1、2011 高中数学联赛模拟试题第一试一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）1.定义在 上的函数 满足 且 则使得 R()fx()()1(,),fyfxyxyR(1.f的整数 的个数是 .()fn2.已知向量 满足： 和 都是正整数，且,abb则 ()3,()(3)105.aAA与 的夹角为 .ab3.已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 为坐标原点，设 为双曲线上任一点，2184xy1F2,OP则 的最大值为 .12PFO4.在长方体 中， 为棱 上一点，且 1ABCD15,ABDMAB在底面正方形 内随机取一点 ，并设点 到直线 距离为 ，320.MCP1D1d，则所取点 满足 的概率为
2、.PdP21d5.设 是非直角三角形，且有 其中，ABCtanttantant,ABABC表示不超过实数 的最大整数，则满足条件的 的最小内角的弧度数为 .xxC6.在平面直角坐标系中，已知点集设点集(,)02,(,)4,102.PyyQxyxy则点集 所形成图形的面11212,(),xMPQ M积为 .7.设有红、黑、白三种不同颜色的球各 10 个，现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色的球都有，且两个袋子里三种颜色球的个数之积相等，则这样的放法共有种 .8.一个四面体的六条棱长均为整数，且它们的和为 2011，则这样的四面体的最大棱长与最小棱长之差的最大可能值为 .二、解
3、答题（共 56 分）9.（本题满分 16 分）在 方格表的每个方格中都写有一个正数，使得每一列中的两个数的2n和都等于 1，证明：可以从每一列中删去一个数，使得每一行中剩下的数的和不超过 1.4n10.（本题满分 20 分）设动圆 过点 且与圆 相切.P(1,0)A2:70Cxy(I)求动圆圆心 的轨迹 的方程(II)设点 在曲线 上,求证:直线 有唯一的公共点(,)Qmn:0lmn(III)设(II)中的直线 与圆 交于 、 两点,求证:满足 的点 必在圆lCEFAMEF上.C11.(本题满分 20 分)已知函数 的图象如图 1 所示,直线32()yfxbcxd且直线 与函数 的图象切于点
4、、交于点 .设点 的横坐标依/,BDACBCA,BCD次为 ,求证: .Dx(:():ABD第二试一、(本大题满分 40 分)如图 2,在 中, 、 分别是边 延长线上的点, 是线ABC1ABC1D段 上一点,直线 与 的外接圆交于点 求证: 充1BC1D.D112A要条件是 为线段 的中点.二、(本小题满分 40 分)设 均为集合 的三元,(1,2)iiiSxyzn 1,23,0T子集,求正整数 的最大值,使得n（I） 201(,);iixyzn（II） .jSijij三、(本大题满分 50 分)已知数列 满足 求证：na211,().2nnaaN（I） 6(3;5na（II） 1).2 四
5、、 （本小题满分 50 分）求整数 使得方程 的正整数解 的组数最多，并求相,p32xyp(,)xy应的正整数解 .(,)xy参考答案第一试一、填空题1.2.令 得 再令 ，得0,1xy(),f1y()(2.fxfx当 时，nN1(3)()00)1.n nk knfk同理， 所以()3().2f(3)(.2Z令 解得 或,n12 因为 且.3()()05175,abA3;所以 解得7,15ab4.ab又 223()3343cos,abAA所以 故cos,.a3. 根据对称性，不妨设 则6. 0(,),Pxy102066,2,2PFxPFx1206.PF又2200 03(4),Oxyx12202
6、06.3x当 时， 的最大值为0;x;12.PFO6.4. 如图 3，过点 作 垂足为 过点 作 交 于点 ，则2.75P,NAD,NQAD1Q，故1PQAD1.dQ从而 22221.MP由 得1d.故点 的轨迹是正方形 内以 为焦点， 为准线的抛物线与 所围成的区域，PABCDMAD,ABC在平面 上，以 的中点 为原点，直线 为 轴建立直角坐标系，由题设知抛物线OBx方程为 则该区域的面积2(04),yx4032.Sd又正方形 的面积 25.S故所求概率 37P5. 因为 所以 从而.4tantanta,ABCABtnatnatn,ABCABC均为整数，且其中至少有两个是正整数，不妨设 是
7、正整数，则t, ,由 知 也是正整数tt()1Cttananan.A不妨设 tt.AB若 则 这与矛盾，故2,4t3tatntatn,CABC即 的最小内角为t1.6.7.如图 4，点集 为正方形 区域，点集 为 区域POAQRtDEF线段 的中点为 的中点为 的中点为OD(3,1)GE(6,1)HB的中点为 的中点为 所以，点集 形成的(6,)ICF54LD32.KM图形为五边形 区域，其面积为HIK7.GDSS矩 形 梯 形 KIL7.25.设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为 则 且,xyz1,9,xyz(10)(10),xyzyz即 55().xxyz所以 于是 中必有一个为 5.,
8、不妨设 代入得 此时 有 9 组解.z,同理，当 或 时，也各有 9 组解y但满足 的解重复 2 个x故满足要求的放法共有 （种）358.668.该六条棱长分别为 其中最大棱长为 ，最小棱长为,abcdefa.c当 与 不共面时，如图 5，得 则 故a.ca1,bef所以 即2(1)2,bef3209c故 于是 此时3()2094,68.c68.易知不存在满足题意的 故 的最大值为 667.事实6,1.ac,bdef上，当 时，符合题意,35bdef当 与 共面时，如图 6，由 得 又 故 于是ca1.c,ab1.efab而 所以 则20 .cf d,c69,3故 的最大值为 668.事实上，
9、168,3acbac当 时，符合题意92,68def综上所述， 的最大可能值为 668.二、解答题9.设第一行中所放的数依次为 必要时可通过交换列的位置，便得12,na此时，第二行中所放的数依次为12.naa 12,1,1,nnbaba如果 ，那么可以找到使得 成立的最小正整数 ，4 4n k此时在第一行中删去 ，在第二行中删去 由 的取法知1,kna 121,.k下面只须证明 即可121.a knbb由 得ka 12.4k k所以 12 1()()()55() .44kn kbnan A综上所述，命题得证10.（I）因为点 在圆 ： 内，所以动圆 与圆 相内切，故AC2(1)8xyPC2.P
10、由椭圆的定义知，动圆圆心 的轨迹 是以 为焦点，长轴长为 的椭圆，P(1,0)(,A2其方程为 21.xy（II）由点 在曲线 上，得(,)Qmn2.mn又由 得20;1.xy222()0x即 2()40.m直线 与曲线 有唯一的公共点l（III）由 得2;7.xny222(4)()840.xn设 则12,ExyF21()(1).m从而 12124()4.mxny;AMEF 122(,).CMAOAEFOxy故 222 2116(1)()()8().nCxym即点 在圆 上11.设三次函数在点 的展开式为 ,B 3211()()(.BBByxbxcxf则 ，即2113()()yxbxc1.Bc
11、切线 的方程为 D)yf由得 或 ，则B ,D同理 2.AC/,()().Cfxf又 11()3BBfxbc2 1().C Bxfxc21()0.Cx1,3BBx同理 2.Cb12.b2121;3ABCBxxb13BCx()()DBDBx11().故 :2.ACx第二试一、设 外接圆半径为,BADaCAB.R在圆内接四边形 中，由托勒密定理，得 .2sin,2sin2sin();CR(),又 1111i,iDAAsinsnsin().BDCB又 1()i;11sis11.ABCABDABC若 ，则由得1D12.D若 ，代入得2.1112();A即 ()()0.A由题设知 不恒为 0BC即 为线
12、段 的中点11,1B综上所述， 的充要条件是 为线段 的中点12DA1D1BC二、首先，由（I）得 1().niinixyz其次，由于 是集合 中互不相同的 个元素，因此，这12212,;,;,nnxz T3n个元素和的最大值为3n960309(03).所以 261,n解得 即,9n.最后，说明 可以取到 220，事实上，当 时， 于是，我n20n2960310.nn们可以将集合 中较大的 660 个元素中的最小一个 341 减去 110，得 231，即用T1000，999，998，343，342 以及 231 共 660 个数来构造如下的 220 个三元子集：当 时，10i10,45,;iSiii当 时，29671302且 0,783.S容易验证，如上构造的 220 个三元子集符合题意综上可知， 的最大值为n20.三、 （I）用数学归纳法易证 ().kaN21();kkaaN 2211.kkkka由知，当 时，有21.1ka22()();nnkk即 1.na251.6n即 16(),5n故 3.a（II）显然 12na由得 211.kkk易证 24().31().1kak4().3nnkkk即 1414();33na亦即 则2,1().2na
