1、专题 19 演绎推理与合情推理解题技巧【知识要点】1合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想 的推理，统称为合情推理当前提为真时，结论可能为真的推理叫合情推理数学中常见的合情推理有：归纳和类比推理(1)根据某类事物的部分对象具有的某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳 )简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理(2)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 (简称类比 )简言之，类比推理是
2、由特殊到特殊的推理2演绎推理(1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论( 包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)演绎推理的一般模式“三段论”大前提已知的一般性的原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理在数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论.证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.2.合情推理的过程 从 具 体 问 题 出 发 观 察 、分 析 、比 较 、联 想 归 纳 、类 比 提 出 猜 想3.演绎推理 演绎
3、推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法.是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.4.注意归纳和类比的结论的可靠性有待于证明.1直接证明(1)从原命题的条件逐步推得命题成立的证明称为直接证明综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方法(2)从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止这种证明方法常称为综合法推证过程如下： PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ(3)从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的充分条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻
4、合为止这种证明方法常称为分析法推论过程如下： 得到一个明显成立的条件QP1 P1P2 P2P3P表示条件，Q表示要证的结论2间接证明反证法(1)假设原命题不成立，经过正 确的推理 ，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法(2)反证法的特点：先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，所得矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等推论过程如下： 得到一个明显成立的条件QP1 P1P2 P2P3P表示条件，Q表示要证的结论2间接证明反证法(1)假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假 设错误，从而证明了原命题
5、成立，这样的证明方法叫做_(2)反证法的特点：先假设原命题_成立，再在正确的推理下得出矛盾，所得矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等2.关于反证法使用反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式、事实矛盾等.反证法的步骤：(1)反设；(2)推出矛盾；(3) 下结论.矛盾的主要类型：(1)与假设矛盾；(2)与数学公式、法则、公理、定理、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾；(4)自相矛盾.1.数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法.它是一种完全归纳法，是对不完全归
6、纳法的完善.2.证明代数恒等式的关键是第二步，将式子转化成与归纳假设的结构 相同的形式凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所 需要的形式凑结论.3.用数学归纳法证明不等式的关键是第二步，利用证明不等式的方法(如放缩) 把式子化为 nk1 成立时的式子.4.用数学归纳法证明几何问题时，要注意结合几何图形的性质，在求由“nk 到 nk1”增加的元素个数时，可以先用不完全归纳法找其变化规律.5.由有限个特殊事例进行归纳、猜想，而得出一般性结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法，研究与正整数有关的数学问题，此方法尤为重要，如猜想数列的通项 an或前 n 项和 Sn，解决与自然数有关的探
7、索性、开放性问题等.这里猜想必须准确，证明必须正确.既用到合情推理，又用到演绎推理.猜想的准确与否可用证明来检验，否则不妨再分析，再猜想，再证明，猜想是证明的前提，证明可论证猜想的可靠性，二者相辅相成.题型典例分析1.归纳法例 1 已知数列 ,nab满足 ， ，则207b（ ）A. 18 B. 207 C. 156 D. 20练习 1.将正整数排成下表：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 则在表中数字 2017 出现在（ ）A. 第 44 行第 80 列 B. 第 45 行第 80 列 C. 第 44 行第 81 列 D. 第 45 行第 81 列练习 2.
8、 聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： ，则按照以上规律，若 具有 “穿墙术”，则 n=A. 35 B. 48 C. 63 D. 80 练习 3图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第 1代“勾股树” ，重复图二的作法，得到图三为第 2 代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为 1，则第 n代“勾股树” 所有正方形的面积的和为（ ）A. n B. 2 C. 1n D. 练习 4.九 章算术 “少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（
9、整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步” ，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如： 2n及 3时，如图：记 nS为每个序列中最后一列数之和，则 7S为（ ）A. 1089 B. 680 C. 840 D. 2520故练习 5. 如图所示为计算机科学中的蛇形模型，则第 20 行从左到右第 4 个数字为_练习 6(导学号：05856327)观察下列等式：1 12 3 6；1 2 4 16 2；1 5 1612 0；，以此类推，1 12 6 7 0 ，其中 nN *.则 n_.
10、练习 7. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数 A. (3，1) (1,2) B. (1,2)C. (1,2) D. (3,2)练习 4 已知数列a n为等差数列，若 ama，a nb( n m1，m，nN *)，则.类比上述结论，对于等比数列b n(bn0，nN *)，若 bmc，b nd(nm 2，m，nN *)，则可以得到 bmn 等于( )A. ndc B. ndcC. nm D. mn练习 5. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算.算筹的摆放
11、形式有纵横两种形式.如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如 613用算筹表示就是 ，则 127用算筹表示为（ ）A. B. C. D. 练习 6. ABC的三边长分别为 ,abc， ABC的面积为 S，内切圆半径为 r，则；类比这个结论可知: 四面体 PABC的四个面的面积分别为，内切球的半径为 R，四面体 的体积为 V， R ( )A. B. C. D. 3.数学归纳法例 3. 1下面四个判断中，正确的是（ ）A. 式子 ，当 1n时为 1B. 式子 ，当
12、 时为 +kC. 式子 ，当 1n时为 123D. 设 ，则练习 1. 用数学归纳法证明时，从“到 ”左边需增乘的代数式为( )A. B. C. D. 练习 2. 如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点) 有 n(n1，nN)个点，相应的图案中总的点数记为 an，则 等于( )A. 2013 B. 2 C. 0145 D. 20134分析法例 4. 淮北一中艺术节对摄影类的 A，B，C，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是 C 或 D 作品获得一等奖”；乙说：“B 作品获得一等奖” ；丙说：“A，D 两项作
13、品未获得一等奖 ”；丁说：“是 C 作品获得一等奖”. 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ）.A. A 作品 B. B 作品 C. C 作品 D. D 作品练习 1. 某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组.某次数学考试成绩公布情况如下:甲和三人中的第 3 小组那位不一样，丙比三人中第 1 小组的那位的成绩低，三人中第 3 小组的那位比乙分数高。若甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列，正确的是（ ）A. 甲、乙、丙 B. 甲、丙、乙 C. 乙、甲、丙 D. 丙、甲、乙练习 2老师在四个不同的盒子里面放了 4 张不同的扑克牌，分别是红桃 A，梅花 ，方片 A以及黑
14、桃 ，让明、小红、小张、小李四个人进行猜测：小明说：第 1 个盒子里面放的是梅花 A，第 3 个盒子里面放的是方片 ；小红说：第 2 个盒子里面饭的是梅花 ，第 3 个盒子里放的是黑桃 ；小张说：第 4 个盒子里面放的是黑桃 ，第 2 个盒子里面放 的是方片 A；小李说：第 4 个盒子里面放的是红桃 ，第 3 个盒子里面放的是方片 ；老师说：“小明、小红、小张、小李，你们都只说对了一半 ”则可以推测，第 4 个盒子里装的是（ ）A. 红桃 A或黑桃 B. 红桃 A或梅花C. 黑桃 或方片 D. 黑桃 或梅花5.综合法例 5. 德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子.19 岁的高斯得到了一个数
15、学史上非常重要的结论，就是正十七边形尺规作图之理论与方 法 ， 在其年幼时，对 123100 的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也被称为高斯算法现有函数 f(x) 36054m，则 f(1)f (2)f (m2017)等于( )A. 20173m B. 2016 C. 2017m D. 1083练习 1. 若 a，b 是常数，a0，b0，ab，x，y(0，)，则 ，当且仅当 x y时取等号利用以上结论，可以得到函数 f(x) 341x (0x 3)的最小值为( )A. 5 B. 15 C. 25 D. 2练习 2. 在直角坐标
16、平面 xOy上的一列点简记为 nA若由 构成的数列 nb满足 其中 j为方向与 y轴正方向相同的单位向量，则称 A为T点列.有下列说法 为 T点列；若 nA为 T点列，且点 2A在点 1的右上方.任取其中连续三点 则12k可以为锐角三角形；若 n为 点列，正整数若 ，满足则若 nA为 T点列，正整数若 ，满足则 .其中，正确说法的个数为（）学_科网A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.反证法例 6.（1）用分析法证明：当 0x， y时， ；（2）证明：对任意 R， 13， 2x， 1x这 3个值至少有一个不小于 0.练习 1已知 ，则下列三个数 （ ）A. 都大于 6 B. 至少有一个不大
17、于 6C. 都小于 6 D. 至少有一个不小于 6练习 2已知 ，则下列三个数 （ ）A. 都大于 6 B. 至少有一个不大于 6C. 都小于 6 D. 至少有一个不小于 6练习 3 已知 32pq，求证 2pq，用反证法证明时，可假设 2pq； 设 a为实数，求证 1f与 2f中至少有一个不小于 1，有反证法证明时可假设 12f，且 12f，以下说法正确的是（ ）A. 与的假设都错误 B. 与的假设都正确C. 的假设正确，的假设错误 D. 的假设错误，的假设正确练习 4设 m、 n、 t都是正数，则 4mn、 t、 4m三个数（ ）A. 都大于 B. 都小于 C. 至少有一个大于 D. 至少
18、有一个不小于 4练习 5用反证法证明命题：“ ,Nab，若 可被 5整除，那么 ,ab中至少有一个能被 5整除 ”时，假设的内容应该是A. ,ab都能被 5 整除 B. ,都不能被 5 整除C. 不都能被 5 整除 D. a能被 5 整除练习 6当 1x时，求证： ； 已知 R， 试证明 ,abc至少有一个不小于 练习 7已知 nS是数列 na的前 项和，并且 1a，对任意正整数 n， ，设 （ ,23 ）.（1）证明：数列 nb是等比数列，并求 nb的通项公式；（2）设 3nC，求证：数列 1nC不可能为等比数列. 练习 8 （1）若 ,xy都是正实数，且 2xy，求证： 12xy与 y中至少有一个成立。（2）求证： 7.三段论例 7. 有一段“三段论” 推理是这样 的：对于可导函数 f(x)，如果 f(x0)0，那么 xx 0 是函数 f(x)的极值点，因为函数 f(x)x 3 在 x0 处的导数值f(0)0，所以 x0 是函数 f(x)x 3 的极值点以上推理中 ( )A. 小前提错误 B. 大前提错误C. 推理形式错误 D. 结论正确练习 1. 推理过程：“因为无理数是无限小数， 是无限小数，所以 13是无理数”，以下说法正确的是（ ）A. 完全归纳推理，结论正确 B. 三段论推理，结论正确C. 传递性关系推理，结论正确 D. 大前提正确，推出的结论错误
