1、相似三角形复习课2,1)、相似三角形对应角相等，对应边成比例2)、相似三角形对应角平分线、对应中线、 对应高线、对应周长的比都等于相似比。3)、相似三角形面积的比等于相似比的平方。,1、相似三角形的性质：,知识要点,练习：,.地图上的1cm面积表示实际00m的面积，则该地图的比例尺是_.,.两个相似三角形的面积比为m,周长比为2,则m=_.,4,.边长为2的正三角形被平行一边的直线分成等积的两部分, 其中一部分是梯形,则这个梯形的上底长为_.,1.地图上的1cm的长度表示实际长度00m，则该地图的比例尺是_.,：,：,5. 如图(1)，在ABC中，DEAC，BD=10，DA=15， BE=8，
2、则,EC=,.,B,D,E,C,A,6.如图(2),已知 1 = 2,若再增加一个条件就能使结论“ADEABC”成立,则这条件可以是,(1),A,D,B,E,(2),C,1,2, D= B或 AED= ACB或AD:AB=AE:AC,7、如图（）， 中，则:四边形:四边形=_,答案：,范例,例1 如图，ABC中，FM AB，EH BC，DGAC，AD:DE:EB=3:2:1,求 的值。,分析：,易证， HMPPDEGPF，得,1. 如图，ADE ACB,则DE:BC=_ 。 2. 如图，D是ABC的边BC上一点，连接AD,使 ABC DBA的条件是（ ）.A. AC:BC=AD:BD B. A
3、C:BC=AB:ADC. AB2=CDBCD. AB2=BDBC,1:3,D,小练习：,练习题： 1. 如图，ABCD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，求证：ED2=EO EC.,证明：AO=BO，DF=BFA=B，B=ODE ABCDC= A= B= ODEDEO= CEDEDOECDEO：ED=ED：EC即 ED2=EO EC,解:AED=B, A=AAED ABC（两角对应相等，两三角形相似）,2. ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AED= B，那么 AED ABC，从而,解 :D、E分别为AB、AC的中点DEBC，且 ADEABC即ADE与ABC的相似比为1:2,3、
4、 ABC中，AB的中点为D，AC的中点为E，连结DE， 则 ADE与 ABC的相似比为_,4.,解: DEBCADEABCAD:DB=2:3DB:AD=3:2(DB+AD):AD=(2+3):3即 AB:AD=5:2AD:AB=2:5即ADE与ABC的相似比为2:5,如图，DEBC, AD:DB=2:3, 则 AED和 ABC 的相似比为.,5.已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙 的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为_cm.,解: 设三角形甲为ABC ，三角 形乙为 DEF，且DEF的最大 边为DE，最短边为EF DEFABC DE:EF=6:3 即 10:EF=6:
5、3 EF=5cm,6、等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在 腰AC上取点D, 使ABC BDC, 则DC=_.,解: ABC BDC即 DC=2cm,7. D、E分别为ABC 的AB、AC上的点，DEBC，DCB= A，把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形_组。,解: DEBCADE= B,EDC=DCB=A DEBCADE ABC A= DCB, ADE= BADE CBD ADE ABC ADE CBD ABC CBD DCA= DCE, A= EDC ADC DEC,8. D为ABC中AB边上一点，ACD= ABC.求证：AC2=ADAB,分析:要证明AC
6、2=ADAB，需要先将乘积式改写为比例式 ，再证明AC、AD、AB所在的两个三角形相似。由已知两个三角形有二个角对应相等，所以两三角形相似，本题可证。,证明: ACD= ABCA = A ABC ACD AC2=ADAB,9. ABC中， BAC是直角，过斜边中点M而垂直于 斜边BC的直线交CA的延长线于E， 交AB于D，连AM.求证： MAD MEA AM2=MD ME,分析：已知中与线段有关的条件仅有AM=BC/2=BM=MC,所以首先考虑用两个角对应相等去判定两个三角形相似。AM是 MAD 与 MEA 的公共边，故是对应边MD、ME的比例中项。,证明：BAC=90M为斜边BC中点AM=B
7、M=BC/2 B= MAD 又 B+ BDM=90E+ ADE= 90BDM= ADE,B=E MAD= E 又 DMA= AME MAD MEA, MAD MEA即AM2=MDME,10. 过ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边BC、边DC的延长线于E、F、G . 求证：EA2 = EF EG .,分析：要证明 EA2 = EF EG ，即 证明 成立，而EA、EG、EF三条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换比例的方法。可证明：AEDFEB， AEB GED.,证明： ADBF ABBCAED FEB AEB GED,11. ABC为锐角三角形，BD、CE
8、为高 . 求证： ADE ABC（用两种方法证明）.,证明一：BDAC，CEABABD+A=90， ACE+A= 90 ABD= ACE又 A= A ABD ACE A= A ADE ABC,证明二： BEO= CDO BOE=COD BOE COD 即 又 BOC= EOD BOC EOD 1= 2 1+ BCD=90，2+ 3= 90 BCD= 3又 A= A ADE ABC,1.已知：如图，ABC中，P是AB边上的一点，连结CP满足什么条件时 ACPABC,解:A= A，当1= ACB （或2= B）时， ACPABC A= A，当AC:APAB:AC时， ACPABC A= A， 当4
9、ACB180时， ACPABC,答：当1= ACB 或2= B 或AC:APAB:AC或4ACB180时, ACPABC.,1、条件探索型,二、探索题,2.如图：已知ABCCDB90，ACa，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，两三角形相似,这类题型结论是明确的，而需要完备使结论成立的条件解题思路是：从给定结论出发，通过逆向思考寻求使结论成立的条件,1.将两块全等的等腰三角形模板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一 一写出来.,C,解：有相似三角形，它们是：ADE BAE, BAE CDA ，ADE CDA（ AD
10、E BAE CDA）,2、结论探索型,2.在ABC中，ABAC，过AB上一点D作直线DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形.,E,E,E,E,这类题型的特征是有条件而无结论，要确定这些条件下可能出现的结论解题思路是：从所给条件出发，通过分析、比较、猜想、寻求多种解法和结论，再进行证明.,3、存在探索型,1、 如图, DE是RtABC的中位线，在射线AF上是否存在点M，使MEC与ADE相似,若存在,请先确定点 M,再证明这两个三角形相似，若不存在，请说明理由.,证明：连结MC， DE是ABC的中位线， DEBC，AEEC， 又MEAC, AMCM， 1= 2 ， B=9
11、0， 4 B= 90， AF BC，AM DE, 1= 2 ， 3= 2 , ADE MEC=90 ， ADE MEC,1,2,3,M,解:存在.过点E作AC的垂线,与AF交于一点,即M点(或作MCA= AED).,4,例2、如图，已知：ABDB于点B ，CDDB于点D，AB=6，CD=4，BD=14. 问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说明理由。,解（1）假设存在这样的点P，使ABPCDP,设PD=x，则PB=14x， 6：4=（14x）:x,则有AB:CD=PB:PD,x=5.6,P,（2）假设
12、存在这样的点P,使ABPPDC,则,则有AB:PD=PB:CD,设PD=x，则PB=14x， 6： x =（14x）: 4,x=2或x=12,x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似,4,6,x,14x,D,B,C,A,p,所谓存在性问题，一般是要求确定满足某些特定要求的元素有或没有的问题解题思路是：先假定所需探索的对象存在或结论成立，以此为依据进行计算或推理，若由此推出矛盾，则假定是错误的，从而给出否定的结论，否则给出肯定的证明,探究:在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与CPQ的面积能否相等？若能，求出此时点P的位置；若不能，请说明理由。,Q,1、 在ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟BPQ与BAC相似？,分析：由于PBQ与ABC有公共角B；所以若PBQ与ABC相似，则有两种可能一种情况为 ,即PQAC;另一种情况为,练习：,练习：,A,B,C,D,F,E,三、位似,两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的相似叫做位似,点O叫做位似中心,利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小,
