1、大学物理热学总结 I：基本假设与理论一、 热学概述项目 概念 内含 外延研究对象 物质的热运动 大量微观粒子的无规则运动微观热运动规律、对宏观现象的影响系统化 把物体的一部分或者空间某一确定区域从事物中分割出来加以研究，组成系统。孤立系统、绝热系统理想化 从自然复杂关系中人为地割断一些联系，从而抽象出一些理想化的系统，使问题简化比如理想气体研究方法演绎法 从几个基本假设推理出结论（注意与数学的不同，物理学的演绎需要有实验验证，数学不需要）宏观基本假设 特点：唯象、普适、可靠状态方程、热力学第一、二、三定律微观基本假设 特点：基本、理想、近似分子原子说（已经是事实） 、微观状态各态历经、独立子系
2、统各微观状态等几率分布基本假设宏观与微观的关系 宏观是微观的统计平均数学工具 微积分、微分方程基本工具物理工具 力学（牛顿定律）二、 平衡态理论概念 内含 外延根据与外界关系分类：开放系、封闭系、绝热系、孤立系根据组成成分：单元系（只有一种物质） 、多元系（有多种物质）热力学系统 作为研究对象的在给定范围内由大量微观粒子组成的体系。与之相对的叫外界根据均匀性分类：单相系（只有一种物态如气态，也叫均匀系） 、复相系（有多种物态，也叫非均匀系）广延量（与绝对量大小有关可以积累关）强度量（体现一种属性，与绝对量大小无关，不可积累）几何参量长度、面积、体积单位物质占的体积力学参量质量、力密度、压强化学
3、参量分子数（物质的量）分子数密度（单位体积分子数）状态参量 确定热力学系统的物理量热力学参量热量（后面讨论）温度（后面讨论）平衡态条件力学平衡：力学里面提到的的平衡化学平衡：各物质浓度和物象不变平衡态 在没有外界影响的条件下，系统的各个部分的宏观性质长时间内不发生任何变化的状态。热学平衡：无能量流动（注：只有在平衡态条件下状态参量才有意义。 ）三、各基本假设与基本理论理论名称 相关概念 相关假设 理论主体 推导思路 推论温度：（直观定义）标记物体冷热程度的物理量。特点：热力学特有、是状态参量、是强度量温标热力学平衡：两物体热接触经过长时间达到平衡态达到。可理解为两物体温度相同。热力学第零定律：
4、如果两个热力学系统都与第三个热力学系统处于热平衡，则它们彼此间也处于热平衡。温标：温度高低标准的制定。温标三要素：测温物质（热力学第零定律里面作为标准的第三个物质。测温属性：选定测温物质的某个物理量作为标记温度的属性（如压强、电阻）该属性的值要求与温度(1)是单调函数关系(2)有一个明确函数表达式（一般选择线性函数关系的材料）固定温标点：规定一个标准点的状态（各种状态参量）定义这个状态的温度。例：热力学温标：定义水的三相点（这是个状态，就是水固液气共存的状态下）温度是273.16K。推理 各种温标，如摄氏、华氏用 t 代表华氏，T代表摄氏，则：t=32+ T95绝对温标（单位开尔文）：T=t+
5、273.15T 单位是开尔文，t是摄氏度。查理定律：p=p0(1+p t)t 是摄氏温度理想气体温标：测量同一物体，不同温度计的值不同，但是压强趋近于 0时越来越接近相同值。形成理想气体温标。下列两种温标都是压强趋近于 0 的理想气体温标。盖吕萨克定律：V=V0(1+v t)t 是摄氏温度定体温标：T=273.16(p/ptr)T 为当前温度（开尔文） ，p 是当前压强，ptr 是水三相点压强气体实验定律理想气体：分子只有质量没有体积。理想气体的性质与它是什么物质的气体无关。气体如果压强趋近于 0 可以看成理想气体。波伊尔定律：对于理想气体 pV=C（常数）实验定压温标：T=273.16(V/
6、Vtr)与上面类似。理想气体状态方程：pVm=RTp：压强Vm：摩尔体积R：气体常数T：温度理想气体状态方程：pV 乘积是状态 的一个函数 c()， 为三相点时候是一个常数用定体积温度计温标公式用波伊尔定律变形温标公式，建立 T 与 c 关系式。由理想气体状态方程推出道尔顿分压定律：混合气体各组分分压比等于体积比。（注：“分压”是一个假想定义，为处理问题方便。真正的分压不存在，一个混合气体处处压强都相等，等于总压。分压只是提出总压相当于被每个组分分担了。 ）引入三个参量等压膨胀系数=1等体压强系数=1等温压缩系数= 1它们有关系： =状态方程（重点）三相图：压强p、体积 V、温度 T 的三维坐
7、标图。三个物态均在一张图中体现。PV 截面图：不同 T 的等温线与饱和线、临界点概念（略） 。PT 截面图：可看出三相点。理想气体方程中假设理想气体。范德瓦尔斯方程：(p+ )(Vm-b)=RT2a、 b 称为范德瓦尔斯修正量。范德瓦尔斯方程：修正理想气体状态方程。分子有体积，而且碰撞。由固有体积以及碰撞加起来所减小的体积是 b 应该减去分子间有相互作用力，对压强有该变量（叫内压强） ，与粒子数成正比，也就是正比于摩尔体积，设定比例系数是 a。由范德瓦尔斯方程引出等温线与临界点概念：T=T0 时把范德瓦尔斯方程展开成 F(Vm)=0 的形式，这个方程没有极值表示 PV 截面图上面的临界点，故令
8、 =022=0得到临界值=3=827理想气体压强公式冲量：动量的该变量，或者说传递的动量值。压强：单位时间内作用在单位面积上的冲量平均值。理想气体微观模型：理想气体由大量微观粒子组成，每个粒子都是质量为 m 的质点，服从牛顿第二定律。粒子间无相互作用，只与器壁发生碰撞，而且都是弹性碰撞理想气体分子运动完全无序，各向同性。细致平衡原理：平衡态气体中能实现的任一正向过程，也必能实现一个逆向过程与之平衡。 （例如，右边有一个分子与器壁碰撞，左边也一定有一个以完全相反角度与器壁碰撞）压强公式=132p：压强n：粒子数密度（单位体积里面分子个数）m：分子质量：速率平方的平均值2设单位体积速度是 的粒子有
9、n( )个。每个粒子传递的动量 ，2故冲量微分=02()2用细致平衡原理把条件去掉，这0样系数 2 消失：=()2压强：=()2用 x 方向速度平方的平均值简化公式：由平均数定义2=()2代入得到：p=mn2利用细致平衡原理进一步阐释：22=132就得到=132由压强公式进而得到=23:分子平均 动 能代入公式p=注意=得到=引入波尔兹曼常数=得到=23一个重要结论：理想气体温度正比于组成系统微观粒子的平均动能！热力学第零定律解释：热交换源于碰撞，用力学算出= 212(1+2)2(121222 )故两物体如果都和第三物体温度一样，则它们平均动能都和第三个物体一样，由等式传递性它们平均动能一样，
10、从而温度一样。分子多次碰撞平均动能互相交换，最终平衡。爱因斯坦扩散方程布朗运动：大颗粒在液体中受液体分子无序碰无序却动力长时间平均值为 02=2:粒子运动距离平方的平均值。2较复杂，略。 无。撞产生的运动。是在无序驱动力下的运动。流体中斯托克斯公式：f=-6avf：阻力a：物体半径：粘滞系数v：运动速度布朗粒子平均能量=32D：爱因斯坦扩散系数=6T：温度麦克斯韦分布律（重点）数学概率论基础知识，重点是概率密度函数的概念、高斯分布（即正态分布）以及泊松分布（略） 。数学上多重积分、广义积分知识（略） 。气体分子通过碰撞达到并维持平衡态平衡态时分子的位置与速度的概率密度函数不随时间变化分子位置均
11、匀分布，速度分量为高斯分布速度分布（y、z 方向完全相同）：()= 2exp(22)综合公式：(,)=( 2)32exp(2+2+22 )速率分布()=42( 2)32exp(22)速率分布的特征：最概然速率（概率密度最大的速率）：=2平均速率：=8方均根速率（速率平方求平均数再开根号）：=2=3确定函数：(1)由于平衡态各向同性，这个函数有旋转不变性，也就是速度分布只和速率有关：(,)=(2+2+2)(2)方向独立：设每个方向分布函数是 g(2+2+2)=(2)(2)(2)(3)对上式两边取 ln，再对各自求偏导数，由2三个方向独立性，这个偏导数值应该为一个负的常量：(2)2 =(2)2 =
12、(2)2 =(2)2 =综上选择高斯分布的公式为()= 12exp(22)y、z 同理无量纲速率：定义任意速率值，系数 u=是无量纲速率。这样得到无量纲速率分布()=422麦克斯韦速率分布的实验检验：两个同心圆筒，外层转动，内层分子飞出来打到外层，根据飞行途中外层转过角度来判断飞行了多少时间，再用半径差除以时间算出速率，发现速率分布非常符合麦克斯韦分布率。逃逸速度。用方均根速率比较一个星球的第二宇宙速度，算出一种气体全部逃出某星球大气层所需时间。由各向同性得出=12可以得=2出= 之后得出速度分布公式。(2+2+2)=(2)(2)(2)得到速度分布的速率表示（球坐标）：(,)=( 2)32(2
13、2)再对 全角、 度积分得到速率分布。由概率密度函数定义：最概然速率：f(v)极大值，用求导算出。平均速度=0()平方的平均值2=+0 2()方均根速率 =2可以得出三个特征。泻流原理 平均自由程：粒子能保持不受碰同麦克斯韦分布率的基本假设。结论：单位时间内碰撞器壁单位面积的气体粒子数：（碰壁数公式的推导）不妨设通过泻流分离物质：撞而自由运动的平均距离。泻流：粒子从线度小于平均自由程的小孔里面射出的现象。=14结论：泻流粒子的速率分布()=()其中 是气体麦克斯韦分布的平均速率，f(v)是麦克斯韦速率分布表达式。结论：泻流出来的粒子平均速率泻流 =98平方的平均值泻流 =4孔在根据 的定义，d
14、t 时间碰在 dA 面积上的粒子数是=(,)穿过孔要求0所以对上式从 0 到+积分，其余从-到+积分，再约去 dtdA 可以得到= 2+0 (22)化简得到=14（泻流粒子速率分布的推导）由=(,)(1)做球坐标变换=2sin(2) =cos(3)N=dtdsdN= F(v)= 由上述公式整合出F(v)=()cossin 对全角度积分得到速率分布公式，再根据定义得到泻流平均速率与平方平均速率公式。根据=14得到12=1212不同物质泻流量不一样，可用于分离物质。麦克斯韦波尔兹曼分布律（重点）广义坐标 相空间（理论力学知识）：根据牛顿力学，一个粒子如果确定了x、y、z 坐标位置以及三个方向动量
15、，运、 、 动就完全确定，所以用一个 6 维广义坐标表示物体状态，这个广义坐标组成的 6维空间叫相空间。子空间的划分：把大的相空间划分成一块一块，大的相空间用 表示，子空间用 表示，同样用这两个符号表示它们的体积。数学排列组合知识。N 个粒子的状态分到 k 个不同子空间中，要是每个粒子都看成不同的，有种不同分法（见高中排列组合知识） ，但是把粒子都看成一样的，就相当于把 N 个一样的小球用 k-1 个挡板隔开。等概率原理（统计物理基本假设，由波尔兹曼大胆提出）：对于处于平衡态的孤立系统，其各个可能的微观态出现的概率都相等。（注：这个假设说的是如果把每个粒子都看成不一样的，那么它们处于各个子空间
16、的分布情况都是均等的。但是如果把所有粒子看成无差别的，则分布概率有差别，有最大概率分布。 ）（历史：波尔兹曼提出这个假设被很多包括马赫在内的物理学家批驳攻击， 不能被世人接受。最终波尔兹曼因此抑郁而自杀。但随着物理学的发展，这个假设最终逐渐被物理学界接受，而且成为统计物理的根基。 ）第 l 种状态的粒子数最可能的分布：=：第 l 个子空间里面最有可能的粒子数。：系数、 ：第 l 个子空间的体积。：在第 l 个子空间里面每个粒子的能量。设大的相空间被分割成 k 个子空间，共有 N 个粒子。有一种状态是：第 l 个子空间里面有 个粒子，一个粒子处于这一个子空间的概率 。()则对于这种状态的概率是：
17、()=1()宏观看每个粒子都一样，所以这种分布从宏观看它的概率应该是：()= !=1!=1()求其几率最大的分布，用拉格朗日乘子法：为了简便计算，将 取对()数 。()由约束条件=1=1构造出一个函数()=1()、 是条件极值引入的新变麦克斯韦分布就是麦克斯韦波尔兹曼分布的最大概然分布（也就是求出的问题） 。、 定义配分函数：(,)=1由=1=1立即得出：=1=所以=()可以计算出 =考虑到粒子动能=22（p 是动量）把配分函数的求和看成积分形式，有：=+22+22量。再对其求变分等于 0 算出最大概然分布=()其中()=引入=+即得到=+22=(2)32由=ln()得到=1(2)32（n 是
18、粒子数密度）由 =得出=32另一方面由理想气体状态方程与压强公式综合得到：=23=23=可以得到=1=ln(2)32 带回方程=再由速度分布定义公式=(,)就可以得到麦克斯韦速度分布表达式。涨落：当系统粒子数不太大时，系统分部可能明显偏离麦克斯韦波尔兹曼分布。偏移出现的概率：(+)泰勒展开，得(+)() =12=1()故几率P=exp12=1()其中 为偏移率波尔兹曼分布 能量按自由度均分原理准理想气体：分子只有动能，没有势能，分子可以有大小与结构。理想气体、准理想气体。波尔兹曼分布：有势能的系统，势能影响粒子的空间分布。设坐标(x,y,z)=r 则有()=0其中 由积分确定，对 r 的范围积
19、0分，结果应该为 1。进一步结论：麦克斯韦分布表现动能影响粒子在动量空间的分布：()=( 2)3波尔兹曼分布表现势能影响粒子在几何空间的分布，二者可以综合：()=能量按自由度均分原理。在平衡态下，非相对论粒子的每一个自由度有平均能量 。12对于 t 个平动自由度、r 个转动自由度、s 个振动自由度的分子，其1、以地球表面附近重力势能为例。推导等温压强公式：取截面dS，高度 dz 的空气柱，上、下方压强差 dp，粒子数密度是n。压强与重力平衡：dpdS=-nmgdzds(1)状态方程P=n得 dp=代入(1)得=积分得=0其中 是地面0z=0 的粒子数密离心机原理：波尔兹曼分布（离心势能） 。准
20、理想气体内能。=2(+2)非相对论理想气体定体热容：理想气体体积一定升高单位温度所增加的内能。=()=2(+2)摩尔定体热容每摩尔气体的定体热容：=12(+2)能量为：=12(+2)注单原子分子 t=3 r=s=0刚性双原子分子 t=3 r=2 s=0非刚性双原子分子 t=3 r=2 s=1注：温度不太高的情况下看成刚性分子。度。再由理想气体状态方程得到：=0等温气压公式。推导粒子分布：粒子总数=+0 得到N=0f(z)= 从而()=2、以转动为例，推导能量按自由度均分定理。由波尔兹曼分布得到角速度分布()= 2(22)平均转动动能=+122()计算得=12近平衡态气体分子平均自由程近平衡态：
21、系统处于非平衡态，但是又比较接近平衡态。根据经典力学相对性原理，气体中分子互相碰撞等效为一个质量分子的平均自由程（保持不受碰撞而自由运动的平均距离）：设系统只有一种分子，则1、平均自由程推导相对速度分布仍然是麦克斯韦单位体积内总碰撞次数分子间的碰撞瞄准距离：分子B 向分子 A 靠近的时候 B 的球心与 A 球心的垂直距离，记为b。b 越大 B 与A 碰撞后偏离原来轨道的量越小，b=0 为对心碰，B 原路反弹。设分子 B 直径为 ，2A 的是 ，则112(1+2)时不碰撞。 （可画图想象）碰撞截面：能发生碰撞的瞄准距离最大值的圆面积，=14(1+2)时1=2=2二体折合质量：=121+2对于物体
22、 1 与物体 2 之间相互作用力，有= u 是 1 与 2 相对速度。详见力学知识。为折合质量的分子以相对速度在和其他静止的分子碰撞。=2：平均自由程：碰撞截面面积T：温度p：压强气体分子自由程分布：()=1（泊松分布）分布，只是 m变为折合质量：()=( 2)32422平均相对速度=8若只有一种气体分子，则=2=2假设一个分子运动，其余静止，则能与运动分子碰撞的分子一定处在一个半径为分子直径 d（也就是截面积是碰撞截面）的圆柱筒中。故 t 时间碰撞次数为=(2)碰撞频率（单位时间碰撞次数）为：=2平均自由程：= 12=2（注：如果是电子与原子核组成系统，电子体积很小看成质点，原子核速度很慢看
23、成静止，则，且碰撞=截面是分子碰撞=12=2截面 d的四分之一。 ）2、自由程分布设分子走 距离不碰撞的概率是，则走 距() 离不碰撞的概率是1- 。再走 ()小距离不碰撞概率是 1-。 ()可以泰勒()展开 =()所以走 不+碰撞概率是1- (+)=(1- ()(1)解微分方程得()=1则概率密度函数是()=由平均值为 可算出 ，所=1以得到()=1输运过程的宏观规律弛豫现象：在均匀恒定的外部条件下，当热力学系统稍有偏离时，粒子间相互作用（碰撞）使之向平衡态趋近的现象。弛豫时间：弛豫现象的持续时间。输运过程：在孤立系统中，由于 粘滞想象动量流粘滞定律=:粘滞系数（常数）：速度在垂直流层方向的
24、梯度S：流层间接触面积详见力学相关教材力就是一种动量流，根据上面公式定义动量流密度（单位面积动量流量）：实验 动量、能量、质量的传递，各部分之间宏观相对运动、温度差异、密度差异逐渐消失，系统从非平衡态到平衡态，这些过程统称为输运过程。=负号表示了动量延速度减小的方向运输。菲克扩散定律（密度流）：定义了质量流密度（单位面积密度流量）：=D：扩散系数（常数）：密度梯度负号表示质量向密度小的地方运输傅里叶传导定律（热量流）定义了热量流密度（单位面积热量流量）：=：热导率（常数）：温度梯度负号表示热量向温度低的方向传导。输运过程微观解释 气体比较稀薄，气体三分子碰撞的可能性可以忽略。但是平均自由程还是
25、远小于容器的尺寸。局部平衡假设：状态参量随空间变化不快，使得在系统中任取小单元，每个小单元可看成一种平衡态，不同小单元之间平衡态不同。气体分子间没有相互作用势。粘滞系数=23：碰撞截面：一个常数，等于 1532扩散系数=23：一个常数，等于916热导率=23：定体摩尔热容：一个常数，等于7664设输运方向是 z方向，根据局部平衡假设，设两个高度是平均自由程的小单元（A 和 B）处于两种不同的平衡态，粒子在两小单元之间粒子互相穿过， 时间穿过 截面的粒子数是=16设每一种粒子带有一种叫做 q 的物理量（可以是密度、热量、到动量等等） 。则从 A 到 B 传递的 q 为粘度、热导率、扩散系数之间的关系根据公式有 =3075=1815极度稀薄气体（近似真空） ，平均自由程等于器壁尺寸 L，代入公式可得=23 2=23 2=6()()流量：=6()()从 A 到 B 的粒子要从 A 的平衡态过渡到 B 的平衡态，要有一个弛豫时间，设在弛豫时间内走过距离为 ，设 AB 分界面为则由数学=0导数定义，把看成 z 的导数，看成 z 的微分，有=6()=02= 36=风间 程 设单 位 =1 ：， ()=0分别将动量、质量、热量代入方程可以得到公式。=23 2
