1、第九章 机械运动高二物理讲义：赵春光12第四节 单摆知识要点一、单摆：细线一端拴上一个球，另一端固定的悬点上，如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置叫做单摆。单摆与质点一样也是一种理想化模型，它是为研究摆的振动而抽象出来的，这种模型即一段无质量的细线上悬挂一质点。二、单摆振动的回复力：将单摆拉离平衡位置 O，然后放开，摆球将沿着以平衡位置 O 为中点的一段圆弧做往复运动，如图 9-31 所示，对摆球进行受力分析可知：单摆振动所需的回复力，是由重力 mg 沿圆弧切线方向的分力 G1 提供的，即：F mgsin。三、单摆的简谐运动： 当摆角很小，且用弧度做单位时
2、，sin，x/L（ x 为摆球 图 9-31偏离平衡位置的位移，L 为摆长） ，即：sinx/L，所示 Fmgx/Lkx，式中kmg/L。可见，在偏角很小的情况下，单摆所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，单摆做简谐运动。四、单摆振动的周期性：影响单摆周期的因素：用控制变量法进行实验研究，结果表明，单摆做简谐运动的周期与振幅无关（这种性质叫做单摆的等时性） ；与摆球质量无关；与摆长有关，摆长越长，周期越大。单摆振动的规律：单摆做简谐运动的周期 T 跟摆长 L 的二次方根成正比，跟重加速度g 的二次方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关。单摆的周期公式为：T2L/g说明：周期为 2s 的
3、摆叫秒摆，秒摆的摆长约为 1m。五、利用单摆测重力加速度：由周期公式：T2L/g，可得 g4 2L/T2。故只要测出摆长 L（LL r，L 为摆线长，r 为小球的半径）和周期 T，即可计算出重力加速度 g 的数值。也可以分别测出当摆线长为 L1 和 L2 时的周期 T1 和 T2，由周期公式有T12(L 1 r)/g ， T22(L 2 r)/g ， 联立消去 r 可得:：g4 2(L2 L 1 )/(T22T 12)。说明：1、摆长是悬点到球心之间的距离，公式中的 L 应理解为等效摆长。例如 1，金属钟摆的摆长随温度（冬夏）略有变化，温度升高，摆长变长，周期变大，振动变慢。例如 2、漏摆，在
4、振动过程中，随水和沙子的漏出，质心位置变化，使摆长变化，先摆长变长，再变短，再变长，周期先变长再变短。例如 3、双线摆，等效摆长 Ll cos， （如图 9-32 所示） 图 9-322、公式中的 g 应理解为等效重加速度 g 。AFF G1G2PmgO l l第九章 机械运动高二物理讲义：赵春光 13随着单摆所在地位置而变化。随离地面的升高，g 变小，T 变大，振动变快；随纬度的增大，g 变大，T 变小，振动变快；从地球拿到月球，g 变小，T 变大，振动变快。随加速系统的状态变化 g 而变化。例如 1，当单摆运动的同时，悬点沿竖直向上做匀加速运动，其等效重力加速度为 g ga，大于当地的重力
5、加速度，单摆振动周期变小，振动变快。例如 2、若悬点沿竖直向下做匀加速运动，则等效重力加速度为 g ga，小于当地的重力加速度，单摆振动周期增大，振动变慢。例如 3、若单摆在轨道上运动的航天飞机内，摆球完全失重，回复力为零，则等效重力加速度 g 0，所以周期为无穷大，单摆将不再摆动。例如 4、当单摆有水平加速度 a 时， （如加速运动的车厢内）其等效重力加速度g g 2a 2。例、光滑斜面倾面为，斜面上有一辆挂有单摆的小车，如图 9-33 所示，在小车下滑过程中单摆同时摆动，已知摆长为 L，求单摆的振动周期。解析：当单摆与小车相对静止加速下滑时，悬线拉力为Fmgcos ，故单摆做简谐运动时的等
6、效加速度g gcos。所以振动周期 T2L/gcos， 图 9-33六、摆钟走时准确性的调整原理对下次时不准的摆钟问题，解题时抓住：1、 由于摆钟的机械构造所决定，钟摆每完成一次全振动，摆钟所显示的时间为一定的，也就是走时准确的摆钟的周期 T。2、 在摆钟的构造不变的前提下，走时慢的摆钟，在给定时间内全振动的次数少，周期偏大，钟面上显示的时间就慢。3、 根据单摆的周期公式 T2L/g，在同一地点，重力加速度 g 值相同，走时快的钟，T 偏小，原因是钟摆摆长短；走时慢的摆钟，T 偏大，原因是钟摆摆长偏长。在不同地点的同一摆钟，摆长 L 一定，若走时快，T 偏小，原因是当地的 g 值偏大，反之亦然
7、。4、 无论摆钟走时是否准确，钟面上显示的时间 t 显 T 全振动次数，其中 T 为走时准确的摆钟的周期，对走时不准确的摆钟，计算其全振动的次数，不能用钟面显示的时间除以其周期，而应用实际的时间除以其周期。例如，某一单摆在北京振动一次指针指示时间为 T0，则在南京振动一次时，指针指示时间也为 T0，因此指示与相等时间内振动次数成正比，则 t1/t2N 1/N2，所以指示时间与振动频率成正比，即 t1/t2f 1/f2。当 g 一定时，t 1/t2L 2/L1；当 L 一定时，t 1/t2g 1/g2r 2/r1；（r 1、r 2 为振子到地心间间距） 。所以当振动周期变大时，钟会变慢，振动时间
8、减小时，钟会变快。典型例题例 1、单摆的周期在发生下列情况量，将会变大的是（ ）A增大摆球的质量；B减小摆长；C在同一高度把单从赤道移到两极；D在同一纬度把单摆从海平面移到高山上。 Fmg第九章 机械运动高二物理讲义：赵春光14解析：由单摆振动规律知单摆的周期与摆球的质量无关，故增大摆球质量单摆的周期不变，A 错误。单摆的周期与摆长的二次方根成正比，故减小摆长周期也将变小，B 错误。单摆的周期与重力加速度的二次方根成反比，而在同一高度从赤道到两极重力加速度逐渐增大，故在同一高度把单摆从赤道移到两极，周期变小，C 错误。在同一纬度把单摆从海平面移到高山上时，由于重力加速度变小，故周期变大，D 正
9、确。正确答案为 D。例 2、一个每昼夜要快 5 分钟，如果要使它走时准确，应使它的摆长增长还是缩短？摆长的改变量是原来摆长的多少倍？解析：设该摆钟走时准确时摆长为 L0，周期为 T0，分针转过 24 周，恰好历时 24 小时，摆振动了 n0 次。当它每昼夜快 5 分钟时，摆长为 L1，周期为 T1，在 24 小时内振动次数为 n1，则：n 1n 011/(24 12)289n 0/288。相同时间内振动次数 n1n 0，而 n1T1n 0T0，故 T1T 0，由周期公式 T2L/g，可知：L 1L 0，故要使摆钟走时准确应使它的摆长增长。将 n1，T 1，T 0 的表达式代入等式 n1T1n
10、0T0，得：(289n0/288)( 2L 1/g)n 0( 2L 0/g)，L 1(288/289) 2L0，LL 0L 1 1(288/289) 2L00.007L 0，L/L0.007例 3、一物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的 1/4，在地球上走得很准的摆钟搬到此行星上后，此钟分针转一整圈所经历的时间实际上是（ ）A1/4 小时； B1/2 小时； C2 小时； D4 小时。解析：由题意知，g g/4 ，T 2L/g 2(2L/g )2T，设分针转一整圈，摆的振动次数为 n0，则在地面上时所经历的时间为 t1n 0T1 小时，在行星上时所经历的时间为 t1n
11、0T n 02T2t 12 小时，故正确答案是 C。例 4、如图 9-34 所示，一只吊灯 A，如果灯的大小和线的长度相比是很小的，B、C 两点是在水平的天花板上，OB 和天花板间的夹角为 ，而且 OBOAL，当吊灯在垂直于纸面的平面内做小振幅的振动时，振动频率为_。解析：当吊灯静止时，作用于 O 点为三个力平衡，线 OB 和 OC 作用在 图 9-34O 点的合力沿 OO ，因此此摆可等效成摆长为 AOOO 的单摆。因此，吊灯做小角度垂直于纸面的摆动时，可等效成单摆的运动，其等效摆长为：LAOOO LLsin，f1/T(1/2)g /L(1/2)g /L(1sin ) 例 5、如图 9-35
12、 所示，两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触，现将摆球 A 在两摆线所在平面内向左拉开一个小角度后释放，碰撞后，两摆球分开各自做简谐运动，以 mA，m B 分别表示摆球 A、B 的质量，则（ ）A如果 mAm B，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧； 图 9-35B如果 mAm B，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧；C无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置的右侧；D无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置的左侧。解析：单摆的振动周期与振幅（摆角小于 5）与摆球质量无关。因为两单摆摆长相等，故周期相等，下一次碰撞都各自经历 T/2，所以下一次碰撞一定发生在平衡位置。故
13、答案为 CD。B OCLLAO左 右A B第九章 机械运动高二物理讲义：赵春光 15同步训练 知识掌握1、通过研究单摆的周期和振幅、摆球的质量及摆长的关系的实验，发现单摆的周期跟单摆的_和_没有关系，跟_有关，荷兰物理学家惠更斯定量研究了单摆的振动现象，发现单摆的振动周期跟_有关，跟_无关，确定了单摆振动的周期公式为_。2、振动着的单摆的摆球，通过平衡位置时，它受到的回复力（ ）A指向地面； B指向悬点；C数值为零； D垂直摆线，指向运动方向。3、关于单摆及其振动的叙述，哪一条是不正确的（ ）A对于单摆来说，摆线的伸缩要小到忽略不计，摆球的直径比摆线要短得多，摆球的质量比摆线要大得多；B放开摆
14、球后，摆球在重力和线的拉力作用下做振动；C只要满足单摆的条件（指 A 所列条件） ，其振动就是简谐运动；D单摆的振动跟弹簧振子的振动不同，它是沿一段圆弧的往复运动。4、一个单摆的振动周期是 2s，求下列作简谐运动情况下单摆的周期摆长缩短为原来的 1/4 时，单摆周期为 _s。摆锤的质量减为原来的 1/4 时，单摆的周期等于_s。振幅减为原来 1/4 时，单摆的周期等于 _s。5、当摆角很小时，单摆的振动可以看做是简谐运动，此时单摆的回复力是（ ）A摆线的拉力与摆球重力的合力；B摆线的拉力与摆球重力沿圆弧的切向分力的合力；C摆线的拉力与摆球重力及做圆周运动的向心力的合力；D摆球重力沿圆弧的切向分
15、力。6、一单摆从甲地移到乙地，振动变快了，其原因及校准方法正确的是（ ）A甲地的重力加速度大于乙地的重力加速度，将摆长适当缩短；B甲地的重力加速度大于乙地的重力加速度，将摆长适当增长；C甲地的重力加速度小于乙地的重力加速度，将摆长适当缩短；D甲地的重力加速度小于乙地的重力加速度，将摆长适当增长。 能力提高7、甲乙两单摆，同时做简谐运动，甲完成 10 次全振动时，乙完成 25 次全振动，若乙的摆长为 1m，则甲的摆长为_ m。8、如图 9-36 所示为一双线摆，它是在一水平天花板上用两根等长的细线悬挂一小球构成，绳的质量、球的大小可忽略，设图中 和L 已知，当小球在垂直于纸面的平面内作摆角小于
16、5的振动时，频率为_。 图 9-369、一单摆摆长为 98cm，t0 时开始从平衡位置向右运动，则当 t1.2s 时，下列关于单摆运动的描述正确的是（ ）A正向左做减速运动，加速度正在增大；B正向左做加速运动，加速度正在减小；C正向右做减速运动，加速度正在增大；D正向右做加速运动，加速度正在增大10、某同学利用单摆测定本地的重力加速度，他考虑了若干方案，其中正确的是（ ）L第九章 机械运动高二物理讲义：赵春光16A测出单摆的振幅，摆长和振动周期；B测出单摆的摆角，摆球的质量和振动的振幅；C摆角只要小于 5，其实际角度不必测量，但需测出单摆的摆长和振动周期；D必须测出摆角大小，摆长和振动周期。1
17、1、某学生利用单摆测定重力加速度，测得摆球的直径是 2.0cm，悬线长是 99.0cm，振动30 次所需时间为 60.0s，则测得的重力加速度值等于_m/s 2。12、如图 9-37 所示，在单摆悬点的正下方 L/2 处钉一钉子，当以小角度 释放小球时，这个单摆的振动周期为多少？ 若把小球拉至 时(5 )，再在钉子的正右方绳子所在处钉一钉子（没有将绳子钉上，钉子稍偏左一些） ，如图 9-38 所示，然后释放小球，求此单摆的振动周期。 图 9-37 图 9-3813、如图 9-39 所示，小球在一段光滑圆弧槽内做简谐运动，为了使小球的振动周期变为原来的二倍，可采用下述办法中的（Rr） （ ）A将
18、小球的质量减为原来的一半；B将小球的振幅增为原来的二倍；C将槽的半径增为原来的四倍；D将槽的半径增为原来的二倍。 图 9-3914、如图 9-40 所示，在 O 点悬有一细绳，绳上串着一个小球 B，并能顺着绳子滑下来，在 O 点正下方有一半径为 R 的光滑圆弧形轨道。圆心位置恰好在 O 点，在弧形轨道上接近 O 处有另一小球 A，令 A、B 小球同时开始无初速释放，假如 A 球第一次到达平衡位置时正好能够和 B 球碰上，则 B 球与绳之间的摩擦力与 B球重力大小之比是多少？（取 210） 图 9-4015、如图 9-41 所示的弧表示的半径为 R 的固定光滑轨道，B 为轨道的最低点，在轨道上有
19、一点 A， A 到 B 的距离很小。在 A 位置有一静止小球，在 O 处有另一小球 C（A、C 可视为质点） 。若同时释放 A、C 两球，问谁最先到达 B 点？若 C 球在 OB 竖直线上某处与 A 同时释放，则 A、C 在 B 处相遇时应满足什么条件？ 图 9-41 拔高挑战16、两个相同的弹性小球，分别挂在两根互相平行的细绳上，重心在同一水平线上且互相接触，如图 9-42 所示，第 1 球的摆第为 L，第 2球的摆长为 4L，现将长 1 球拉离平衡位置一个很小的角度后释放，在第 1 球摆动周期的两倍时间内，两球碰撞的次数为（ ）A2 次； B3 次； C4 次； D5 次。 图 9-421
20、7、如图 9-43 所示为一摆长为 L 的单摆，将摆球 A 拉离平衡位置一个很小的角度，然后由静止释放。A 球摆至平衡位置 P 时恰与静止在P 处的 B 球发生正碰，碰后 A 球继续摆动，B 球以速率 v 沿光滑水平面向右运动，与右侧墙壁发生正碰后以原速率返回。当 B 球重新回到位置 P 时恰与 A 球再次相遇，则位置 P 与墙壁间的距离 s 多大？图 9-43答案：1、振幅，质量，摆长，摆长的平方成正比，重力加速度的平方根成反比，T2L/g ； 2、C；3、C；4、1，2，2；5、D ； 6、D ；7、6.25；8、T(1/2 )g /Lsin；9、A；10、C；11、9.86；12、T(L/gL/2g )，T2L(2cos1)/2gcos；13、C ；14、0.2；15、C 球先到达 B 位置，1 2 LL/2 A OO BBC OALA BP s第九章 机械运动高二物理讲义：赵春光 1716、B；17、s0.5nvL/g， （式中 n1，2，3，）
