1、第二章 随机变量及其分布习题 2.1 P732. 一颗骰子抛两次,以 X表示两次中所得的最小点数.(1)试求 X的分布列;(2)写出 X的分布函数, 并作图.4. 有 3个盒子,第一个盒子装有 1个白球,4 个黑球; 第二个盒子装有 2个白球,3 个黑球; 第三个盒子装有 3个白球,2 个黑球. 现任取一个盒子,从中任取 3个球. 以 X表示所取到的白球数.(1)试求 X的概率分布列;(2)取到的白球数不少于 2个的概率是多少?6. 设随机变量 X的分布函数为.6,1;32/,;04/,)(xxF试求 X的概率分布列及 P(X1),P(X1).11. 如果 X的密度函数为其 他,021,)(x
2、xp试求 P(X1.5).13. 设连续随机变量 X的分布函数为.1,;0,)(2xAF试求(1)系数 A;(2)X落在区间(0.3,0.7)内的概率;(3)X的密度函数.15. 设随机变量 X和 Y同分布,X 的密度函数为.,0;283)(2其 他 xxp已知事件 A=Xa和 B=Ya独立, 且 P(AB)=3/4,求常数 a.16. 设连续随机变量 X的密度函数 p(x)是一个偶函数,F(x)为 X的分布函数, 求证对任意实数 a0, 有(1) ;)(5.0)(1)(adxpFa(2) ;2|P(3) ).()(X习题 2.2 P811.设离散型随机变量 X的分布列为X -2 0 2P 0
3、.4 0.3 0.3试求 E(X)和 E(3X+5).5. 用天平称某种物品的质量(砝码仅允许放在一个盘中), 现有三组砝码(甲)1,2,2.5,10(g);(乙)1,2,3,4,10(g); (丙)1,1,2,5,10(g), 称重时只能使用一组砝码. 问:当物品的质量为 1g, 2g, , 10g的概率是相同的, 用哪一组砝码称重所用的平均砝码数最少?7. 对一批产品进行检查, 如查到第 a件全为合格品, 就认为这批产品合格;若在前 a件中发现不合格品即停止检查,且认为这批产品不合格. 设产品的数量很大, 可认为每次查到不合格品的概率都是 p, 问每批产品平均要查多少件?11. 设随机变量
4、 X的分布函数如下, 试求 E(X).1,21;0,2)()(xexeF12. 某工程队完成某项工程的时间 X(单位:月)是一个随机变量,它的分布列为X 10 11 12 13P 0.4 0.3 0.2 0.1(1)试求该工程队完成此项工程的平均月数;(2)设该工程队所获利润为 Y=50(13-X),单位为万元. 试求工程队的平均利润;(3)若该工程队高速安排,完成该项工程的时间 (单位:月)的分布为1XX1 10 11 12P 0.5 0.4 0.1则其平均利润可增加多少?13. 设随机变量 X的概率密度函数为 .,0;2cos1)(其 他 xxp对 X独立重复观察 4次,Y 表示观察值大于
5、 /3 的次数,求 Y2的数学期望.习题 2.3 P884. 设随机变量 X的分布函数为 ,121;0,2)()(xexeF试求 Var(X).5. 设随机变量 X的密度函数为,0;10,)(其 他 xxp试求 Var(3X+2).7. 设随机变量 X仅在区间a,b上取值,试证 .)2(),)(abXVarbEa9. 设 g(x)为随机变量 X取值的集合上的非负不减函数,且 E(g(X)存在,证明:对任意的0,有 .)()(gXEP11. 已知正常成人男性每升血液中的白细胞数平均是 7.3109,标准差是 0.7109. 试利用切比雪夫不等式估计每升血液中的白细胞数在 5.2109至 9.41
6、09之间的概率的下界.习题 2.4 P1013. 某优秀射手命中 10环的概率为 0.7, 命中 9环的概率为 0.3. 试求该射手三次射击所是的环数不少于 29环的概率.5. 设随机变量 Xb(n,p),已知 E(X)=2.4, Var(X)=1.44, 求两个参数 n与 p各为多少?7. 一批产品的不合格品率为 0.02, 现从中任取 40件进行检查,若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品. 分别用以下方法求拒收的概率:(1)用二项分布作精确计算;(2)用泊松分布作近似计算.9. 已知某商场一天来的顾客数 X服从参数为 的泊松分布,而每个来到商场的顾客购物的概率为 p,证明:此商场一天
7、内购物的顾客数服从参数为 p 的泊松分布.12. 设随机变量 X的密度函数为 .,0;12)(其 他 xxp以 Y表示对 X的三次独立重复观察中事件X1/2出现的次数,试求 P(Y=2).13. 某产品的不合格品率为 0.1,每次随机抽取 10件进行检验,若发现其中不合格品数多于1, 就去调整设备.若检验员每天检验 4次,试问每天平均要高速几次设备.习题 2.5 P1153. 设 K服从(1,6)上的均匀分布,求方程 有实根的概率.012Kx6. 设某种商品每周的需求量 X服从区间(10,30)上均匀分布,而商店进货数为区间(10,30)中的某一整数,商店每销售 1单位商品可获利 500元;若
8、供大于求则削价处理,每处理 1单位商品亏损 100元;若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每 1单位商品仅获利 300元.为使商店所获利润期望值不少于 9280元,试确定最少进货量.10. 某种设备的使用寿命 X(以年讲)服从指数分布,其平均寿命为 4年.制造此种设备的厂家规定,若设备在使用一年之内损坏,则可以予以调换.如果设备制造厂每售出一台设备可赢利 100元,而调换一台设备制造厂需花费 300元.试求每台设备的平均利润.11. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以 min计)服从指数分布,其密度函数为.,0;51)(其 他 xexp某顾客在窗口等待服务,若超过 10min,他就离开
9、,他一个月要到银行 5次,以 Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,试求 P(Y1).13. 设随机变量 X的密度函数为(0).0,;)(xep试求 k,使得 P(Xk)=0.5.20. 设 XN(3,22),(1)求 P(22);(3)确定 c合得 P(Xc)=P(Xc).23. 从甲地飞往乙地的航班,每天上午 10:10起飞,飞行时间 X服从均值是 4h,标准差是20min的正态分布.(1)该机在下午 2:30以后到达乙地的概率是多少?(2)该机在下午 2:20以前到达乙地的枝率是多少?(3)该机在下午 1:50至 2:30之间到达乙地的概率是多少?24. 某单位招聘员工,共有 10
10、000人报考.假设考试成绩服从正态分布,且已知 90分以上有359人,60 分以下有 1151人.现按考试成绩从高分到低分依次录用 2500人,试问被录用者最低分为多少?30. 设随机变量 XN(, 2),求 E|X-|.习题 2.6 P1231. 已知离散随机变量 X的分布列为X -2 -1 0 1 3P 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30试求 Y=X2与 Z=|X|的分布列.3. 设随机变量 X服从(-1,2)上的均匀分布,记 .0,1;XY试求 Y的分布列.7. 设随时机变量 X服从区间(1,2)上的均匀分布,试求 的密度函数.XeY28. 设随机变量 X服从区间(0,2)上的均匀分布,(1)求 Y=X2的密度函数.(2)P(Y2).13. 设 ,求 的数学期望与方差.)(2NXeY15. 设随机变量 X的密度函数为 .0,;)(xep若 若试求以下 Y的密度函数(1)Y=2X+1; (2) ; (3) .Xe2Y17. 设 ,试证:)(2LN).,(ln2N
