1、 例 2.设连续函数变量 X 的分布函数为求：（1）X 的概率密度 f（x）;【答疑编号：10020301 针对该题提问】（2）X 落在区间（0.3， 0.7）的概率。【答疑编号：10020302 针对该题提问】解：（1）（2）有两种解法：或者例 21 若【答疑编号：10020303 针对该题提问】解： 例 22 若 求 xf(x)【答疑编号：10020304 针对该题提问】解： 例 23，若【答疑编号：10020305 针对该题提问】解：例 3.若 【答疑编号：10020306 针对该题提问】解：（1）x0 时，f（x） =0，（2）0x1 时，（3）1x 时，注 2.分段函数要分段求导数，
2、分段求积分。例 4.设某种型号电子元件的寿命 X（以小时计）具有以下的概率密度。现有一大批此种元件， （设各元件工作相互独立） ，问：（1）任取一只，其寿命大于 1500 小时的概率是多少？【答疑编号：10020307 针对该题提问】（2）任取四只，四只元件中恰有 2 只元件的寿命大于 1500 的概率是多少？【答疑编号：10020308 针对该题提问】（3）任取四只，四只元件中至少有 1 只元件的寿命大于 1500 的概率是多少？【答疑编号：10020309 针对该题提问】解：（1） （2）各元件工作相互独立，可看作 4 重贝努利试验，观察各元件的寿命是否大于1500 小时，令 Y 表示 4
3、 个元件中寿命大于 1500 小时元件个数，则 ，所求概率为（3）所求概率为3.2 均匀分布与指数分布以下介绍三种最常用的连续型概率分布，均匀分布、指数分布和正态分布，本小节先介绍前两种。定义 2.若随机变量 X 的概率密度为则称 X 服从区间a,b上的均匀分布，简记为 XU（a,b） 容易求得其分布函数为均匀分布的概率密度 f（ x）和分布函数 F（x）的图像分别见图 2.3 和图 2.4均匀分布的概率密度 f（x）在 a,b内取常数 ，即区间长度的倒数。均匀分布的均匀性是指随机变量 X 落在区间a,b内长度相等的子区间上的概率都是相等的。均匀分布的概率计算中有一个概率公式。设 ，则使用这个
4、公式计算均匀分布的概率很方便，比如，设 ，则例 5.公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过，乘客在 5 分钟内任一时刻到达汽车站是等可能的，求乘客候车时间在 1 到 3 分钟内的概率。【答疑编号：10020310 针对该题提问】解：设 X 表示乘客的侯车时间，则 XU（0,5） ，其概率密度为所求概率为定义 3.若随机变量 X 的概率密度为其中 0 为常数，则称 X 服从参数为 的指数分布，简记为 ，其分布函数为f（x）和 F（x）的图形分别见图 2.5 和图 2.6指数分布常被用作各种“寿命”的分布，如电子元件的使用寿命、动物的寿命、电话的通话时间、顾客在某一服和系统接受服务的时间等都可以假
5、定服从指数分布，因而指数分布有着广泛的应用。例:若某设备的使用寿命 X（小时）E（0.001）求该设备使用寿命超过 1000 小时的概率。【答疑编号：10020311 针对该题提问】解：0.001 P（1000X）P（1000X + ）F（+）F （1000）11e -1=e -1=（三）正态分布定义 4.若随机变量 X 的概率密度为其中 ,2 为常数， +， 0，则称 X 服从参数为 ,2 的正态分布，简记为 XN（, 2）f（x）的图形见图 2.7习惯上，称服从正态分布的随机变量为正态随机变量，又称正态分布的概率密度曲线为正态分布曲线。设 XN（, 2） ，则 X 的分布函数为特别地，当
6、0，1 时的正态分布称为标准正态分布 N（0，1） 。为区别起见，标准正态分布的概率密度和分布函数分别记为 ，即的图象见图 2.8显然， 的图象关于 y 轴对称，且 在 x=0 处取得最大值 。通常我们称 为标准正态分布函数，它有下列性质：（1） 由定积分的几何意义及 的对称性可得（2）由（1）知 （3）因为 是 X 服从标准正态即 XN（0，1）时的分布函数，所以有当 上面公式中，不等式中是否有等号并不影响公式的正确性，原因是连续随机变量 X 取一个数的概率为 0，即 P（XK ）0 所以下面的公式同样成立其中标准正态分布函数 的可用教材中的附表 1 求得，其中同样有 例 1.若 XN（0，
7、1 ）求（1）P（X 2.12）【答疑编号：10020312 针对该题提问】（2）P（X 0.23）【答疑编号：10020313 针对该题提问】（3）P（0.2X2.12）【答疑编号：10020314 针对该题提问】解：（1）P（X2.12）P（X2.12）（2.12） （） （2.12）0.9830（2）P（X 0.23）P（0.23X + ）（+）（0.23）1（0.23）由性质 （x）1（x）得 （0.23）1 （0.23）P（X 0.23）（ 0.23）0.5910（3）P（0.2X2.12）（2.12）（0.2）（2.12）1 （0.2） （2.12）+（0.2）10.9830+0.
8、579310.5623例 2.XN（0，1）时，证明 a0 时【答疑编号：10020315 针对该题提问】解： （a）（a）（a）1（a）2（a）1例 3.若 XN（0，1） ，则 a 为何值时， 【答疑编号：10020316 针对该题提问】解： 由 查标准正态分布函数值表（附表 1）有a=1.96下面我们不加证明地介绍正态分布有下面结果若 XN（, 2） ，则有（1）X 的分布函数 F（x） （2） 公式：XN（, 2）时提供了 XN（, 2）时，计算概率 的方法。例 4.若 XN（3,4）求 P（3X 5）【答疑编号：10020317 针对该题提问】解：P（3X5） （1） （0）0.84
9、130.50.3413例 5.设 XN（1.5,4） ，求：（1）PX 3.5【答疑编号：10020318 针对该题提问】（2）P1.5X3.5【答疑编号：10020319 针对该题提问】（3）P 3【答疑编号：10020320 针对该题提问】解：1.52，记 F（x）为 X 的分布函数。（1）PX 3.5P（x3.5）=（2）P1.5X3.5= =0.84130.50.3413（3）P 31P 31P3X3=1- 1（0.75）+（2.25）1（0.75）+1（2.25）10.7734+10.98780.2388例 6.设 XN（, 2）求 X 落在区间 k, +k概率，其中 k=1,2,3
10、【答疑编号：10020321 针对该题提问】解：PkX+k （k）-（k）=2（k）1（1）0.8413， （2）0.9772， （3）0.99865从此可以看出： 尽管正态分布取值范围是（，+） ，但它的值落在3, +3的概率为 0.9973，几乎是肯定的，这个性质被称为正态分布的“3 规则” 。为了方便今后的应用，对于标准正态随机变量，我们引入 分位的定义。定义 5.设 XN（0,1）若 ua 满足条件PXu a，01，则称点 ua 为标准正态分布的上侧 分位数（见图 2.12）例 7.用上侧分位数 ua 的定义求（1）u 0.005（2）u 0.025（3）u 0.01（4）u 0.05
11、（5）u 0.1【答疑编号：10020401 针对该题提问】解：因为 P（Xu ）P（X u）1P （Xu ）1（u ）（u ） 1（1）（u 0.005）10.0050.995（2.58）0.995u 0.005=2.58（2）（u 0.025）1-0.025=0.975（1.96）0.975u 0.0251.96（3）（u 0.01）10.010.99（2.33）0.99u 0.012.33（4）（u 0. 05）10.050.95（1.64）0.95u 0.051.64（5）（u 0. 1）10.10.9（1.29）0.9u 0.11.29正态分布是最常见的一种分布，在实际问题中，许多随
12、机变量服从或近似服从正态分布，例如，一个地区的男性成年人的身高和体重，测量某个物理量所产生的随机误差；一批原棉纤维的长度，某地区的年降水量等，它们都服从正态分布，本书第五章的中心极限定理表明：一个变量如果大量独立，微小且均匀的随机因素的叠加而生成，那么它就近似服从正态分布，由此可见，在概率论和数理统计的理论研究和实际应用中正态分布都占有十分重要的地位。例 8.某机床生产的零件长度 X（mm ）N（20,0.02 2） ，工厂规定该零件长度在区间（19.96，20.04）内为合格品，求该机床产品的合格率。【答疑编号：10020402 针对该题提问】解：19.96X20.04 表示产品合格合格率为P（19.96X20.04） 例 9.测量某零件长度时 DE 误差 X（mm）N （2,9）求（1）误差绝对值小于 5 的概率（2）测量三次，误差的绝对值都小于 5 的概率（3）测量三次，误差的绝对值至少有一次小于 5 的概率【答疑编号：10020403 针对该题提问】解：（1）其中 P 表示误差绝对值小于 5 的事件 A 的概率 P（A）（2）用 X 表示测量三次，事件 A 发生次数XB（3,P ） ，P 0.8314P（X 3） （3）P（X1）1P （X1）1P（X0）1
