1、第四章 图形认识初步一、教学目标：1，经历观察、测量、折叠、模型制作与图案设计等活动，进一步发展空间概念；能从生活周围熟悉的物体入手，加深对物体的形状的认识，并从感性逐步上升到抽象的几何图形，并通过从不同方向看立体图形和展开立体图形，初步认识立体图形与平面图形的联系，在此基础上进一步认识一些简单的平面图形直线、射线、线段和角.2，进一步认识角，以及角的表示方法，角的度量，角的画法.角的比较，补角和余角等内容.会进行线段或角的比较，能估计一个角的大小，会进行角的单位的简单换算.3，从实物出发，感受到图形世界的无处不在，引起学习的兴趣.能区分直线、射线、线段的概念，并体会它们的一些性质，结合生活情
2、景认识角并知道周角、平角等概念.4，能借助三角尺、量角器、方格纸等工具，会画角、线段、垂线，能进行简单的图案设计，并能了解直线、线段等有关性质；积累操作活动经验，发展有条理的思考与表达，经历在操作活动中探索图形性质的过程丰富数学学习的成功体验.二教学重点，难点：如何结合立体图形与平面图形的互相转化的学习，来发展空间观念以及一些重要的概念、性质建立和发展空间观念是空间与图形学习的核心目标之一，能由实物形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的相互转化是培养空间观念的重要方面，更有利于创新能力的培养.三、知识网络四、知识的扩展与延伸：1，通常画一个立体图形要分
3、别从正面看、从左面看、从上面看.如从不同方向看图 2就可得到图 3 中的三个图形.同样由图 3 的三个图形也可以画出图 2.如果不能认真的观察分析立体图形的特征，就不能正确画出相应的平面图形.角和平分线等角的补角相等等角的余角相等角的度量角的大小比较与运算余角和补角角从不同方向看立体图形展开立体图形平面图形几何图形点、线、面、体立体图形平面图形直线、射线、线段线段大小的比较两点确定一条直线两点之间、线段最短2，在研究直线、线段、射线的有关概念时，容易出现延长直线或延长射线之类的错误，在用两个大写字母表示射线时，忽视第一个字母表示的是这条射线的顶点.3，直线有这样一个重要性质：经过两点有一条直线
4、，并且只有一条直线.即两点确定一条直线.线段有这样一条重要性质：两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短.这两个性质是研究几何图形的基础，复习时应抓住性质中的关键性字眼，不能出现似是而非的错误.4，注意线段的中点是指把线段分成相等的两条线段的点；而连结两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.这里应特别注意线段与距离的区别是，即距离是线段的长度，是一个量；线段则是一种图形，它们之间是不能等同的.5，在复习角的概念时，应注意理解两种方式来描述，即一种是从一些实际问题中抽象地概括出来，即有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角；另一种是用旋转的观点来定义，即一条射线绕着端点从一个位置旋转
5、到另一个位置所成的图形叫做角.角的两种定义都告诉我们这样一些事实：（1）角有两个特征：一是角有两条射线，二是角的两条射线必须有公共端点，两者缺一不可；（2）由于射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与它的边的长短无关；（3）当角的大小一旦确定，它的大小就不因图形的位置、图形的放大或缩小而改变.如一个 37的角放在放大或缩小若干倍的放大镜下它仍然是 37不能误认为角的大小也放大或缩小若干倍.另外对角的表示方法中，当用三个大写字母来表示时，顶点的字母必须写在中间，在角的两边上各取一点，将表示这两个点的字母分别写在顶点字母的两旁，两旁的字母不分前后.6，在研究互为余角和互为补角时
6、，容易混淆这两个概念.常常误认为互为余角的两个角的和等于 180，互为补角的两个角的和等于 90.五、经典题型一、分类思想. 在过平面上若干点可以画多少条直线，应注意这些点的分情况讨论；或在画其它的图形时，应注意图形的各种可能性.4.1 多姿多彩的图形例 1 两条相交直线与另外一条直线在同一平面内，它们的交点个数是（ ） A.1 B.2 C.3 或 2 D.1 或 2 或 3分析 由于题设条件中并没有明确这三条直线的具体位置，所以应分情况讨论.解 依题意可以画出如图 4 的三种情况.故应选 D.二、方程思想.在处理有关角的大小，线段大小的计算时常需要通过列方程来解决.图 2 从正面看 从左面看
7、 从上面看图 3图 4 图 5例 2 如果一个角的补角是 150，求这个角的余角.分析 若设这个角的大小为 x，则这个角的余角是 90 x，于是由这个角的补角是150可列出方程求解.解 设这个角为 x，则这个角的余角是 90x，根据题意，得180x150，解得：x30，即 90 x60.故这个角的余角是 60.4.2 直线、射线、线段三、图形变换思想.在研究角的概念时要充分体会对射线旋转的认识，在处理图形时应注意转化思想的运用，如立体图形与平面图形的互相转化的学习.例 3 请画出正六棱柱表面展开图.分析 要将一个立体图形转化为平面图形，只要按照立体图形的折叠原理即可求解.解 正六棱柱表面展开图
8、如图 5 所示四、化归思想.在进行线段、射线、直线、角以及相关图形的计数时总要化归到公式的具体运用上来.12n例 4 若点 C、D、E、F 是线段 AB 上的四个点.则这个图形中共有多少条线段？分析 已知线段上除了端点外，还有 4 个点，即这条线段共有 6 个点，这样要求这个图形中共有多少条线段，则由代数式 即求.12n解 因为依题意已知线段上共有 6 个点，所以这个图形中共有线段的为： 12n15.612四、考点解密（所选例题均出自 2006 年全国部分省市中考试卷）考点 1 从不同方向看立体图形例 5（河北省）图 1 中几何体的主视图是如图 7 所示中的（ ）分析 主视图是从下面看的，由于
9、图 6 中的图形是由两个部分组成的，上面是一个球，球的下面是一个长方体，这样问题就简单了.解 因为要画出的是从正面看到的主视图，而已知的立体图形是由两个部分组成的，上面是一个球，球的下面是一个长方体，所以我们从正面看到的上面是一个圆，下面是一个长方形.又因为原立体图形中上面的球是放在中间的，所以正确的平面图形应该是 C.故应选 C.正面图 6C.A. D.图 7说明 要画出从不同方向看到的平面图形，通常画出分别从正面看、从左面看、从上面看一个立体图形的平面图形.考点 2 立体图形的侧面展开图例 2（嘉兴市）如图 8 所示的图形中，不能经过折叠围成正方体的是（ B ）分析 观察这四个平面图形，A
10、、C、D 能围成一个正方体，只有 B 不能围成正方体.解 应选 B.说明 判断一个图形能否围成正方体，关键是要看这个平面图形是否是某一个正方体的侧面展开图，如果是，即能围成一个正方体，否则就不是.另外，一个立体图形可以有不同的平面展开图.也就是说，同一个立体图形，按不同方式展开得到的平面展开图是不一样的.反之，一些平面图形也可以围成立体图形，就是说，平面图形可以围成立体图形.但要注意，并不是所有的平面图形都能够围成多面体.考点 3 确定平面图形的个数例 3 若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形” ，则如图 9 中以 BC 为公共边的“共边三角形”有（ ）A.2 对 B.3 对 C.4
11、 对 D.6 对分析 要知道有多少“共边三角形” ，只要能依据图形写出所有的满足题意的三角形即可.解 结合图形，满足题意的三角形是：ABC 与DBC，DBC 与EBC，EBC 与ABC，共 3 对.故应选 B.说明 求解本题一定要注意抓住以 BC 为公共边的“共边三角形” ，不能忽视关键性的字眼.4.4 角的度量考点 4 图形角度大小的计算例 4 如图 10，PQR 等于 138，SQQR，QTPQ.则 SQT 等于（ ）A.42 B.64 C.48 D.24分析 要求SQT 的大小，由于 SQQR，QTPQ ，可知 PQSRQT，进而即可求得.解 因为 SQQR，QT PQ，所以PQS+SQ
12、T SQT+RQT90，即PQS RQT，又PQS+SQT +RQT138，所以PQSRQT48 ，所以SQT138 24842.故应选 A.说明 在进行图形的有关计算时，除了要能灵活运用所学的知识外，还要能从图形中捕捉求解的信息.4.4 角的比较与运算PQTSR图10图 9A B C D图 8考点 5 互为余角与互为补角例 5 一个角的余角比它的补角的 少 20.则这个角为（ ）12A.30 B.40 C.60 D.75分析 若设这个角为 x，则这个角的余角是 90x，补角是 180x，于是构造出方程即可求解.解 设这个角为 x，则这个角的余角是 90x，补角是 180x.则根据题意，得 (
13、180x) (90x)20.解得：x40.故应选 B.12说明 处理有关互为余角与互为补角的问题，除了要弄清楚它们的概念，通常情况下不要引进未知数，构造方程求解.考点 6 平面图形的操作问题例 6 如图 11，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是如图 12 所示的（ ）分析 要想知道展开后得到的图案是什么，可以依据题意，结合正方形的图形特征，发挥想象即可求解.解 因为将正方形沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，就是说这个正方形上共有 6 个小圆，其中分成 3 组关于正方形的对角线即折痕对称，且
14、 1 对圆在两个直角的顶点上，2 对圆位于对角线即折痕的两侧.故应选 C.说明 这种图形的操作问题的求解一定要在灵活运用基础知识的同时，充分发挥想象，并能大胆地归纳与推断.考点 7 平面图形的面积问题例 7 如图 13，正方形硬纸片 ABCD 的边长是 4，点 E、F 分别是 AB、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成右图的一座“小别墅” ，则图中阴影部分的面积是（ ）A.2 B.4 C.8 D.10分析 要求图中阴影部分的面积，由于由剪到拼可知阴影部分的面积应是原正方形面积的四分之一，于是即求.解 根据题意“小别墅”的图中阴影部分的面积应等于正方形面积的四分之一，而正方形的面积是 16，
15、所以阴影部分的面积应等于 4.故应选 B.说明 本题的图形在操作过程中，虽然形状发生了改变，但是图形的面积却没有变化，抓住这一点问题就可以简洁求解.DCBA图 12图 11图 13 图 14a图 15bab考点 8 拼图问题例 8 如图 14，有三种卡片，其中边长为 a 的正方形卡片 1 张，边长分别为 a，b 的矩形卡片 6 张，边长为 b 的正方形卡片 9 张.用这 16 张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为.分析 16 张卡片，拼成一个正方形，而边长为 a 的正方形卡片 1 张，边长分别为a，b 的矩形卡片 6 张，边长为 b 的正方形卡片 9 张，由此可知正方形的每边上应有 4
16、张，而且这个正方形的边长应为 a+3b.解 因为边长为 a 的正方形卡片 1 张，边长分别为 a，b 的矩形卡片 6 张，边长为 b 的正方形卡片 9 张，而用这 16 张卡片拼成一个正方形，所以正方形的每边上应有 4 张，而且这个正方形的边长应为 a+3b.但拼得的正方形的形式是不一样的，如图 15 就是其中的一种.说明 这是一道结论开放型问题，只要符合题意且结论正确的都可以.考点 9 规律探索问题例 9 用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加 1 的规律拼成如图 16 一列图案：（1）第 4 个图案中有白色纸片张；（2）第 n 个图案中有白色纸片张.分析 要解答这两个问题，只要能求
17、出第 n 个图案中有白色纸片的张数即可，由于第1 个图案中有白色纸片 1 张，第 2 个图案中有白色纸片 7 张，第 3 个图案中有白色纸片 10张，由此可以得到第 n 个图案中有白色纸片 3n + 1 张，从而求解.解 因为第 1 个图案中有白色纸片 1 张，第 2 个图案中有白色纸片 7 张，第 3 个图案中有白色纸片 10 张，所以可以得到第 n 个图案中有白色纸片 3n+1 张.于是（1）当n4 时，3n+1 13；（2）3n + 1.说明 这种利用几何图形探索规律型问题是近年各地中考的热点，同学们在求解时一定要通过认真的观察、归纳、猜想、验证，才能正确地获解.六课堂作业和课外作业基础
18、题型1，观察如图 17 甲，从左侧正对长方体看到的结果是图乙中的（ ）2，如图 18 所示的图形中，不是正方体平面展开图的是（ ）321 图 16图 17（图甲） A B C D（图乙）图 183 如图 19，把一个边长为 1 的正方形经过三次对折后沿中位线(虚线) 剪下，则右图展开得到的图形的面积为（ ）A. B. C. D. 4321833164 水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图 20 是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的前面，则这个正方体的后面是 ( )A.0 B.6 C.快 D.乐5，已知3519，则 的余角等于（ ）A.144
19、41 B.14481 C.5441 D.54816 如图 21，B 是线段 AC 的中点，过点 C 的直线 l 与 AC 成 60的角，在直线 l 上取一点 P，使 APB30，则满足条件的点 P 的个数是（ ）A.3 个 B.2 个 C.l 个 D.不存在7 如图 22，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开.如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（ ）A.22.5角 B.30角 C.45 角 D.60角8 一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把 14 个棱长为 1 分米的正方体摆在课桌上成如图 23 形式，然后他把露出的表面都涂上不同的颜色，则被他涂上颜色部分的面积为（
20、）A.33 分米 2 B.24 分米 2 C.21 分米 2 D.42 分米 2参考答案：1，B；2，D；3，A；4，B ；5，C；6，B；7，C ；8，A.七中考题型要点一：从不同的方向看立体图形和立体图形的展开图1.图 22图 21 图 23图 19沿 虚 线 剪 开图 20【解析】选 B。本题考查的是立体图形的平面展开图，借助空间想象或实际操作易判断三棱锥的平面展开图是 B.2 如图所示，一个斜插吸管的盒装饮料从正面看的图形是（ ）【解析】选 A3.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的形状是（ ）A 圆柱 B 圆锥 C 圆台 D 长方体【解析】选 B，结合三视图想象，得到答案。4.按
21、如图方式把圆锥的侧面展开，会得到的图形是( )A B C D【解析】选 C. 圆锥的侧面展开图是扇形 .5.将一个正方体沿某些棱展开后，能够得到的平面图形是（ ）【解析】选 C.遵循正方体展开图规律 “一线不过四、田、凹应弃之”，发挥想象，动手操作，得答案.图图 A B CD6.如图放置的一个水管三叉接头，若其正视图如图，则其俯视图是（ ）【解析】选 A，其俯视图即从上向下看时，柱体的俯视图为圆，右边的柱体的俯视图为矩形。7.一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后“建”字对面是（ ）A和 B谐 C凉 D山【解析】选 D. 可动手操作得 答案：建与山是对面，和与凉是对面，谐与设是对面8
22、.如图，为一个多面体的表面展开图，每个面内都标注了数字若数字为 的面是底面，6则朝上一面所标注的数字为（ ）5 4 3 2【解析】选 D.3 与 5 是对面， 4 与 1 是对面，6 与 2 是对面.9.将棱长是 lcm 的小正方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积是（ ）A36cm 2 B33cm 2 C30cm 2 D27cm 23【解析】选 A，从几何体的前、后、左、右、上、下 6 个不同方向看几何体，都能看到 6 个小正方形，共有 36 个小正方形。故表面积是：361 2=36（cm）10.如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面，与“迎”相对的面上
23、的汉字是（ ）A、文 B、明 C、 奥 D、运【解析】选 A11 如图是一个正方体的表面展开图，则图中“加”字所在面的对面所34 2 156讲文 明 迎 奥运标的字是（ ） （ ）A北 B京 C奥 D运【解析】选 B12.观察下列图形，其中不是正方形的展开图的为（ ）【解析】选 D ,13.如图所示的几何体的俯视图是（ ） 【解析】选 B.由几何体的三视图的定义可得题中几何体的俯视图是选项 B 中的图形，故选 B.14.右图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图， 则搭成这个几何体的小正方体的个数是 （ ）A5 B6 C7 D8 【解析】选 A。根据几何体的三视图的定义易得出搭成这个几何体
24、的小正方体的个数是 5。故选 A。15.在下面的图形中，不是正方体表面展开图的是（ ）（A） （B） （C） （D）答案：选 C16.下面四个图形中， 经过折叠能围成如图只有三个面上印有图案的正方体纸盒的是 （ 左视图主视图俯视图）答案：选 B17.下列各图中， 不是正方体的展开图（填序号） 答案：18如图是由棱长为 1 的正方体搭成的积木三视图，则图中棱长为 1 的正方体的个数是_主视图 左视图 俯视图【解析】根据几何体的三视图的定义，结合上面的三视图可得到搭成积木所用正方体的个数为 6答案：6要点二：线段和角的有关计算问题一、选择题1.30角的余角是( )A30角 B60角 C90角 D1
25、50 角【解析】选 B. 9030=60.2.如图，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，E 是 内一点，已知 OEAB，A，则 的度数是（ ）45BODCA. B. C. D.121314515ACBEDO【解析】选 B. 因为AOC= ，AOE=90 ，45BOD所以 =45 +90 =135COE3.已知1=30，则1 的余角度数是（ ）A160 B150 C70 D60答案：选D4.将一副三角板按图中的方式叠放，则角 等于（ ）A B C D7560453021【解析】选 A,如图，由题意知， 1=45，2=30，所以 =1+2=755.如图，已知直线 AB、CD 相交于点 O，OE
26、 平分COB，若EOB55 ，则BOD 的度数是（ ）A35 B55 C70 D110 【解析】选 C由 OE 平分COB，EOB55，得COB=110, BOD= 180-110=70.6.在直线 AB 上任取一点 O，过点 O 作射线 OC、OD，使 OCOD ，当AOC=30 o 时，BOD 的度数是（ ） A60 o B120 o C60 o 或 90o D60 o 或 120o【解析】选 D. BOD=180 o 9030=60或BOD=180 o（9030）=120.7.如图，lm，1115，295 ，则3（ ）A120 B130 C140 D150【解析】选 D,过2 的顶点作直
27、线 l 的平行线，根据平行线的性质，有1+ 2+3=360 0，所以3 360 0-115-95=1500.8.某班 50 名同学分别站在公路的 A、B 两点处，A、B 两点相距 1000 米，A 处有 30 人，B 处有 20 人，要让两处的同学走到一起，并且使所有同学走的路程总和最小，那么集合地点应选在（ ）AA 点处 B线段 的中点处AC线段 上，距 A 点 米处 D线段 上，距 A 点 400 米处B103【解析】选 A. 若选在 A 点处，所有同学走的路程总和为 300+201000=20000 米；若选在线段 的中点处，所有同学走的路程总和为 30500+20500=25000 米
28、；若选在线段 上，距 A 点 米处，所有同学走的路程总和为 30 +20(1000 )=103103103米；若选在线段 上，距 A 点 400 米处, 所有同学走的路程总和为370B30400+20600=24000 米.故选 A.9.在ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 的中点，若 BC5，则 DE 的长是（ ）A2.5 B5 C10 D15【解析】选 A，由 D、E 分别是边 AB、AC 的中点可知，DE 是ABC 的中位线，根据中位线定理可知，DE BC2.51210.如图，C、D 是线段 AB 上两点，若 CB4cm，DB=7cm，且 D 是 AC 的中点，则 AC的长等于(
29、)A3cm B6cm C11cm D14cm 图3图图D C BA【解析】CD=DBCB=3,由线段的中点定义可知 AC=2CD=6,故选 B.11 如图，已知直线 相交于点 ， 平分 ， ，则 的度BC， OE10OBDA B数是（）A B C D204050 80【解析】选 C. 由 平分 ， 得AOC=50, =AOC=50.OAEC10OBOD二、填空题12.如图，直线 DE 交ABC 的边 BA 于点 D，若 DEBC ，B =70，则ADE 的度数是 【解析】根据两直线平行同位角相等得结论.答案：7013. 66角的余角是 _【解析】90-66=24.答案：2414. 如右图，直线
30、 ABCD 相交于点 O，1=50，则2= 度.答案：5015.如图， 于点 是 的平分线，则 的度数为 ABCD E， ABDCBE【解析】由 于点 是 的平分线得CAB=90，ABE=45，ABCD E， ABD =90+45=135.E答案：13516.如图，点 C 是线段 AB 上的点，点 D 是线段 BC 的中点，若 AB10，AC6 ，则CD_【解析】BC=AB-AC=10-6=4,CD= CB= 4=2.2117.如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于 O 点，则 ACDB 【解析】 AOCDBAOB+BOC+DOB= AOB+DOC= 90+ 90=180.答案： 18
31、018.如图，直线 AB、CD 相交于点 O， ，垂足为 O，如果 ，则 ABE42EDAOC【解析】 , ，ABOE42DDOB=9042=48, DOB=48 答案：48C19.已知 A、B、C 三点在同一条直线上， M、N 分别为线段 AB 、BC 的中点，且 AB = 60，BC = 40，则 MN 的长为 . 【解析】当点 C 在线段 AB 上， MN=BMBN=3020=10; 当点 C 在线段 AB 的延长线上时，MN=BM+BN= AB+ BC=30+20=50.答案：10 或 502120.经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是（ ）（A）一条或三条 （B）三条（ C）两
32、条 （D）一条【解析】选 A.当三点不在同一直线上时 ,可画三条直线,当三点在同一直线上时,只能画一条直线.21.如图，平面内有公共端点的六条射线 ， ， ， ， ， ，从射线OABCOEF开始按逆时针方向依次在射线上写出数字 1，2，3， 4，5，6，7，OA（1） “17”在射线 上 ）（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律 （3） “2007”在哪条射线上？ ABDCEFO172839410 5116 12【解析】 （1） “17”在射线 上E（2）射线 上数字的排列规律：OA65n射线 上数字的排列规律：B4射线 上数字的排列规律：C3射线 上数字的排列规律：D62n射线 上数字的排
33、列规律：OE1射线 上数字的排列规律：F（3）在六条射线上的数字规律中，只有 有整数解解为63207n35n“2007”在射线 上C22 如图，在锐角 内部，画 1 条射线，可得 3 个锐角；画 2 条不同射线，可得 6 个AOB锐角；画 3 条不同射线，可得 10 个锐角；照此规律，画 10 条不同射线，可得锐角 个【解析】 这是一道规律探索题,根据给出的条件寻找规律画射线的条数 1 2 3 n锐角个数 3 6 10 2)(1所以当 n=10 时, =66.故答案为 66.2)(n能力提升题一、综合题(每题 5 分，共 30 分)1将下列几何体分类，并说明理由(如图 4-5-1 所示)2如图
34、 4-5-2 是由几个小立方块从上面看得到的平面图形，请画出从几何体的正面、左面看的示意图3如图 4-5-3 所示，共有几条线段，并分别指出4三条射线两两相交，三条射线分别是 AX、BY 和 CZ，它们有三个交点，分别是M、N、P 在这样形成的图形中，共有多少条可以用已有字母表示的线段和射线呢?5 画 MAN=60， 在 边 AM 上 取 AC=3 cm， 以 C 为 顶 点 ， CA 为 一 边 ， 并 在 同 侧作 ACP=90， 在 边 AN 上 截 取 AB=2 cm， 以 B 为 顶 点 ， BA 为 一 边 ， 并 在 同 侧作 ABQ=90， BQ 与 CP 交 于 D， 请 测
35、 量 CD、 BD 的 长 及 BAD 的 度 数 6时钟表面 3 点 45 分时，时针和分针所夹角的度数是多少?二、应用题(每题 7 分，共 42 分)7如图 4-5-4 所示，将一张长方形的纸斜折过去，使角顶点 A 落在 A处，BC 为折痕，然后把 BE 边折过去，使之与 AB 边重合，折痕为 BD，那么两折痕 BC、BD 间的夹角是多少度?8如图 4-5-5 所示为一六角螺母，请画出从它的正面看，上面看，左面看的示意图9将图 4-5-6(1)中 ab 的矩形剪去一些小矩形得图(2) ，图(3) ，请分别求出各图形的周长，其中 EF=c10现有一个 17的“模板”(如图 4-5-7 所示)
36、，请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出 1的角来11如图 4-5-8，若AOB=COD= AOD，已知COB=80，求AOB，AOD 的度16数12已知一个角的补角比它的余角的 3 倍多 10，求这个角的度数三、创新题(每题 11 分，共 22 分)13线段 AB 上有两点 M、N，AMMB =511，ANNB=57，MN =15，求 AB 的长度14如图 4-5-9 所示，已知 AB 与 CD 都是直线，EO AB，OF 平分AOD，1=2720，求2，3，4，5 的度数四、中考题(每题 3 分，共 6 分)15若线段 AB=a，C 是线段 AB 上的任意一点，M 、N 分别是
37、 AC 和 CB 的中点，则 MN= 16将一张正方形纸片，沿图中虚线对折，得图，然后剪去一个角，展开铺平后的图形如图 4-5-10 所示，则图中沿虚线的剪法是( )附加题竞赛趣味题(每题 10 分，共 20 分)1如图 4-5-11 所示，在平整的地面上放有一个正方体，一只蚂蚁在顶点 A 处，它要爬到顶点 B，问蚂蚁有几条最短路线，它应怎样确定爬行路线?2有 一 长 方 形 餐 厅 ， 长 10 m， 宽 7 m， 现 只 摆 放 两 套 同 样 大 小 的 圆 桌 和 椅 子 占 据 的 地 面 部 分可 看 成 半 径 为 1 5 m 的 圆 形 (如 图 4-5-12 所 示 ) 在
38、保 证 通 道 最 狭 窄 处 的 宽 度 不 小 于 0 5 m 的 前 提 下 ， 此 餐 厅 内 能 否 摆 下 三 套 或 四 套 同 样 大 小 的 圆 桌 和 椅 子 呢 ?请 你 摆 放 三 套 的 两种 方 案 中 选 取 一 种 ， 在 下 方 1420 方 格 纸 内 画 出 设 计 示 意 图 提示：画出的图应符合比例要求；为了保证示意图的清晰，请你有把握后才能将设计方案正式画在方格纸上参考答案一、1解法一：按柱、锥、球划分，(1)、(2)、(3) 、(5)、(7)是一类，即柱体，(4)是锥体，(6)是球体 解法二：按组成面的曲或平划分，(2) 、(4)、(6)是一类，组
39、成它们的面中 至少有一个是曲面，(1)、(3)、(5) 、(7)是一类，组成它们的各面都是平面 点拨：本题答案不唯一，只要按照某种标准进行合理的分类即可2解：点拨：一种方法是先摆一下，再画另一种方法是根据从上面看分别确定从正面看和从左边看几何体有几层，每层有几个方块3解：共有 6 条线段，它们是线段 AB、AC、AD 、BC、BD、CD点拨：计算线段的条数，要做到不重不漏具体方法是：先固定最长线段的某一端点，然后顺次改变另一端点，再逐步改变起点，一一推进；按此方法可得到当直线 l 上有A1、A 2、A 3、 、A n 共 n 个点时，以 A1、A 2、A 3、A n 中的两点为端点的线段共有1
40、+2+3+4+(n-1)= 条(1)24共有 9 条线段，9 条射线 分析：关键在于弄清在原来的一条射线上，共有几条可以用题目中的字母表示的线段和射线不妨设点 M，N 在射线 AX 上，如下图所示：用图中字母。可写出 MN，AM，AN 三条线段和 AX，MX，NX 三条射线5略 分析：准确画出图形是解决此题的关键如下图：6时针和分针所夹角的度数是 1575分析：正 3 点时，时针指向 3，分针指向 12，这时候时针与分针之间的夹角为 90在 3 点 45 分时，分针指向数字 9，此时分针共旋转了 360=270，而时针的速度只有分针的 ，故时针旋转了 270912 12=225故时针与分针的夹
41、角是：270-90-22 5=157 5二、7BC、BD 间的夹角为 90 分析：由题意可得ABC= ABC，ABD= DBE ，已知ABC +A BC+ABD +DBE=180，因此 2(A BC +ABD )=180，所以ABC+ABD=90，即 BC、BD 间的夹角为 908解：9原矩形图(1)的周长为 2(a+b)；图(2)的周长为 2(a+b)；图(3)的周长为 2(a+b+c) 分析：把原题图(2)中的 CD、EF、GH 平移到 AB 上，DE、FG 和 AH 移到 BC 上，把图(3)中的 CD、IJ 平移到 AB 上，DE、FG 、HI 和 JA 平移到 BC 上，即可得出各图
42、形的周长10 能 分 析 ： 设 “模 板 ”角 度 为 ， 假 设 可 由 k 个 角 与 t 个 180角 画 出 1的 角 来 ， 即k， t 满 足 等 式 ： k +180t=1(*)， 则 问 题 等 价 于 求 不 定 方 程 (*)的 角 当 =17时 ， 即17k+180t=1， 方 程 仍 有 解 ， 且 k=53， t=-5 是 一 组 解 ， 即 用 模 板 连 续 画 53 个 17的 角 ， 得到 901的 角 ， 除 去 两 个 周 角 和 一 个 平 角 即 得 1的 角 1120 120 分析：因为已知AOB=COD= AOD，所以可以设AOB =x，6则可推
43、出COD= x，AOD=6x，又根据图可以知道AOD =AOB +BOC+COD ，因此可以推出BOC=4x，又告诉了COB 的度数，所以可求出图中所有角的度数解：AOB=COD= AOD，16设AOB=x ，则COD=x，AOD=6x，又AOD=AOB +BOC +COD ，BOC=AOD-AOB-COD=6x-x -x =4x又BOC=804x=80x =206x=120AOB=20,AOD=120 1250 分析：先用字母表示这个角的度数，然后根据题意列方程，将该问题转化为方程的问题来解决解 ： 设 这 个 角 为 x， 则 它 的 补 角 为 180-x， 它 的 余 角 为 90-x
44、 根 据 题 意得 180-x=3(90-x)+10， 解方程 x=50三、13144 分析：如图：设 AB=x，则因为 AMMB511，且 AM+MB=AB=x，所以 AM= x，同理：516ANNB57，所以 AN= x，MN= AN-AM= x- x=15所以 x=14.4，即12126AB=14414 分 析 ： 利 用 同 角 的 补 角 有 1 与 3 相 等 ， BOC 与 AOD 相 等 (同 角 补 角 相 等 )； 1 与 2 互 余 ； 4 与 5 相 等 (角 平 分 线 )解 ： 因 为 EO AB， 所 以 AOE= EOB=90， 所 以 1+ 2=90 因 为
45、1=2720 ，所 以 2=90- 1=6240 因 为 AB、 CD 为 直 线 ， 所 以 1+ 5+ 4= 3 + 5+ 4，所 以 3= 1=2720 因 为 1+ AOD=180， 所 以 AOD=180- 1=15240 又 因 为 OF 平 分 AOD， 所 以 4= 5= AOD=7620 2点拨：本题主要考查了角平分线、补角、余角的基本知识四、15 分析：如图：2aM 是 AC 的中点，AM=MC= ACN 是 CB 的中点，CN=NB = BC，则12 12MN=MC+NC= AC+ BC= (AC+BC)= ABAB=a，故 MN= 12 a16C 点拨：考查学生的动手操作能力附加题：14 条最短路线 分析：把正方体凡带 A、B 点的两个面展开，根据两点之间，线路最短，只要连接 AB 即可，共 6 条。但底面行不通，故应减去两条2分析：设计的示意图应符合以下比例要求：每个圆的半径为 15 cm；每个圆的圆心到方格纸外框的距离不小于 2 cm；任意两圆的圆心距不小于 35 cm解：摆放三套与四套的设计方案参考示意图如图所示点拨：设计方案有多种情形，符合要求即可
