1、第十章 机械振动一. 选择题:【 C 】1、 （基础训练 3）一长为 l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上， （如图13-16 所示） ，作成一复摆已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量 ，此摆作微231mlJ小振动的周期为 (A) . (B) . (C) . (D) . gl2gl2gl32gl提示：均匀的细棒一段悬挂，构成一个复摆，可根据复摆的振动方程求解办法，求出复摆的振动周期。【 C 】2（基础训练 4） 一质点作简谐振动，周期为 T当它由平衡位置向 x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 (A) T /12 (B) T /8 (C) T /6
2、 (D) T /4提示：从从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程在旋转矢量图上，矢量转过的角位移为 ，对应的时间为 T/6.31 B 3（基础训练 8） 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为 (A) (B) 2(C) (D) 01提示：使用谐振动的矢量图示法，合振动的初始状态为 ,初相位为2A【 B 】 4、 （自测提高 5）一简谐振动曲线如图所示则振动周期是(A) 2.62 s (B) 2.40 s (C) 2.20 s (D) 2.00 s 提示：使用谐振动的矢量图示法，初始状态旋转矢量位于第四象限，初始相位为 ，到第一次回到平衡位置时，旋转
3、矢量转过的角度为 ，3 6532此过程经历时间为 1s，可得 ，等到周期为 2.4s65x t O A/2 -A x1x2图 13-23x (cm) t (s) O 4 2 1 【 C 】 5、 （自测提高 6）如图所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为 m 的物体，再用此弹簧改系一质量为 4m 的物体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧并联后悬挂质量为 m 的物体，则这三个系统的周期值之比为 (A) 12 (B) 1 2 /(C) 12 (D) 121/4 提示：劲度系数为 k 的轻弹簧截成二等份，每份的劲度系数为变为 2k，并联后系统的劲度系数为 4k.【 D 】6、 （自测提高 7）一物体作
4、简谐振动，振动方程为 则该物体)21cos(tAx在 t = 0 时刻的动能与 t = T/8（T 为振动周期）时刻的动能之比为：(A) 1:4 (B) 1:2 (C) 1:1 (D) 2:1 (E) 4:1提示：t=0 时，物体正好处于平衡位置，动能最大，t = T/8 时，, 此时系统的动能和势能相等，为动能最AATAx 2)43cos()218/*cos( 大值的一半。二 填空题1、(基础训练 10) 已知两个简谐振动的振动曲线如图 13-20 所示两简谐振动的最大速率之比为_1：1_ 提示：最大速率为 ，分析这两个振动的角速度与振幅的关A系即可。2、(基础训练 12) 一系统作简谐振动
5、, 周期为 T，以余弦函数表达振动时，初相为零在 0t 范围内，系统在 t 41=_T/8_时刻动能和势能相等 提示：动能和势能相等，为总能量的一半，此时物体偏离平衡位置的位移应为最大位移的 ，相位为 ，因为初始相位为零，t=T/8243、(基础训练 16) 两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：(SI) ， (SI) )215cos(1062tx )5cos(102tx图 13-24m 4m m 4 3 2 -1 1 t(s) o x(cm) x1 x2 1 -2 2 图 13-20它们的合振动的振辐为 (SI),初相为 108.4 021031tg提示：用旋转矢量图示法求解4、
6、(自测提高 8) 在静止的升降机中，长度为 l 的单摆的振动周期为 T0当升降机以加速度 竖直下降时，摆的振动周期 ga2102T提示：当升降机以加速度加速下降时，对于单摆，等效加速度为 g-a=0.5g;单摆的周期变为:02TalT5、(自测提高 11) 一单摆的悬线长 l = 1.5 m，在顶端固定点的竖直下方 0.45 m 处有一小钉，如图 13-26 所示设摆动很小，则单摆的左右两方振幅之比 A1/A2 的近似值为_0.837_ 提示：当单摆在最低位置时，对左右两边有：，对于单摆 ，221)()(lg21Algl837.0:211l6 (自测提高 14)、两个互相垂直的不同频率谐振动合
7、成后的图形如图13-27 所示由图可知 x 方向和 y 方向两振动的频率之比 xy =_4:3_ 提示：在同样的时间间隔内，X 方向的振动为 2Tx，而 y 方向的振动为 1.5Ty,周期之比为 3：4，频率之比相反为 4：3三 计算题1. （基础训练 23）有两个同方向的简谐振动，它们的方程(SI 单位) 如下： 410cos6.4310cos5. 21 txtx，(1) 求它们合成振动的振幅和初位相。 (2) 若另有一振动 ，)0cos(7.3tx问 为何值时， 的振幅为最大； 为何值时， 的振幅为最小。312图 13-26 l 0.45 m 小 钉 图 13-27x y 解：（1）合成振
8、动的振幅： 078.6.05.22A初相位： 84.8 01tan)4cos.43cos05.iin(ta10 (2) 若另有一振动 ， 振幅最大，需要振动的初相位相同，)(73tx31x所以 ， 的振幅最小，需要初相位相差 1800，这时432 452（自测提高 17） 、一质量 m = 0.25 kg 的物体，在弹簧的力作用下沿 x 轴运动，平衡位置在原点. 弹簧的劲度系数 k = 25 Nm-1 (1) 求振动的周期 T 和角频率 (2) 如果振幅 A =15 cm，t = 0 时物体位于 x = 7.5 cm 处，且物体沿 x 轴反向运动，求初速 v0 及初相 (3) 写出振动的数值表
9、达式解：（1）弹簧振子的 S52,105.2Tmk（2）振动表达式： t=0 时，x=0.075 且 vx0, ,)cos(0tAX30t=0 时，)sin(0tvX smAvX/3.1)sin(（3）振动表达式 )31cs(5.t3（自测提高 18） 、一物体放在水平木板上，此板沿水平方向作简谐振动，频率为 ，物体与板面间的最大静摩擦系数为。求：物体在板上不致滑动时振幅的最大值。解：设振动方程： )cos();cos( 0220 tAdtxatAX要使在板上的物块不滑动，最大静摩擦力正好提供加速度，有： 2224,vugmug4（自测提高 22） 、为了使单摆的振动周期在高度 H 处和地球表
10、面上相等，其长度须减少多少？设地球表面处摆长为 l0，地球半径为 R，且 H R。 解：长度为 l0 的单摆在地球表面的振动周期为 1 分00/2glT此处 为地球表面处的重力加速度（M 为地球质量 G 为引力常量） ，在高 H20/RGg处重力加速度 ，而长度为 l 的单摆的振2)/(HRGMg动周期为： 1 分glT/2已知 T = T0 即 l0/g0 = l/g 将 g0 及 g 代入 可得 2)/(/l22)/(1HRl又 H R，则 可略，得出： 2/Hl)/(1220 或 3 分l/05（自测提高 23）. 如图 13-31 所示。一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动
11、通过 A 点时作为计时起点( t = 0 )，经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A、B 两点具有相同的速率，且 = 10 cm 求：(1) 质点的振动方程；(2) 质点在 A点处的速率。 解：由旋转矢量图和 |vA| = |vB| 可知 T/2 = 4 秒， T = 8 s， = (1/8) s-1， s-1 3 分(1) 以 的中点为坐标原点，x 轴指向右方 t = 0 时， cm 5cot = 2 s 时， cm sin)2(A由上二式解得 tg = 1 因为在 A 点质点的速度大于零，所以 = -3/4 或 5/4（如图） 2
12、分cm 1 分2c/x 振动方程 (SI) 1 分)4os(05t(2) 速率 (SI) 2 分3in41d2tv当 t = 0 时，质点在 A 点 m/s 1 分22109.)si(05tx附加题1 （自测提高 24） 在伦敦与巴黎之间（约 S320 km ）挖掘地下直线隧道，铺设地下铁路设只在地球引力作用下时列车运行，试计算两城市之间需运行多少时间？列车的最大速度是多少？忽略一切摩擦，并将地球看作是半径为 R = 6400 km 的密度均匀的静止球体，已知处于地球内部任一点处质量为 m 的质点所受地球引力的大小与它距地球中心的距离成正比，可由 表示，式中 G 为引力恒量， 为地球密度， r
13、 为质点与地球中心的距离。(4)/3Gr vB xA BOt = 0 t = 2 st = 4 svA vBA Bvx图 13-31解：见图，质量为 m 的质点 P 受的引力在指向 O 点的方向上的分力为 2 分sin34rGF上式中 1 分xi又因 mgR231有 , 即 1 分gR344将、式代入式，得 xF这表明，在 OP 方向上，F 正比于 x 并且方向相反，故为谐振动因此 Rmgt2d其解为 2 分tA/cos令 m 5106.)/(/sinSA则列车运行所需时间 42.3 min 2 分gRT/2列车最大速度 2 分12max s98.vg2（自测提高 25）一半径为 R 的圆形线圈，通有强度为 I 的电流，平面线圈处在均匀磁场 中， 的方向垂直纸面向里，如图 13-32 所B示。线圈可绕通过它的直径的轴 OO自由转动，线圈对该轴的转动惯量为 J。试求线圈在其平衡位置附近做微小振动的周期。 解 1 分pMmsinpm2 分2dsintJB在微小振动时 , ,代入上式有 IR02Jt , 2 分BIIBJRT2x S M R 2/ r P I R O O B
