第五节 任意项级数及其审敛法,一 交错级数及其审敛法,二 绝对收敛与条件收敛,1.定义 正、负项交错出现的级数称为交错级数。,2.定理1(莱布尼茨定理) 如果交错级数满足条件:,则级数收敛,且其和 ,其余项 的绝对值,一、交错级数及其审敛法,证明：,数列 是单调增加的。,数列 是有界函数。,满足收敛的两个条件,定理证毕。,级数收敛于和 ,且,余项,解：,例1 讨论交错级数 的敛散性。,且,收敛,且其和为,用 替代 ,误差,类似得 ， 均收敛。,例2 讨论级数 的敛散性,又,解:,即,收敛。,例3 讨论级数 的敛散性。,解：,又,故函数 单减，从而,所以原级数收敛。,注意,1.满足莱布尼兹定理条件的级数称为莱布尼兹型级数。如:,均为莱布尼兹型级数。,2.莱布尼兹定理的两个条件仅是充分条件,但 也是必要条件。,1.定义1 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数,2.定理2 若 收敛,则 收敛。,二、绝对收敛与条件收敛,注: 定理2主要用来联系任意项级数和正项级 数,并进行前者敛散性的判别。,证明：,例4 判别下列级数是否收敛,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?,解:,在例3中已证明了 收敛，,发散,从而原级数条件收敛。,从而原级数发散。,
