1)(显然 在区间 上连续,则 在 上的最小值为 ,最大值2)(xefx,em1为 ，由定积分的估值性质,得1M.212dex例 5.1.3 比较定积分 与 的大小.003解 因为在区间 上,有 ,由定积分保序性质,得12x.d0103定积分定积分的原始思想可以追溯到古希腊古希腊人在丈量形状不规则的土地的面积时，先尽可能地用规则图形(例如矩形和三角形
14、 )把要丈量的土地分割成若干小块，并且忽略那些边边角角的不规则的小块计算出每一小块规则图形的面积，然后将它们相加，就得到土地面积的近似值后来看来，古希腊人丈量土地面积的方法就是面积思想的萌芽在十七世纪之前，数学家们没有重视古希腊人的伟大思想，当时流行的方法是不可分量法这种方法认为面积和体积可以看作是由不可分量的运动产生出来的这种方法没有包含极限概念，也没有采用代数与算数的方法因此，不可分量的思想没有取得成功虽然积分概念未能很好得建立起来，然而，到牛顿那个年代，数学家们已经能够计算许多简单的函数的积分虽然十三世纪就出现了利用分割区间作和式并计算面积的朦胧思想(奥雷姆，法国数学8家)但是建立黎曼积
15、分(即定积分)的严格定义的努力基本上由柯西开始他比较早地用函数值的和式的极限定义积分(他还定义了广义积分)但是柯西对于积分的定义仅限于连续函数1854 年，黎曼指出了积分的函数不一定是连续的或者分段连续的，从而把柯西建立的积分进行了推广他把可积函数类从连续函数扩大到在有限区间中具有无穷多个间断点的函数黎曼给出关于黎曼可积的两个充分必要条件其中一个是考察函数 的振幅；)(xf另一个充分必要条件就是对于区间 的每一个划分 ，构造积,ba bxan10分上和与积分下和:S= s=iniixM1 iniixm1其中 M 和 m 分别是函数 在每个子区间上的最大值和最小值. 在 黎曼可积ii )(f )
16、(xf,ba的充分必要条件就是 0)(li0axsS至今，这个定理仍然经常出现在微积分和数学分析的教科书中达布(法国数学家)对于黎曼的积分的定义作了推广他严格地证明了不连续函数，甚至有无穷多个间断点的函数，只要间断点可以被包含在长度可以任意小的有限个区间之内就是可积分的在牛顿和莱布尼兹之前，微分和积分作为两种数学运算、两种数学问题，是分别加以研究的虽然有不少数学家已经开始考虑微分和积分之间的联系，然而只有莱布尼兹和牛顿(各自独立地)将微分和积分真正沟通起来，明确地找到了两者之间内在的直接的联系，指出微分和积分是互逆的两种运算而这正是建立微积分的关键所在牛顿在 1666 年发表的著作流数简论中，
17、从确定面积率的变化入手，通过反微分计算面积，把面积计算看作是求切线的逆从而得到了微积分基本定理在 1675 年，莱布尼兹就认识到，作为求和过程的积分是微分的逆他于 16751676 年给出了微积分基本定理)(afbdxfba并于 1693 年给出了这个定理的证明简单直观并且便于应用，是黎曼积分的优点.黎曼积分的缺点主要是理论方面的一方面, 黎曼积分的可积函数类太小基本上是“分段连续函数”构成的函数类另一方面，黎曼积分在处理诸如函数级数的逐项积分、重积分的交换积分顺序以及函数空间的完备性这样一些重要的理论问题时，存在许多不可克服的障碍于是在上一世纪末到本世纪初，一种新的积分理论勒贝格积分应运而生
18、它是黎曼积分的推广，勒贝格积分的建立是积分学领域的重大发展它在很大程度上克服了黎曼积分在理论上遇到的上述困难勒贝格积分是近代分析数学发展的重要动力和基础习题 5.11.用定积分表示由曲线 与直线 及 轴所围成的曲边梯形的32xy4,1x9面积.2.利用定积分的几何意义,作图证明：(1) (2)102xd 2024RxR3.不计算定积分,比较下列各组积分值的大小.(1) , (2) ,10102 dex10x102(3) , (4) , 43lnxdx432l40cos40sind4.利用定积分估值性质,估计下列积分值所在的范围.(1) (2)ex10 20)(x(3) (4)d21 d2955
19、.试用积分中值定理证明 .sinlim1xn5.2 定积分的基本公式定积分就是一种特定形式的极限，直接利用定义计算定积分是十分繁杂的，有时甚至无法计算.本节将介绍定积分计算的有力工具牛顿莱布尼兹公式.5.2.1 变上限定积分定义 5.2 设函数 在区间 上连续，对于任意 ， 在区间)(xf,ba,bax)(xf上也连续，所以函数 在 上也可积.显然对于 上的每一个 的取值，,xa ,都有唯一对应的定积分 和 对应，因此 是定义在 上的函数.记为xadtf)(xadtf)(,， .xtf,b称 叫做变上限定积分,有时又称为变上限积分函数.)(x变上限积分函数的几何意义是：如果 ，对 上任意 x，
20、都0)(fba,对应唯一一个曲边梯形的面积 ，)(如图 5.6 中的阴影部分.因此变上限积分函数有时又称为面积函数.函数 具有如下重要性质.)(x o a x b xy )(xfy)(图 5.610定理 5.1 如果函数 在区间 上连续，则 在 上可导，)(xf,baxadtf)()(,b且 .)(fdtfxa 证 给定函数 的自变量 的改变量 ，函数 有相应的改变量 .则)(xx)(. xxaa dtfdtftfx )()()(由定积分的中值定理，存在 ，使 成立.,x或 xx所以 .)()(lim)(li)(limli)( 000 ffffx fxx 连 续由定理 5.1 可知，如果函数
21、在区间 上连续，则函数 就是f,baxadt在区间 上的一个原函数.由定理 5.1 我们有下面的结论.)(xf,ba定理 5.2（原函数存在定理） 如果 在区间 上连续，则它的原函数一定存)(xf,在，且其中的一个原函数为.xadtf)()(注 这个定理一方面肯定了闭区间 上连续函数 的一定有原函数（解决了第,b)(xf四章第一节留下的原函数存在问题） ，另一方面初步地揭示积分学中的定积分与原函数之间的联系.为下一步研究微积分基本公式奠定基础.例 5.2.1 计算 .tdextsin0解 = = .tdxtsi0xt xesin例 5.2.2 求 .xt02)1l(lm解 当 时，此极限为 型
22、不定式，两次利用洛必塔法则有= =xxdt02)1ln(li 20)ln(ixdtxxx2)1ln(im0= =1li0x例 5.2.3 求 .dttd)(21解 注意，此处的变上限积分的上限是 ，若记 ，则函数 可以2x2xudttx)1(211看成是由 与 复合而成，根据复合函数的求导法则得dttyu)1(22x= =dx1 dxuttu)1(x2)1(= = .x245一般地有，如果 可导，则)(g.)()()( xgfdtfdtfxxxgaa 上式可作为公式直接使用.例 5.2.4 求极限 .402sinlimxtx解 因为 ， ，所以这个极限是 型的未定式，li40x200sinit
23、dt 0利用洛必塔法则得= =402sinlixtdx3204silxx20silmx= = .20il1x15.2.2 微积分基本公式定理 5.3 如果函数 在区间 上连续，且 是 的任意一个原函数，)(xf,ba)(xFf那么.baFdf)()(证 由定理 5.2 知， 是 在区间 的一个原函数，则xadtfxf,ba与 相差一个常数 C，即)(xF.xFdtfxa)()(又因为 ，所以 .于是有t0 )(aF.)()(xtfxa所以 成立.bbFd为方便起见，通常把 简记为 或 ，所以公式可改写为)(abax)(baF)(12)()()( aFbxFdfaba 上述公式称为牛顿莱布尼兹（
24、Newton-Leibniz）公式，又称为微积分基本公式.定理 5.3 揭示了定积分与被积函数的原函数之间的内在联系，它把求定积分的问题转化为求原函数的问题.确切地说，要求连续函数 在 上的定积分，只需要求出)(xf,b在区间 上的一个原函数 ，然后计算 就可以了.)(xf,ba)(F)(aF例 5.2.5 计算 .dx102解 因为 ，所以C3= = = .dx1021033301例 5.2.6 求 .ex1解 = =dx11)(x1)ln(xe= = .l)ln(1e例 5.2.7 求 .dx312解 根据定积分性质 5.1.3，得=31 21322132 )()(| dxdxdx= =
25、= .321)()(x95例 5.2.8 求极限 .32lim43nn解 根据定积分定义,得 .41)(1li)1(li 0103433 xdninn牛顿与莱布尼兹牛顿（Newton，Isaac，16431727）英国物理学家，数学家，天文学家.经典物理学理论体系的建立者. 莱布尼兹（Gottfriend Wilhelm Leibniz,1646-1716）是 17、18 世纪之交德国最重要的数学13家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才.他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献.微积分创立的优先权，数学上曾掀起了一场激烈的争论.实际上，牛顿在微积分方面的研究虽
26、早于莱布尼兹，但莱布尼兹成果的发表则早于牛顿.莱布尼兹在 1684 年 10 月发表的教师学报上的论文， “一种求极大极小的奇妙类型的计算” ，在数学史上被认为是最早发表的微积分文献.牛顿在 1687 年出版的自然哲学的数学原理的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家 G、W 莱布尼兹的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法.他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外.” （但在第三版及以后再版时，这段话被删掉了.）因此，后
27、来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自独立地创建微积分的. 牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹.莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的.莱布尼兹认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一.因此，他发明了一套适用的符号系统，如，引入dx 表示 x 的微分， 表示积分，等等 .这些符号进一步促进了微积分学的发展.1713 年，莱布尼兹发表了微积分的历史和起源一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性. 你知道为什么称为牛顿-莱布尼兹公式了吧！ 习
28、题 5.21.求下列函数的导数：(1) (2)dtxF021)( dtxFa2sin)(3) (4)etx x2co2.求下列函数的极限：(1) (2)xtdx02coslim21)(limxdtt(3) (4)20artnlix 20)littx3.求函数 在区间 上的最大值和最小值.xdttF0)() 3,14.求由曲线 与直线 及 轴所围成的曲边梯形的面积.y22,0x5.求下列定积分的值：(1) (2)dx)1(21 dxx)(210(3) (4)20 2114(5) (6)dx0cos dxe205.3 定积分的积分法在第四章我们学习了用换元积分法和分部积分法求已知函数的原函数.把它
29、们稍微改动就是定积分的换元积分法和分部积分法.但最终的计算总是离不开牛顿-莱布尼兹公式.5.3.1 定积分的换元积分法定理 5.4 设函数 在区间 上连续，并且满足下列条件：)(xf,ba（1） ，且 ， ；tx)(（2） 在区间 上单调且有连续的导数 ；)(,)(t（3）当 从 变到 时， 从 单调地变到 .t)(tab则有 ba dttfdxf)()(上述公式称为定积分的换元积分公式.在应用该公式计算定积分时需要注意以下两点：从左到右应用公式，相当于不定积分的第二换元法.计算时，用 把原积分变)(tx量 换成新变量 ，积分限也必须由原来的积分限 和 相应地换为新变量 的积分限x)(tab和
30、 ，而不必代回原来的变量 ，这与不定积分的第二换元法是完全不同的.x从右到左应用公式，相当于不定积分的第一换元法（即凑微分法）.一般不用设出新的积分变量，这时，原积分的上、下限不需改变，只要求出被积函数的一个原函数，就可以直接应用牛顿莱布尼兹公式求出定积分的值.例 5.3.1 求 .dx301解 令 ，则 ， ，当 时， ，当 时，t12ttdx0x1t3x，2t15于是= =dx301tdt212dt21)(= =13t8例 5.3.2 求 .xdsinco203解法一设 ，则 ， 当 时， ；当 时， ，于是xtstsi01t2x0t= = = = .xdinco203 )(013tdt1
31、0304解法二= = = .xsic203 xcos203 204s1x解法一是变量替换法，上下限要改变；解法二是凑微分法，上下限不改变.例 5.3.3 求 .dex2ln01解 令 ，则 ， ，当 时， ；当t)ln(2tdtx210xt时， ，于是2lnxt= = =dxe2ln01dtt02t102t)(02= = .1arctn例 5.3.4 设 在区间 上连续，证明：)(xf,（1）如果 为奇函数，则 ；adxf0)(（2）如果 为偶函数，则 .)(xf aadxf0)(2这结论是定积分的性质 5.1.8，下面我们给出严格的证明.证 由定积分的可加性知，xfxdfxf aaa 00)
32、()()(对于定积分 ，作代换 ，得0at= = = ，)(xf0)(atfaf0)(adxf0)(16所以 aaadxfxfdxf00)()()(= （1）如果 为奇函数，即 ，则)(xf )()(xff，0)(ffx于是 .adx)(（2）如果 为偶函数，即 ，则f )(xff，2)()xx于是 .aadfdf0(2例 5.3.5 求下列定积分：（1） （2）x342sin dx224解 （1）因为被积函数 是奇函数，且积分区间 是对称区间，421sin)(xf3,所以= .dx3421sin0（2）被积函数 是偶函数，积分区间 是对称区间，所以22)(f2,= ，dx24 dx204令
33、，则 ， ，txsintcostcos当 时， ；当 时， ，于是02x= =d24 td02cosin16td2sin80= = = .t20)4( 20)4i(t2.分部积分法定理 5.5 设函数 和 在区间 上有连续的导数，则有)(xu)(v,ba17.)()()( xduvxuxdvbaba 上述公式称为定积分的分部积分公式.选取 的方式、方法与不定积分的分部积分法完全一样.例 5.3.6 求 .21lnxd解 = =21lx212)(l )(ln21lnxdx= = = .21lnd14l43l例 5.3.7 求 .0six解 = =0indxcos0cosxdx= = .0inx例
34、 5.3.8 求 .ex10解 令 ，则 ， ,当 时， ；当 时， .t2ttd0xt1xt于是= = =dxe10te1010t tet102= = = .2te此题先利用换元积分法，然后应用分部积分法.习题 5.31.求下列定积分的值：(1) (2)dxe1ln dx102(3) (4)x21 30(5) (6)6413xd dx1(7) (8)e20 10arctn18(9) (10)10)ln(edx xdecos202.求下列定积分：(1) (2)xx)cosi3(212 xx1243sin(3) (4)daxa2 d12i5.4 定积分的应用由于定积分的概念和理论是在解决实际问题
35、的过程中产生和发展起来的，因而它的应用非常广泛.问题 1 在机械制造中，某凸轮横截面的轮廓线是由极坐标方程 )cos1(ar确定的，要计算该凸轮的面积和体积.)0(a问题 2 修建一道梯形闸门，它的两条底边各长 6m 和 4m，高为 6m,较长的底边与水面平齐，要计算闸门一侧所受水的压力.为了解决这些问题，下面先介绍运用定积分解决实际问题的常用方法微元法，然后讨论定积分在几何和物理上的一些简单应用.读者通过这部分内容的学习，不仅要掌握一些具体应用的计算公式，而且还要学会用定积分解决实际问题的思想方法.5.4.1 定积分应用的微元法为了说明定积分的微元法，我们先回顾求曲边梯形面积 A 的方法和步
36、骤：(1)将区间 分成 个小区间，相应得到 个小曲边梯形，小曲边梯形的面积记为,bann；iA)2,1(2)计算 的近似值，即 （其中 ） ；i iiixfA)( ,11iiiiii xx(3)求和得 的近似值，即 ；ini1(4)对和取极限得 .baii dxfxf)()(lm0下面对上述四个步骤进行具体分析：第(1)步指明了所求量（面积 ）具有的特性：即 在区间 上具有可分割性和可AA,ba加性.第(2)步是关键，这一步确定的 是被积表达式 的雏形.这可以iiixf)(dxf)(从以下过程来理解：由于分割的任意性，在实际应用中，为了简便起见，对o a b xdxy )(xf图 5.719省
37、略下标，得 ，用 表示 内的任一小区间，iiixfA)(xfA)(,dx,ba并取小区间的左端点 为 ，则 的近似值就是以 为底，为高的小矩形的面积（如图 5.7f阴影部分） ，即.dxfA)(通常称 为面积元素，记为xf)(. xf)(将(3),(4)两步合并，即将这些面积元素在 上“无限累加” ，就得到面积 .即,baA.badxfA)(一般说来，用定积分解决实际问题时，通常按以下步骤来进行：（1）确定积分变量 ，并求出相应的积分区间 ；,（2）在区间 上任取一个小区间 ，并在小区间上找出所求量 的微元,dxF；dxfF)(（3）写出所求量 的积分表达式 ，然后计算它的值.Fbaf)(利用
38、定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法.注 能够用微元法求出结果的量 一般应满足以下两个条件： 是与变量 的变化范围 有关的量；x, 对于 具有可加性，即如果把区间 分成若干个部分区间，则 相应地,ba,bF分成若干个分量.5.4.2 定积分求平面图形的面积1.直角坐标系下面积的计算(1)由曲线 和直线 所)(xfy0,ybxa围成曲边梯形的面积的求法前面已经介绍，此处不再叙述.(2)求由两条曲线 ，)(),(xgyf及直线 所围成平面的面积)(xgfba（如图 5.8 所示）.A下面用微元法求面积 .A取 为积分变量， .x,x在区间 上任取一小区间 ，该区间上小曲边梯形的面积
39、 可以用高,badxdA，底边为 的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素)(gfd.gfA)(写出积分表达式，即)(xfy)(xgyya o b xd图 5.820.badxgfA)(求由两条曲线 ， 及直线 所围成平),(yx)ydyc,面图形（如图 5.9）的面积.这里取 为积分变量， ，y,dc用类似 (2)的方法可以推出：.dcyA)(例 5.4.1 求由曲线 与2x2x所围图形的面积.解 先画出所围的图形（如图 5.10）由方程组 ，得两条曲线的交点为2xy，取 为积分变量， .由公式得)1,(0,AO1,0x.d)2(1021032x例 5.4.2 求曲线 与 所围图形的面积.xy
40、24解 画出所围的图形（如图 5.11）.由方程组 得两条曲线的交点坐标为 ，取 为积分变量，42xy )4,8(2,BAy.将两曲线方程分别改写为 得所求面积为,1yx及dyA422)(.423618o x)(y)(yyd y+dyyc图 5.9o 1 2 xy 2x2A (1,1)图 5.10o 2 8 xA(2,-2) y2y4-2 B(8,4) 4xy图 5.1121注 本题若以 为积分变量，由于图形在 两个区间上的构成情况不同，因x 8,2,0和此需要分成两部分来计算，其结果应为： 8220 )4(dxxdxA.82303141显然，对于例 5.4.2 选取 作为积分变量，不如选取
41、作为积分变量计算简便.可见适xy当选取积分变量，可使计算简化.例 5.4.3 求曲线 在区间 上所围平面图形的面积.ysinco与 ,0解 如图 5.12 所示，曲线 的交点坐标为 ，选取 作为xi与 )2,4(x积分变量， ，于是，所求面积为,0x dxdxA440 )cos(in)sin(co.40)i()(ix 22.极坐标系下面积的计算设曲边扇形由极坐标方程 与射线 所围成（如图 5.13)()(,所示）.下面用微元法求它的面积 A.以极角 为积分变量，它的变化区间是 ，相应的小曲边扇形的面积近似等于半,径为 ，中心角为 的圆扇形的面积，从而得面积微元为)(d ddA2)(1于是，所求
42、曲边扇形的面积为 .A2)(10 x4y sinycos图 5.1222例 5.4.4 计算心形线 所围图形的面积（如图 5.14）.)0(cos1(a解 此图形对称于极轴，因此所求图形的面积 是极轴上方部分图形面积 的两倍.A1A对于极轴上方部分图形，取 为积分变量，由上述公式得：,0daA2021 )cos1(2a0(2 )2cs3.0in41si23a这个结果就是本节前面问题 1 提到的凸轮横截面的面积，如果知道凸轮的厚度，可进一步求出它的体积，这里不再赘述.3定积分求体积(1)旋转体的体积旋转体是一个平面图形绕这平面内的一条直线旋转而成的立体.这条直线叫做旋转轴.设旋转体是由连续曲线
43、和直线 及 轴所围成的曲边)0()xfy bxa,梯形绕 轴旋转一周而成（如图 5.15）.x取 为积分变量，它的变化区间为 ，在 上任取一小区间 ，相应,ba, ,dx薄片的体积近似于以 为底面圆半径， 为高的小圆柱体的体积，从而得到体积元素)(xfdx为，于是，所求旋转体体积为dfdV2)(.fVbax2)(O 2a x1A)cos(a图 5.14o a x x+dx b xy )(xf图 5.15o x)(yxydy+dyyy图 5.16cd)(xo图 5.1323类似地，由曲线 和直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一)(yxdyc, y周而成（如图 5.16） ，所得旋转体的体积为
44、 .Vdcy2)(例 5.4.5 求由椭圆 绕 轴及 轴旋转而成的椭球体的体积.12baxxy解 (1)绕 轴旋转的椭球体如图 5.17 所示,它可看作上半椭圆 与2xaby轴围成的平面图形绕 轴旋转而成.取 为积分变量, ,由公式所求椭球体的体xxxax积为 dabVx 2xa022)(aab032.34(2)绕 轴旋转的椭球体,可看作右半椭圆 与 轴围成的平面图形绕y 2ybax轴旋转而成（如图 5.18 所示）,取 为积分变量, ,由公式所求椭球体体积y为 dbaVy2yb)(202bba032.234o xy 2yba图 5.18b-b24当 时,上述结果为 ,这就是大家所熟悉的球体的体积公式.Rba34RV(2)平行截面面积为已知的立体体积设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可用定积分求其体积.不妨设直线为 轴，则在 处的截面面积 是 的已知连续函数，求该物体介于x)(xA和 之间的体积（如图 5.19）.ax)(b取 为积分变量，它的变化区间为 ，在微小区间 上 近似不变，,ba,dx)(A即把 上的立体薄片
