1、基本作图一：已知点的两面投影求第三面投影。图 1 求点的第三面投影如图 1a 已知点 A 的正面投影和侧面投影，求其水平投影。作图步骤如下：首先根据点的投影的第一条规律，点的水平投影与正面投影的连线必垂直于 X 轴，所以过 a作 X 轴的垂线，如图 1b。再根据第二条规律，a 到 X 轴的距离等于 a”到 Z 轴的距离。为作图方便， 过 O 作 45 度分角线，过 a”作 Yw 轴垂线并延长与分角线相交，再作 Yh 的垂线，与前一步作的直线相交，交点即为水平投影 a。基本作图二：求直线的实长及与正平面的夹角 。图 2 求实长作图如图 2 左，已知直线的二个投影，现要求直线的实长及与正面的夹角。
2、作 图步骤如下：1）在水平投影，过 b 作 X 轴的平行线与直线相交；2）在正面投影，过 b作 ab的垂线，使其长度等于如图右所示长度，即两端点的 Y 坐标差；3）连接形成直角三角形的斜边，则斜边长为实长，斜边与 ab的夹角为 角。注意两点：一是三角形可以作在图面任何位置，图中直接作在正面投影上，是为了少画一个直角边；二是夹角一定是斜边与 ab边的夹角，它的大小等于真实的直线与正面的夹角，但并不表示直线在图上所示位置与 V 面相交。基本作图三：在直线 AB 上作一点 C，并把直线分成 AC:CB=2:1。图 3 作图三作图步骤如下：1）过 a 任作一直 线段，并事先取得三个等距段，在每个等距点
3、上标记，如 1、2、3。2）连接 3b，并过 2、1 分别作它的平行线与 ab 相交，标记 2 的平行线与 ab 的交点为 c，即点 C 的水平投影。3）过 c 作 X 轴 的垂线，延长与 ab相交得到交点， 标记 c，点 C 的正面投影，求出投影相当求出了 C 点。基本作图四：过空间一点 C 作一条直线 CD 与已知直线 AB 相交图 4 过点作直线相交作图步骤如图 4b 所示：1）由于过一点可作无数条直线与已知直线 AB 相交，现在是任作一条。过 c作任一直线 cd与 ab 相交于 d。2）过 d作投影轴的垂线并延长交 ab 于 d。3）连接 cd，并延长。作直线与直线相交的关键是要保证直
4、线投影的交点，是直线在空间交点的投影。基本作图五：过点 C 作一条直线 CD 与已知直线 AB 平行图 5 过点作平行作图步骤如 5b 所示：1）过 c作 cd平行于 ab；2）过 c 作 cd 平行于 ab；3）使 d和 d 在一条垂直于投影轴的直线上。这是保证 d和 d 是空间 D 点的两个投影，至于 cd画多长是无关紧要的。基本作图六：过空间一点，作一条直线与正平线垂直相交。图 6 作直线与正平线垂直相交分析：图 6a，直线 AB 为正平线， C 为空间一已知点。 现要求 过 C 作一条直线垂直于 AB，设该直线为 CK。根据直角投影定理，CK 的正面投影与 AB 的正面投影必垂直。由于
5、过C 可以做无数条垂直于 AB 的直线（包括交叉垂直），所以 CK 的水平投影有无数种情况。但本作图要求的是垂直相交，所以， CK 的水平投影必须要满足相交的条件，因此情况只能是一种。作图步骤如下：1）过 c作 ab的垂线，与 ab的延长线相交于一点 k，即为交点的正面投影；2）过 k作投影轴的垂线与 ab 的延长线交于一点 k，即 为交点的水平投影；3）连接 ck。则 ck和 ck 即为所求垂线的两个投影。基本作图七：过空间一点，任作一条直线垂直于已知的一般位置直线。图 7 作直线垂直于一般位置直线分析：图 7a 所示，AB 为一般位置直线， C 为空间一已知点。如前述，过空间一点可作无数条
6、直线垂直于已知直线，本作图要求是任作一条，可根据直角投影定理直接作平行线垂直于它。作图步骤如下：见图 7b1）首先作一条水平线垂直于 AB。因 为是水平线，所以它的正面投影应该平行于投影轴，作 c1平行于投影轴。2）由于它们的投影在水平面成直角，所以作 c1 垂直于 ab。3）注意使 11 要垂直于投影轴，即要符合投影规律。同理还可以作一条正平线 C2 垂直于直线 AB。应该注意，这两条平行线均不与 AB 相交，它们与 AB 的关系是交叉垂直。作这样两条平行线垂直于一般位置直线，是一种比较重要的作图方法，常用它来解决一些比较困难的问题。基本作图八：在一般位置平面 ABC 上作一点。图 8 一般
7、位置平面上取点取在平面已知直线上的点一定是属于该平面的，如点 D，只要使 d在 ab上，d 在 ab 上，则 D 一定是平面上的点。因为 C 是平面上的点， 连 接 cd和 cd，则 CD 直线 一定是平面上的直线，直线上只要有两点在平面上，该直线必定在平面上。在 CD 直线上任取一点 K，即在 cd上任取一点 k，根据基本作 图三，作出水平投影 k，则 K 点也必定是平面上的点。从以上作图可以看出，取点和取线彼此是不可分的。基本作图九：在铅垂面 ABC 上任作一条直线 DE。图 9 垂直面上取线在特殊位置平面上取点、取线可充分利用其投影有积聚性的特点。 ABC 的水平投影有积聚性，是一条直线
8、，所取的点只要保证其水平投影在该直线上， 则该点一定在平面上。如图 9a 中的点 E（e，e）和点 D（d，d）均为ABC 上的点。 连接 de，de，得属于 ABC 的直线 DE。图 9b 所示，当铅垂面用迹线来表示时，取点、取线 的作法。注意 e和 d在正投影面中的高度，并不影响点在平面中的结论。基本作图十：在一般位置平面 ABC 上，作正平线和水平线。图 10 在一般位置平面上作正平线和水平线过 B 作平面 ABC 内水平 线的步骤：1）所求直线是水平线，其投影应符合水平线的投影特性，其正面投影应平行于 X 轴。因此作 bd平行于 X 轴。2）同时所求直线是平面 ABC 上的线，其上已知
9、 B 点是平面上的点，现只要保证 D 点在平面上即可。过 d作 X 轴垂线，延 长交 ac 于 d，则 D 点是边 AC 上的点，也即是平面 ABC 上的点。3）连接 bd，则直线 BD（bd，bd）即为所求。同理过 C 作平面 ABC 内正平 线。步 骤略，请读者自行分析作图。基本作图十一：过空间一点任作一个平面。图 11 过空间一点作平面过一点可作无数个平面。根据平面的表示法，如图 11b 所示， 过 A 作两条相交直线A、A ， 则 它们就表示一个 过 A 点的平面。若将、点联接，则是用三角形表示的过 A 点的平面。基本作图十二：过空间一点作一正平面。图 12 过空间一点作正平面根据正平
10、面的投影特性，在基本作图十一的基础上，使平面的水平投影为一条平行于投影轴的直线即可，如图 12a 所示。 图 12b 所示为当用迹线表示过 A 点的正平面时的情况。至于作其它平行面，如水平面、侧平面方法与此类同。基本作图十三：过直线任作一个平面。图 13 过直线作平面过一条直线可以作无数个平面。根据平面的表示方法，只要在直线外再加一点，如 图13a 所示点 C，则直线及直 线外一点，就构成一个平面。也可以用相交两直线或三角形的方式来构成平面。基本作图十四：过一般位置直线作一个垂直面。以作铅垂面为例。一个平面中若包含一条垂直于 H 面的直线，则该平面必为铅垂面，所以构造一条与已知直线 AB 相交
11、的铅垂线 CD，则 AB、CD 两相交直线构成了一个铅垂面，如图 13b。如果铅垂面用迹线来表示，只要使水平面迹线过 ab 即可。如图 13c 所示。至于作其它投影面的垂直面，方法与此类同。基本作图十五：过空间一点，作平面 ABC 的平行线。图 14 作直线平行于平面只要过 K 点任作一条直线平行于平面中的一条直线 即可。可以直接利用三角形的 边。作图步骤：1）过 k作 de平行于 ac；2）过 k 作 de 平行于 ac，并注意 dd，ee 要垂直于投影轴。基本作图十六：判断一条直线是否平行与一个平面。图 15 判断直线是否与平面平行已知一条一般位置直线 DE，和一个平面 ABC，如图 15
12、a 所示。判断一条直 线是否平行于一个平面，要看它是否平行于平面中一条直线。作图步骤如下：1）在ABC 中任作一条直线 12平行于 de，1在 ab上， 2在 bc上。2）作出、两点的水平投影 1、2，分别在 ab 和 bc 上。3）连接 12，现 12 与 de 不平行，可知平面内直线与 DE 不平行，所以，DE 不平行于平面 ABC。由于线是在平面中任作的，也就是说在平面中不存在这样一条平行线，所以结论成立。基本作图十七：过一点作一平面平行与一条已知直线。图 16 作平面平行与一条已知直线已知一般位置直线 AB 及一点 K。过 K 点可以作无数个面与 AB 平行，但这些面中至少应包含一条
13、AB 的平行线。因此首先作出一条 AB 的平行线，然后再根据平面的表示法创建出一个平面。如图 16a 所示，过 K 点再任作一条直线，与 AB 的平行线相交，则两条相交直线构成一个 AB 的平行面。如图 16b 所示，如果过 K 作的直线是一条正垂线 KC，由 KC 与 AB 的平行线构成的平面，是一个平行于 AB 的正垂面。同理也可以构建垂直于其它投影面的平面。如图 16c 所示，用迹线表示的平行于 AB 的正垂面，注意 PV 应与 ab平行。基本作图十八：判断空间两已知平面是否平行。图 17 判断两平面是否平行如图 17，已知两平面 ABC 和 DEF，判别两平面是否平行，可先在一个平面中
14、作一 对相交直线，看在另一平面中能否作出相应的一对相交直线与其平行。一般在这类问题中，作的相交直线总是选择作平面中的水平线和正平线。从图 17 可以看出，两对相交直线彼此平行，所以这两个平面是平行平面。基本作图十九：过空间一点作一平面与一已知平面平行。图 18 作平面平行与平面如图 18a 所示，已知一平面是由一对平行线 AB、CD 组成的，并已知一点 K，过 K 作一平面欲与已知平面平行，只需作一对相交直线，平行与平面中的相交直线即可。作图步骤：如图 18b 所示。1）作过 K 点的线平行于 AB 或 CD；2）在已知平面中任作一条直线 MN，使与 AB、CD 相交；3）过 K 作 线平行于
15、 MN，则和 所构成的平面即为所求。基本作图二十：一般位置直线与特殊位置平面相交求交点，并判断直线的可见性。图 19 一般位置直线与铅垂面相交求交点如图 19a 所示，已知一般位置直线 DE，和一个 铅垂面 ABC，求它 们的交点，并判别可见性。对于特殊位置的平面或直线可利用它们有积聚性的投影直接求出交点。作图步骤：如图 19b。1）因为交点是平面上的点，所以它的水平投影一定在 abc 这条直线上；同时交点也是直线上的点，所以它的水平投影一定在 de 上，交点是它们的共有点，所以交点的水平投影在它们的交点 k 上。2）通过 k 可以求出 k，它应在 de上。则交点求解完毕。3）判别可见性。主要
16、是判别正面投影直线与平面重叠的部分，以交点作为分界，哪一段被平面遮挡因而不可见，不可见的需改画成虚线。利用平面的特殊性，从平面的水平投影比较容易看出，EK 这一段线在平面 ABC 的前面，因此在正面投影上 ek应是可见的，没有被面遮挡。那另一段 DK 必然在平面 ABC 的后面，因此和面重叠的部分为不可见。以上是直观的方法。还有一种通用的方法是利用重影点的方法。如图中可看出，直 线DE 与平面 ABC 的边 AC 和 BC 各有一个重影点（注意那不是交点），重影的点一个是直线上的点，一个是平面上的点，通过判断这两个点，哪个在前，就可以判断出哪段直线在平面的前面，相应的就可知哪段直线可见。如、这
17、两个重影的点，可假设是直线 DE 上的点，是边 AC 上的点，利用在点的投影一节中学过的重影点的判别方法，可知 1可见，2不可见，因而知直线 EK 段在平面 ABC 的前面，因而可见，则直线的另一段必在平面的后面。图 19c 为铅垂面用迹 线来表示 时，交点的求法。基本作图二十一：特殊位置直线与一般位置平面相交求交点，并判断直线的可见性图 20 正垂线与一般位置平面相交求交点如图 20a 所示，直线为正垂线，平面 为一般位置平面。利用直线的积聚性可知交点的正面投影 k，再利用 K 点也是平面上的点的性质，利用面上取点的方法，可求得 k，如图20b 所示。可见性的判别，是判别水平投影上直线与平面
18、重叠的部分，以交点为分界点，哪一段不可见。直接观察有一点困难，可以利用 图中所示的两个重影点之一，可以判 别出直线上 KD 段在平面的下方，因而与平面重叠部分为不可见。基本作图二十二：一般位置平面与特殊位置平面相交，求交线并判别可见性。图 21 一般位置平面与正垂面相交求交线如图 21a 所示，平面 ABC 为一般位置平面，平面 DEFG 为正垂面。平面与平面求交线，可将问题转化为直线与平面相交求交点的问题。本例中平面 DEFG与ABC 的边 AB 和 AC 相交，若求出它 们的交点， 则它必是两个面交线上的两个点，而知道一条线上两个点，则这条线也唯一的确定了。根据前述求交点的方法，如图 21
19、b 所示，利用平面 DEFG 正面投影有积聚性的特点，求出 AB 与平面的交点 M，AC 与平面的交点 N，连接 mn 及 mn，则交线 MN 求毕。判别可见性。两个平面应一个面一个面依次进行。首先判别 ABC 上各边的可见性。AB 上哪段不可见，再判别 AC 上哪段不可见，BC 边未参与相交，并且 B、C 两点均在平面的上方，所以 BC 边可 见。其次判别平面 DEFG 各边的可见性。由于四边形各边均在 ABC 之外，未被遮挡，因而都是可见的。图 21c 所示为 当正垂面为 迹线表示时，交线的求法。基本作图二十三：一般位置平面与一般位置直线相交，求交点并判别可见性。图 22 一般位置直线与一
20、般位置平面相交求交点求一般位置直线与一般位置平面相交的问题，需借助辅助平面来解决。见图 23 原理图，直线 AB 与一般位置平面 CDE 相交，先过一般位置直线 AB 作一正垂面 P，该面与平面 CDE 相交，得一交线 FG，FG 与直线 AB 产生交点 K，则 K 点必是直线 AB 与平面CDE 的交点。图 23 求线面相交辅助平面原理图图 22 作图步骤：1）过一般位置直线 DE 作一个正垂面 P，用迹 线表示比较方便，作图方法见基本作图十四；2）求出 P 平面与平面 ABC 的交线 MN，作图方法见基本作图二十二；3）求出 MN 与 DE 的交点 K，则直线与平面的交点求 毕。4）判别可
21、见性。直线与平面在正面投影与水平投影上均有重叠，所以都要判别可见性，判别的方法是利用直线与ABC 边的重影点，先判别正面投影，然后再判别水平投影。方法见基本作图二十。基本作图二十四：两个一般位置平面相交求交线，并判别可见性。图 24 两个一般位置平面相交求交线一般位置平面与一般位置平面相交求交线的问题同样可以转化为线面相交求交点的问题。如图 24a 所示，ABC 和DEF 相交求交线可以先求出DEF 的 DE 边和 DF 边与ABC 的交点（反过来也一样），则它们必定是交线上的两点，连接两点则就是需要求的交线。图 24b 作图步骤如下：1）分别求出 DE、DF 与ABC 的交点 M、N，方法见
22、基本作图二十三；2）分别连接 mn和 mn，得交线 MN。3）判别可见性。两个平面在正面投影和水平投影上均有重叠，所以均需判别可见性。判别时，三角形凡参与相交的边都需要判别，注意不要漏掉任何一条边。 为使思路清楚起见，先从一个面入手，判别清楚后，再判 别另一个面。下面以正面投影为例，来讲解判别的方法。先从DEF 入手。该三角形上只有 DE 和 DF 边参与了相交。找一个重影点，如 1所在的重影点，它是 AC 边上的点与 DE 上的点的重影。找出它们的水平投影（图中略）可看出 AC 边上的点在 DE 边上的点的前面，因此在正面投影的 1处，DE 上的点不可见，因此可推出 1m这段线都 应在 AB
23、C 的后面，即不可见。因为 M 是交点，如果在它们之间还有点在ABC 的前面，那么必然还有一个交点，而这是不可能的。因为 mn是交 线的正面投影，再次推论可知， DF 边上 3n也应不可见，因为它与 1m同属一个三角形，并在交线的同一侧。EF 边未参与相交，并未被遮挡，因而可 见。再判别ABC 各边。从刚才重影点的判别知 AC 边可见。AB 边由于和 DEF 可见部分重叠，因此必然重叠处不可见。 BC 边未被遮挡，因而可见。对于水平投影的判别方法与此类似。基本作图二十五：过空间一点，作特殊位置平面的垂线。图 25 作直线垂直于特殊位置平面以过点向铅垂面作垂线为例。如图 25a 所示，平面 AB
24、CD 是铅垂面，过 K 点垂直于它的直线必然是水平线。由此可知，欲作的垂线其正面投影应是平行于投影轴的直线。由于垂线垂直于直线 AB 或 CD，而 AB、CD 是水平 线，根据直角投影定理，垂 线与 AB或 CD 的水平投影彼此垂直。因此作图步骤是：1）过 k 作 kl 垂直于 ab 或 cd，l 同时也是垂线与平面交点的水平投影；2）过 k作 kl平行于投影 轴，注意 l与 l 的连线应垂直于投影 轴。图 25b 当铅垂面用迹线表示时的作图。基本作图二十六：过空间一点，作一般位置平面的垂线。图 26 作直线垂直于一般位置平面作一般位置平面的的垂线，无法直接作出，根据直线垂直于平面的条件，需垂
25、直于平面中的两条相交直线，为便于应用直角投影定理，在平面内构建由一条水平线和一条正平线组成的交线，然后作同时垂直于它们的直线。如图 26，作图步骤：1）过 C 点作水平线 CD，得 cd和 cd。2）因垂线应垂直于 CD，根据直角投影定理，它们的水平投影应互相垂直，所以过 k 作kl 垂直于 cd。不够长可以延长。3）过 B 点作正平线 BE，得 be和 be。4）因垂线也应同时垂直于 BE，根据直角投影定理，它们的正面投影应互相垂直，所以过 k作 kl垂直于 be，则 kl和 kl 两投影所表示的空 间 KL 直线，就是所求的平面ABC 的垂线。基本作图二十七：过定点作一平面垂直于一般位置平面。图 27 过点作一平面垂直另一平面作图步骤：如图 27。1）过已知点 S 作平面 ABC 的垂线 SN，得 sn和 sn，作法见基本作图二十六。2）过 S 点任作一直 线 SM，则 SM 与 SN 构成的平面即 为所求。因 为包含 SN 的平面都是垂直于平面 ABC 的平面，所以该问题有无数多解。
