1、1,第七章 刚体的简单运动,理论力学,2,由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺寸大小,又由于刚体是几何形状不变体,所以研究它在空间的位置就不必一个点一个点地确定,只要根据刚体的各种运动形式,确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。,7-1 刚体的平行移动(平移),刚体是由无数的点构成的。本章将研究刚体的两种简单的运动 平移和定轴转动。这是工程中最常见的运动，也是研究刚体复杂运动的基础。,3,4,1.刚体平移的定义:刚体在运动中,其上任意两点的连线始终与它的初始位置平行，这种运动称为平行移动，简称平移。,如图所示，由刚体平移的定义，,2.刚体平移的特点:,5,由于点A和点B
2、是刚体上的任意两点，因此可以得出如下结论,平移刚体在任一瞬时速度,加速度都一样，各点的运动轨迹形状相同。即:平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。,6,荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长为长l，度单位为m。当荡木摆动时钢索的摆动规律为 ，其中 t 为时间，单位为s；转角0的单位为rad，试求当t=0和t=2 s时，荡木的中点M的速度和加速度。,例 题 7- 1,M,7,M,由于两条钢索O1A和O2B的长度相等，并且相互平行，于是荡木AB在运动中始终平行于直线O1O2，故荡木作平移。,为求中点M 的速度和加速度，只需求出A点（或B点）的速度和加速度即可。点A在圆弧上运动，圆弧的半径为
3、l。如以最低点O为起点，规定弧坐标s向右为正，则A点的运动方程为,将上式对时间求导，得A点的速度,解：,例 题 7- 1,A,8,M,再求一次导，得A点的切向加速度,代入t = 0和t = 2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点M在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：,A点的法向加速度,例 题 7- 1,9,7-2 刚体绕定轴的转动,1.刚体定轴转动的特征及其简化特点:刚体在运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动， 这种运动称为刚体绕定轴的转动。该两点的连线称为刚体的转轴。,10,2.定轴转动刚体的转动方程如图所示转角,是固定面A与固连在转动刚体上的动平面B的夹角。 确定了刚体的
4、位置，它的符号规定如下：从z 轴正向看去,逆时针为正 ，顺时针为负。因而刚体绕定轴转动的运动方程为, = f (t) 单位用弧度(rad),11,3. 定轴转动刚体的角速度和角加速度 角速度：,工程中常用单位还有 n 转/分(r / min),n与w 的关系为:,角速度也为代数量。其正负号这样来确定，从 z 轴的正端向负瑞看，刚体逆时针转动为正，顺时针转动为负。单位用rad/s(弧度/秒）。,12,角加速度:,如果与 同号，则为加速转动, 反之则为减速转动,（1）匀速转动当 =常数,为匀速转动时。有,单位: rad/s2,下面讨论两种特殊情况。, = 0+ t,这里 0是 t = 0 时转角
5、的值。,13,(2) 匀变速转动 当 =常数,为匀变速转动时。有,这里 0和 0是t = 0 时转角和角速度。,14,7-3 转动刚体内各点的速度和加速度,当刚体作定轴转动时，刚体内每一点都作圆周运动，圆心在转轴上，圆心所在平面与转轴垂直，半径R等于该点到轴线的距离。 用自然法， 点在 D t时间内，走过的弧长为,Ds=D R,速度,15,切向加速度为,法向加速度为,全加速度大小为,方向为,16,结论: （1）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到转轴的距离成正比。（2）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度 a 的方向与半径间的夹角 都相同。,速度分布图,加速度
6、分布图,17,滑轮的半径r=0.2 m，可绕水平轴O转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体A（如图），已知滑轮绕轴O的转动规律j=0.15t3 ，其中t以s计，j 以rad计，试求t=2 s时轮缘上M点和物体A的速度和加速度。,A,O,M,例 题 7-2,18,首先根据滑轮的转动规律，求得它的角速度和角加速度,代入 t =2 s， 得,轮缘上 M 点上在 t =2 s 时的速度为,A,O,M,解：,例 题 7-2,19,A,O,M,加速度的两个分量,总加速度 aM 的大小和方向,例 题 7-2,20,因为物体A与轮缘上M点的运动不同，前者作直线平移，而后者随滑轮作圆周运动，因此，两者
7、的速度和加速度都不完全相同。由于细绳不能伸长，物体A与M点的速度大小相等，A的加速度与M点切向加速度的大小也相等，于是有,它们的方向铅直向下。,O,例 题 7-2,21,s,B,A,O,M,v,R,半径R=20 cm的滑轮可绕水平轴O转动，轮缘上绕有不能伸长的细绳，绳的另一端与滑轮固连，另一端则系有物块A，设物块A从位置B出发，以匀加速度a =4.9 ms2向下降落，初速v0=4 ms1，求当物块落下距离s =2 m时轮缘上一点 M 的速度和加速度。,例 题 7-3,22,根据 v2 v02 = 2as，得M点的速度,M点的法向加速度,M点的切向加速度,M点的总加速度,解:,s,B,A,O,M
8、,v,R,例 题 7-3,23,减速箱由四个齿轮构成，如图所示。齿轮和安装在同一轴上，与轴一起转动。各齿轮的齿数分别为z1=36，z2=112 ，z3=32和z4=128 ，如主动轴的转速n1=1 450 rmin1，试求从动轮的转速n4。,例 题 7-4,24,解：用n1， n2 ， n3和n4分别表示各齿轮的转速，且有,应用齿轮的传动比公式，得,将两式相乘，得,因为n2= n3，于是从动轮到齿轮的传动比为,由图可见，从动轮和主动轮的转向相同。,最后，求得从动轮的转速为,例 题 7-4,25,7-4 以矢量表示角速度和角加速度以矢积表示点的速度和加速度,角速度和角加速度可以用的矢量表示。角速
9、度矢 的大小,如取转轴为 z 轴，它的正方向的单位矢量用 k 表示，则角速度矢可表示为,其中,26,同样，角加速度也可以用一个矢量表示，它是角速度矢的导数,角速度矢和角加速度矢均为沿转轴自由滑动的矢量。也可以用右手螺旋规则确定其指向。,27,刚体内任一点的线速度和线加速度也可以用矢积表示。如在转轴上任取一点O 为原点，点M 的矢径以r 表示，则点M的速度可以表示为,方向正好与点M 的速度方向一致。,大小,由此也可以得出,28,加速度也可以用矢量积表示为,不难证明,于是得,29,刚体以角速度绕定轴Oz转动，其上固连有动坐标系Oxyz（如图），试求由O点画出的动系轴向单位矢i，j，k 端点A，B，C的速度。,A,例 题 7-5,A,30,先求端点 A 的速度。设 A 点的矢径为rA ，则A点的速度为,A点是定轴转动刚体内的一点，由式有,可见,，但这里有,故,解：,例 题 7-5,A,31,，,同理可得 vB 和 vC 的矢量表达式。,于是得到一组公式,它称为 泊松公式。,例 题 7-5,A,32,第七章结束,思考 : 对于定轴转动刚体上的任意矢量r,关系式,是否仍成立?,
