1、金太阳新课标资源网 ,北师大版高中数学选修2-2第三章导数应用,导数与函数的极值,一、教学目标：1、知识与技能：理解函数极值的概念；会求给定函数在某区间上的极值。2、过程与方法：通过具体实例的分析，会对函数的极大值与极小值。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教学重点：函数极值的判定方法 教学难点：函数极值的判定方法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程,一、复习:,利用函数的导数来研究函数的单调性其基本的步骤为:,求函数的定义域;,求函数的导数 ;,解不等式 0得f(x)的单调递增区间;解不等式 0得f(x)的单调递减区间.,在上节课中,我
2、们是利用函数的导数来研究函数的单调性的.,下面我们利用函数的导数来研究函数的极 值问题.,二、新课探析1函数的极值:,一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.极大值与极小值统称极值.,请注意以下几点:,(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是说极值与最值是两个不同的概念.,(2)函数的极值不
3、是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.,(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值,如f(x4)f(x1).,(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.,求可导函数f(x)的极值,一般地,当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:,(1):如果在x0附近的左侧 右侧 那么, f(x0)是极大值;,(2):如果在x0附近的左侧 右侧 那么, f(x0)是极小值.,要注意以下两点:,(2)不可导点也可能是极值点.例如函数
4、y=|x|,它在点x=0处不可导,但x=0是函数的极小值点.,(1)可导函数的极值点一定是导数为零的点,导数为零的点,不一定是该函数的极值点.,例如,函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点,例1:求y=x3/3 4x+4的极值.,解:,令 ,解得x1=-2,x2=2.,当x变化时, ,y的变化情况如下表:,因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3.,总结:求可导函数f(x)的极值的步骤如下:,(2).求导数,(3).求方程 的根.,(4)检查 在方程根左右的值的符号,如果左正右负, 那么f(x)在这个根处取得极大值
5、;,(1)求函数的定义域,例、,0,0,0,-,-,+,+,减,减,增,增,1,0,1,导数为零的点不一定是极值点！,x=-1, x=0,x=1;,当x=0是函数极小值点y=0.,练习:求函数 的极值.,解:函数的定义域为,令 ,解得x1=-a,x2=a(a0).,当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:,故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.,说明:本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明极值与最值是完全不同的两个概念.,练习:求函数 的极值.,解:,令 =0,解得x1=-1,x2=1.,当x变化时, ,y的变化情况如下表:,因此,
6、当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3; 而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=- 3.,1.用导数来确定函数的极值步骤：,（1）先求函数的导数 f / (x)；,（2）再求方程 f /(x) = 0 的根；,（3）列出导函数值符号变化规律表；,（4）利用从+ 、0、- 判断函数极大值；利用从- 、0、+ 判断函数极小值；,极大值,极小值,四、本课总结:,2.函数的极值注意事项：,(4)函数的不可导点也可能是极值点;,(5)可导函数的极值点一定是使导函数为0的点;,(2)函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,在函数的整个定义域可能有多个极大值或极小值, 不唯一!,(3) 极大值不一定比极小值大!,(1) 导数为零的点不一定是极值点！,课后作业：课本P62 练习题（1）、（2） 课本习题3-1中 A组3,五、教后反思：,
