1、12 0 1 9 届 广 州 市 高 三 年 级 调 研 测 试理 科 数 学 试 题 参 考 答 案 及 评 分 标 准评 分 说 明 :1 本 解 答 给 出 了 一 种 或 几 种 解 法 供 参 考 ， 如 果 考 生 的 解 法 与 本 解 答 不 同 ， 可 根 据 试 题的 主 要 考 查 内 容 比 照 评 分 参 考 制 订 相 应 的 评 分 细 则 2 对 计 算 题 ， 当 考 生 的 解 答 在 某 一 步 出 现 错 误 时 ， 如 果 后 继 部 分 的 解 答 未 改 变 该 题 的内 容 和 难 度 ， 可 视 影 响 的 程 度 决 定 后 继 部 分 的
2、给 分 ， 但 不 得 超 过 该 部 分 正 确 解 答 应 得 分 数 的一 半 ； 如 果 后 继 部 分 的 解 答 有 较 严 重 的 错 误 ， 就 不 再 给 分 3 解 答 右 端 所 注 分 数 ， 表 示 考 生 正 确 做 到 这 一 步 应 得 的 累 加 分 数 4 只 给 整 数 分 数 选 择 题 不 给 中 间 分 一 、 选 择 题 ： 本 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 二 、 填 空 题 ： 本 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 13 1 14 16 15 116 16 2 327三 、 解 答
3、题 ： 共 70 分 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 解 ： (1) 由 BAACB sinsinsincoscos 222 ，得 BAABC sinsinsinsinsin 222 2分由 正 弦 定 理 ， 得 ababc 222 ， 即 abcba 222 ， 3分所 以 2122cos 222 ababab cbaC 5分因 为 0 C ， 所 以 23C 6分(2) 因 为 6A ， 所 以 6B 7分所 以 ABC 为 等 腰 三 角 形 ， 且 顶 角 23C 因 为 3443sin21 2 aCabS ABC ， 8分题 号 1
4、 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答 案 A C C D B D B B A D B A2所 以 4a 9分在 MAC 中 ， 24, 2, 3AC CM C ，所 以 2 2 2 12 cos 16 4 2 2 4 282AM AC CM AC CM C 11分解 得 72AM 12分18 解 ： （ 1） 根 据 图 1可 知 ， 设 备 改 造 前 样 本 的 频 数 分 布 表 如 下质 量 指 标 值 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 40,45)频 数 4 16 40 12 18 104 17.5 16 22.5 40 27.5
5、12 32.5 18 37.5 10 42.5 100 2.5 4 15 16 20 40 25 12 30 18 35 10 40 3020 1分样 本 的 质 量 指 标 平 均 值 为 3020 30.2100 2分根 据 样 本 质 量 指 标 平 均 值 估 计 总 体 质 量 指 标 平 均 值 为 30.2 3分（ 2） 根 据 样 本 频 率 分 布 估 计 总 体 分 布 ， 样 本 中 一 、 二 、 三 等 品 的 频 率 分 别 为 12 ， 13， 16，故 从 所 有 产 品 中 随 机 抽 一 件 ， 是 一 、 二 、 三 等 品 的 概 率 分 别 为 12，
6、 13， 16 4分随 机 变 量 X 的 取 值 为 ： 240， 300， 360， 420， 480 5分1 1 1( 240) 6 6 36P X ， 12 1 1 1( 300) 3 6 9P X C ，12 1 1 1 1 5( 360) 2 6 3 3 18P X C ， 12 1 1 1( 420) 2 3 3P X C ，1 1 1( 480) 2 2 4P X ， 10分所 以 随 机 变 量 X 的 分 布 列 为 ：11分X 240 300 360 420 480P 136 19 518 13 143所 以 1 1 5 1 1( ) 240 300 360 420 48
7、0 40036 9 18 3 4E X 12分19 解 ： （ 1） 因 为 四 边 形 ABCD为 矩 形 ，所 以 BC AD .因 为 AD 平 面 ADE ， BC 平 面 ADE ，所 以 BC 平 面 ADE 1分同 理 CF 平 面 ADE 2分又 因 为 BC CF C ， 所 以 平 面 BCF 平 面 ADE 3分因 为 BF 平 面 BCF ， 所 以 BF 平 面 ADE 4分（ 2） 法 一 ：因 为 ,CD AD CD DE ，所 以 ADE 是 二 面 角 A CD F 的 平 面 角 ， 即 60ADE 5分因 为 AD DE D ， 所 以 CD 平 面 AD
8、E .因 为 CD平 面 CDEF ,所 以 平 面 CDEF 平 面 ADE .作 AO DE 于 点 O， 则 AO 平 面 CDEF . 6分由 2, 3AD DE , 得 1DO ， 2EO 以 O为 原 点 ， 平 行 于 DC 的 直 线 为 x轴 ， DE 所 在 直 线 为 y 轴 ， OA所 在 直 线 为 z轴 ，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 O xyz ， 则 0,0, 3 , 3, 1,0 , 0, 1,0 , (0,2,0), (3,5,0)A C D E F ， 3,0, 3OB OA AB OA DC ， 7分设 3 0G t， ， ，
9、1 5t ，则 3 2 3BE ， ， ， 0 3BG t ， ，设 平 面 BEG的 法 向 量 为 x y z ， ，m ，则 由 0,0,m BEm BG 得 3 2 3 0,3 0,x y zty z ， 取 2 ,3,3,x tyz t 得 平 面 BEG的 一 个 法 向 量 为 2 ,3, 3t t m ， 8分4又 平 面 DEG的 一 个 法 向 量 为 (0,0,1)n ， 9分所 以 2 34 4 13cos tt t ， m nm n m n ， 10分所 以 2 3 144 4 13tt t = ，解 得 12t 或 1322t （ 舍 去 ） ， 11分此 时 14
10、CGCF ， 得 1 34 2CG CF .即 所 求 线 段 CF 上 的 点 G 满 足 32CG 12分法 二 ： 作 BO CF 于 点 O， 作 OH EG 的 延 长 线 于 点 H ， 连 结 BH 因 为 , ,CD BC CD CF BC CF C ，所 以 CD 平 面 BCF ， 5分BCF 为 二 面 角 A CD F 的 平 面 角 ， 60BCF 6分所 以 CD BO 因 为 CD CF C ，所 以 BO 平 面 CDF ， BO EH 7分因 为 ,OH EH OH BO O ，所 以 EH 平 面 BOH 8分所 以 EH BH ， BHO 为 二 面 角
11、B EG D 的 平 面 角 9分在 Rt BCO 中 ， 2, 60BC BCO ，所 以 3, 1BO CO 又 因 为 1cos 4BHO ， 所 以 tan 15BOBHO OH ， 55OH 10分作 EM CF 于 M ， 则 OGH EGM ， 3, 3EM CD CM DE ，设 OG x ， 则 OH EMOG EG ， 即 25 35 9 2x x ， 11分解 得 12x ， 即 所 求 线 段 CF 上 的 点 G 满 足 32CG 12分520 解 ： （ 1） 依 题 意 有 2 2 22 21,2 ,3 3 1,4caa b ca b 解 得 2,3,1.abc
12、3分故 椭 圆 C的 方 程 为 2 2 14 3x y 4分（ 2） 设 1 1 2 2( , ), ,A x y B x y ， 设 1F AB 的 内 切 圆 半 径 为 r ，1F AB 的 周 长 为 1 2 1 2 4 8AF AF BF BF a ，所 以1 1 4 42F ABS a r r 5分解 法 一 ：根 据 题 意 知 ， 直 线 l的 斜 率 不 为 零 ， 可 设 直 线 l的 方 程 为 1x my ， 6分由 2 2 14 3 1x yx my ， 得 2 2(3 4) 6 9 0m y my 7分 2 2(6 ) 36 3 4 0m m ， m R ，由 韦
13、 达 定 理 得 1 2 1 22 26 9,3 4 3 4my y y ym m ， 8分 1 221 2 1 2 1 2 1 2 1 2 21 12 142 3 4F AB mS FF y y y y y y y y m ， 10分令 2 1t m ， 则 1t ， 1 212 413 1 3F AB tS t t t 令 1( ) 3f t t t ， 则 当 1t 时 ， 21( ) 1 03f t t ， ( )f t 单 调 递 增 ，4( ) (1) 3f t f ， 1 3F ABS ， 11分即 当 1, 0t m 时 ，1F ABS 的 最 大 值 为 3， 此 时 max
14、 34r 故 当 直 线 l的 方 程 为 1x 时 ， 1F AB 内 切 圆 半 径 的 最 大 值 为 34 12分解 法 二 ：6当 直 线 l x 轴 时 ， 3 31, , 1, ,2 2A B 1 1 21 32F ABS FF AB 6分当 直 线 l 不 垂 直 于 x 轴 时 ， 设 直 线 l的 方 程 为 ( 1)y k x ，由 2 2 14 3( 1)x yy k x ， 得 2 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x k x k .7分 2 2 2 2 2(8 ) 4 4 3 4 12 144 1 0k k k k ，由 韦 达 定 理 得 2 21 2 1
15、 22 28 4 12,4 3 4 3k kx x x xk k ， 8分1 1 2 1 2 1 2 1 21 ( )2F ABS FF y y y y k x x 2 222 1 2 1 2 2216 9 ( 1)4 4 3k kk x x x x k .10分令 24 3t k ， 则 3t ， 1 10 3t , 1 2 23 116 9 9 3 14 4F AB t t t tS t t 22 39 1 t t 21 127 123t 2127 12 33 .综 上 ， 当 直 线 l的 方 程 为 1x 时 ， 1F ABS 的 最 大 值 为 3， 1F AB 内 切 圆 半 径
16、的 最 大 值 为 34 12分21 解 ： (1) f x 的 定 义 域 为 0, ， 23 3( 2) 12 2( ) 1 x axxf x a x x x .1分(i)当 0a 时 ， 2 1 0ax 恒 成 立 ， 0,2x 时 ， ( ) 0f x ， f x 在 0,2 上 单 调 递 增 ； 2,x 时 ， ( ) 0f x ， f x 在 2, 上 单 调 递 减 ； 2分7(ii) 当 0a 时 ， 由 ( ) 0f x 得 ， 1 2 31 12, ,x x xa a （ 舍 去 ） ， 当 1 2x x ， 即 14a 时 ， ( ) 0f x 恒 成 立 ， f x
17、在 (0, ) 上 单 调 递 增 ； 3分 当 1 2x x ， 即 14a 时 ，10,x a 或 2,x 时 ， ( ) 0f x 恒 成 立 ， f x 在 10, a ， 2, 单 调递 增 ； 1 ,2x a 时 ， ( ) 0f x 恒 成 立 ， f x 在 1 ,2a 上 单 调 递 减 ； 4分 当 1 2x x 即 10 4a 时 ，1 ,x a 或 0,2x 时 ， ( ) 0f x 恒 成 立 ， f x 在 1(0,2), ,a 单 调 递增 ； 12,x a 时 ， ( ) 0f x 恒 成 立 ， f x 在 12, a 上 单 调 递 减 ； 5分综 上 ，
18、当 0a 时 ， f x 单 调 递 增 区 间 为 0,2 ， 单 调 递 减 区 间 为 2, ；当 14a 时 ， f x 单 调 递 增 区 间 为 0, ， 无 单 调 递 减 区 间 ；当 14a 时 ， f x 单 调 递 增 区 间 为 10, a ， 2, ， 单 调 递 减 区 间 为 1 ,2a ；当 10 4a 时 ， f x 单 调 递 增 区 间 为 1(0,2), ,a ， 单 调 递 减 区 间 为 12, a 6分(2)由 (1)知 ， 当 0a 时 ， f x 单 调 递 增 区 间 为 (0,2)， 单 调 递 减 区 间 为 (2, ) ，又 因 为 1
19、 0f a ， 7分取 0 1max ,5x a ， 令 1( ) 2lnf x x x ， 2 1( )f x x ， 则 1 2( ) 1 0f x x 在 (2, ) 成 立 ， 故 1( ) 2lnf x x x 单 调 递 增 ， 1 0( ) 5 2ln5 1 2(2 ln5) 1f x ，0 0 0 2 2 20 0 0 0 01 1 1 1 1( ) ( 2ln ) 0f x a x x ax x x x x ，8（ 注 ： 此 处 若 写 “当 x 时 ， f x ”也 给 分 ）所 以 f x 有 两 个 零 点 等 价 于 1(2) (2 2ln2) 04f a ， 得
20、18 8ln2a ，所 以 10 8 8ln2a 8分当 0a 时 ， 21( ) xf x x ， 只 有 一 个 零 点 ， 不 符 合 题 意 ；当 14a 时 ， f x 在 (0, ) 单 调 递 增 ， 至 多 只 有 一 个 零 点 ， 不 符 合 题 意 ； 9分当 0a 且 14a 时 ， f x 有 两 个 极 值 ，1(2) (2 2ln2) 04f a ， 1 2 lnf a a a aa ，记 ( ) 2 lng x x x x x ， 10分1 1( ) 2 (1 ln ) 1 ln2g x x xx x ，令 1( ) lnh x xx ， 则 3 32 21 1
21、 2 12 2xh x xx x .当 14x 时 ， ( ) 0h x ， ( )g x 在 1,4 单 调 递 增 ；当 10 4x 时 ， ( ) 0h x ， ( )g x 在 10,4 单 调 递 减 故 1( ) 2 2ln2 04g x g ， ( )g x 在 (0, ) 单 调 递 增 0x 时 ， ( ) 0g x ， 故 1 2 ln 0f a a a aa 11分又 1(2) (2 2ln2) 04f a ， 由 (1)知 ， f x 至 多 只 有 一 个 零 点 ， 不 符 合 题 意 综 上 ， 实 数 a的 取 值 范 围 为 1 ,08 8ln2 . 12分（
22、 二 ） 选 考 题 ： 共 10 分 请 在 第 22、 23 题 中 任 选 一 题 做 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按所 做 的 第 一 题 计 分 922 解 ： (1) 依 题 意 ， 直 线 1l 的 直 角 坐 标 方 程 为 33y x ， 2l 的 直 角 坐 标 方 程 为 3y x 2分由 =2 3cos 2sin 得 2=2 3 cos 2 sin ，因 为 2 2 2, cos , sinx y x y ， 3分所 以 2 2( 3) ( 1) 4x y ， 4分所 以 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 3 2cos1 2sinxy （ 为 参 数 ） 5分（
23、2） 联 立 6=2 3cos 2sin 得 1 4OA ， 6分同 理 ， 2 2 3OB 7分又 6AOB ， 8分所 以 1 1 1sin 4 2 3 2 32 2 2AOBS OA OB AOB ， 9分即 AOB 的 面 积 为 2 3 10分23 解 ： （ 1） 当 2a 时 ， 原 不 等 式 可 化 为 3 1 2 3x x ， 1分 当 13x 时 ， 1 3 2 3x x ， 解 得 0x ， 所 以 0x ； 2分 当 1 23 x 时 ， 3 1 2 3x x ， 解 得 1x ， 所 以 1 2x ； 3分 当 2x 时 ， 3 1 2 3x x ， 解 得 32x ， 所 以 2x 4分综 上 所 述 ， 当 2a 时 ， 不 等 式 的 解 集 为 | 0 1x x x 或 5分（ 2） 不 等 式 13x f x x 可 化 为 3 1 3x x a x ，依 题 意 不 等 式 3 1 3x x a x 在 1 1,3 2x 上 恒 成 立 ， 6分所 以 3 1 3x x a x ， 即 1x a ， 即 1 1a x a ， 8分1 0所 以 11 311 2aa ， 解 得 1 42 3a ，故 所 求 实 数 a的 取 值 范 围 是 1 4,2 3 10分
