1、第 七 章,梁 的 弯 曲 内 力,Shear Forces and Bending Moments,教学要求与教学目标,1.了解工程实例中的弯曲问题与简化方法，理解平面弯曲概念； 掌握梁的内力计算方法，熟练绘制剪力图、弯矩图； 掌握载荷、剪力、弯矩的关系并用于绘制剪力弯矩图； 了解叠加法做内力图。,2教学重点和难点： 剪力、弯矩的符号约定与简单计算方法；剪力图、弯矩图的绘制；剪力、弯矩、荷载的关系与内力图简单作法应用。 3习题课安排： 剪力弯矩计算，剪力、弯矩图绘制及简单作法求解实例。,1 弯曲的相关概念,外载荷矢量垂直于杆件轴线时，杆件将产生弯曲变形,以弯曲为主要变形的构件，称为梁,垂直于
2、梁轴线的外力，又均作用在梁的某 个纵向对称面内，则梁的轴线将弯成位于 此对称面内的一条平面曲线，此种弯曲称 为平面弯曲。,梁的类型（简化为）：,A,B,外伸梁： 一端或两端伸出支座之外的简支梁,梁的受力特点是在轴线平面内受到力偶矩或 垂直于轴线方向的外力的作用。,悬臂梁 ： 一端为固定端，另一端为自由端的梁,简支梁： 一端为活动铰链支座，另一端为固定铰链支座,2.梁的内力计算,A,C,B,0.2m,用截面法分析C处截面的内力:,由整体的平衡方程易求得：,以一假想平面在C处将梁截开， 选左段为研究对象,由平衡条件,C截面上一定存在沿铅垂方向的内力，这种与 截面平行的内力称为剪力，以Q表示,可知,
3、由平衡方程确定剪力的大小及实际方向,（C截面上剪力的实际方向向下）,又由平衡条件,由平衡方程确定弯矩的大小及实际方向：,C截面上一定存在另一个内力分量， 即力偶,称为弯矩，以M表示。,可知,(一般将所求截面的形心作为力矩平衡方程的矩心),（C截面弯矩的实际方向为逆时针）,剪力与弯矩的符号规定：,因左、右截面上剪力、弯矩的方向一定是相反的 。,故对弯曲内力的符号做如下规定：,有使研究段产生顺时针旋转趋势的剪力为正，反之为负； 使保留段产生下凸变形的弯矩为正，反之为负。,3.内力的正负规定:,剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。,弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。
4、,Q(+),Q(),Q(),Q(+),M(+),M(+),M(),M(),例71图示简支梁，在截面C处受集中力P作用， 试求C+及C- 截面上内力。,在C -处，将梁截开，取左部分为研究对象,在截面上，按正向加上剪力与弯矩,解：,由整体的平衡方程可求得约束力为：,由平衡方程,得,1,1,由,得,1,在C +处，将梁截开，取左部分为研究对象,在截面上，按正向加上剪力与弯矩,由平衡方程,2,得,2,由,C,2,得,2,3.剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图,沿梁轴方向选取坐标x，以此表示各横截面的位置，建立梁内各横截面的剪力、弯矩与x的函数关系，即,。,剪力方程,弯矩方程,若以x为横坐标，以Q或M
5、为纵坐标，将剪力、弯矩 方程所对应的图线绘出来，即可得到剪力图与弯矩图， 这可使我们更直观地了解梁各横截面的内力变化规律。,例72一悬臂梁AB（图79a），右端固定，左端受集中力P作用。 作此梁的剪力图及弯矩图。,（1）列剪力方程与弯矩方程 以A为坐标原点，在距原点x处将梁截开， 取左段梁为研究对象， 由平衡方程求x截面的剪力与弯矩,，,以上两式即为AB梁的剪力方程与弯矩方程。,解：,依据剪力方程与弯矩方程作出剪力图与弯矩图,作梁的内力图的 一般步骤,求约束反力,受力图,例73图示简支梁，在截面C处受集中力P作用，试作梁的 剪力图与弯矩图。,由平衡方程求支反力：,解：,建立剪力方程与弯矩方程：
6、,AC段： A为原点，在距A点X1处截取左段梁作为研究对象,例73图示简支梁，在截面C处受集中力P作用， 试作梁的剪力图与弯矩图。,BC段：B为原点，在距B点X2处截取 左段梁作为研究对象,根据平衡条件分别得：,根据AC、BC两段各自的剪力方程与弯矩方程， 分别画出AC、BC两段梁的剪力图与弯矩图。,从剪力图与弯矩图可以看出，在集中力作用处， 其左、右两侧横截面上的弯矩相同， 而剪力则发生突变， 突变量等于该集中力之值。,有什么一般规律？,例74一简支梁AB受集度为q的均布载荷作用（图710a）。 作此梁的剪力图与弯矩。,解：求支座反力,列剪力方程与弯矩方程 在距A点x处截取左段梁为研究对象，
7、 由平衡方程,得,得,由,由剪力方程及弯矩方程可画出剪力与弯矩图,例75图示简支梁，在截面C处受到矩为m的集中力偶作用， 试作梁的剪力图与弯矩图。,解：1）计算支反力，由平衡方程求得：,，,2）建立剪力方程与弯矩方程,，,分别于C与C+处将梁截开， 分别取左段与右段为研究对象， 并分别以Q1 、M1和Q2、M2代表它们各自的内力，可求得：,据剪力方程及弯矩方程，画剪力与弯矩图。,由内力图可以看出，在集中力偶作用处， 其左右两侧横截面上的剪力相同，但弯 矩发生突变，突变量等于该集中力偶之矩。,有什么一般规律？,4.载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,用相距dx的两个横截面m-m、n-n从梁中切取
8、一微段进行分析,由平衡方程,得：,由平衡方程,（略去其中的高阶微量）,得：,由（1）、（2）两式又可得：,以上三式即为剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系式。,（1）,（2）, （3）,使用关系式画FQ、M图(简易作图法）,P110：规定，均布载荷向上为正,1,2,3,规律: 当q=0时， ,Q(x)=常数,Q图为一条水平直线 ,M图为一条斜直线 Q(x)0,M图向上倾斜,Q(x)0, M图向下倾斜, q=常数,Q图为一条斜直线q0, Q图向上倾斜,M为抛物线, q0, M图上凹 q0 M图下凹,q0, Q图向下倾斜,3.当有集中力时，,4.当有集中力偶时，,Q：有突变 突变量=F,M：斜率由突
9、变 图形成折线,Q：无影响,有突变 突变量=M,小结:q=0, Q=常数, M一次函数q=常数, Q一次函数, M二次函数q一次函数, Q二次函数, M三次函数 注：在Q(x)=0的截面上,M图有极值。,Mmax可能发生截面Q(x)=0处集中力作用处集中力偶作用处,以上关系可用于验证所画Q、M图的正确性,例 利用外力和内力间的关系（简易作图法）画下列各图示梁的内力图。,解:,qa,AB段：,Q图水平线,控制值：一个,求法：、直接求 取左段：向上的力减去向下的力,QB= - qa,M图斜直线,因为Q 0，故M图向下斜,控制值：两个,MB=0,qa2,qa,MA左求法：,MA左= - qa2,AC
10、段：,q 0,Q图斜直线,控制值：两个,A处无集中力，故 QA左= QA右,qa2,qa,B,C,QC的求法：,QC=qa - qa=0,取截面C左侧部分梁上的荷载为研究对象：,QC=左侧垂直向上作用荷载 之和 左侧垂直向下作用荷载之和,即有：,qa2,qa,B,C,M图二次曲线,控制值：三个，两个端点值加一个极值或驻点值,A处集中力偶，故,MC的求法：,Q=0点对应MC， 即C点即为极值点。,MA右= MA左 - qa2= - 2qa2,2qa2,例 用简易作图法画下列图示梁的内力图。,解：求支反力,左端点A：,B点左：,B点右：,C点左：,M 的驻点：,C点右：,右端点D：,q,qa2,qa,RA,RD,Q,x,qa/2,qa/2,qa/2,A,B,C,D,qa2/2,M,qa2/2,3qa2/8,x,qa2/2,3、画剪力图和弯矩图，并求出FS，max和Mmax。设l，Me均为已知。,
