1、.相似三角形知识点总结知识点 1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。如ABC 与A /B/C/相似，记作: ABCA /B/C/ 。相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。注意：（1）相似比是有顺序的。（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若ABCA /B/C/，相似比为 k，则A /B/C/与ABC 的相似比是 1k知识点 2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为 1 的相似三角形。（2）两个等边
2、三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。知识点 3、平行线分线段成比例定理1. 比例线段的有关概念：在 比 例 式 ： ： 中 ， 、 叫 外 项 ， 、 叫 内 项 ， 、 叫 前 项 ，abcdadbcac()b、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果 b=c，那么 b 叫做 a、d 的比例中项。把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，使 AC2=ABBC，叫做把线段 AB 黄金分割，C 叫做线段 AB 的黄金分割点。2. 比例性质： 基 本 性 质 ： abcdbc 合 比 性 质 ： abcdbcd 等 比 性 质 ： m
3、nnmna()03. 平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线 ,所得的对应线段成比例. 已知 l1l2l3, A D l1B E l2C F l3可得 等.EDAFEABCDFEBCA 或或或或.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线 )所得的对应线段成比例. AD EB C由 DE BC 可得： .此推论较原定理应AECADB或或用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）
4、定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线 ,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 知识点 4：相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方 知识点 5：相似三角形的判定：两角对应相等，两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似三边对应成比例，两三角形相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形
5、与原三角形相似直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。点拨：在三角形中，若已知两个角，由三角形内角和定理可求出第三个角。注意公共角的运用，公共角也就是两个三角形都有的角，公共角是隐含的相等的角，我们应注意公共角的运用。两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。注意：这个角必须是两边的夹角，而不能是其他的角，其他的角则不可以识别两个三角形相似，此法类似于判定三角形全等的条件“SAS”三边对应成比例的两个三角形相似。知识点六：摄影定理.DAB CAD2=BDCD AB2=BDBC AC2=CDBC
6、特殊图形（双垂直模型）BAC=90 AD2=BDCD AB2=BDBC AC2=CDBC知识点七：相似三角形的周长和面积（1）相似三角形的对应高相等，对应边的比相等。（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比。(3)相似三角形的周长比等于相似比；(4)相似三角形的面积比等于相似比的平方补充：相似三角形的识别方法(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。(2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。注意：适用此方法的基本图形，(简记为 A 型，X 型)(3)三边对应成比例的两个三角形相似。(4)两
7、边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。(5)两角对应相等的两个三角形相似。(6)一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。(7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。相似三角形的基本图形： AB CDE AB CDEADBC.判断三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。相似三角形的应用：求物体的长或宽或高；求有关面积等。经典习题考点一：平行线分线段成比例1、 （2013 广东肇庆）如图，已知直
8、线 a b c，直线 m、 n 与 a、 b、 c 分别交于点A、 C、 E、 B、 D、 F， AC 4， CE 6， BD 3，则 BF （ ）A 7 B 7.5 C 8 D 8.52、（2013 福州） 如图，已知ABC ，AB=AC=1 ，A=36，ABC 的平分线 BD 交 AC于点 D，则 AD 的长是 ，cosA 的值是 （结果保留根号）3、（2011 湖南怀化）如图所示：ABC 中，DE BC，AD5，BD10，AE 3，则 CE的值为（ ）A9 B6 C3 D4abcA BC DE Fm n.ECDBA4 （2011 山东泰安）如图，点 F 是ABCD 的边 CD 上一点，直
9、线 BF 交 AD 的延长线于点E，则下列结论错误的是（ ）A B C D DFEBFEBCEA5 （2012 孝感）如图，在 ABC 中，AB=AC ，A=36，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，若 AC=2，则 AD 的长是（ ）A B C D125125151考点二：相似三角形的性质1、 （2013昆明）如图，在正方形 ABCD 中，点 P 是 AB 上一动点（不与 A，B 重合） ，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 P 分别作 AC，BD 的垂线，分别交 AC，BD 于点 E，F，交 AD，BC 于点 M，N下列结论：APEAME；PM+PN=AC； PE2+PF2=PO2；
10、POF BNF； 当 PMNAMP 时，点 P 是 AB 的中点其中正确的结论有（ ）A5 个 B4 个 C3 个 D2 个GEADBCPF.考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质分析： 依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断APM 和BPN 以及APE、 BPF 都是等腰直角三角形，四边形 PEOF 是矩形，从而作出判断解答： 解： 四边形 ABCD 是正方形，BAC=DAC=45在 APE 和AME 中，APEAME，故正确；PE=EM= PM，同理，FP=FN= NP正方形 ABCD 中 ACBD，又 PEAC，PFBD，PEO=EO
11、F=PFO=90，且 APE 中 AE=PE四边形 PEOF 是矩形PF=OE，PE+PF=OA，又 PE=EM= PM，FP=FN= NP，OA= AC，PM+PN=AC，故正确；四边形 PEOF 是矩形，PE=OF，在直角OPF 中，OF 2+PF2=PO2，PE2+PF2=PO2，故正确BNF 是等腰直角三角形，而POF 不一定是，故 错误；AMP 是等腰直角三角形，当 PMNAMP 时，PMN 是等腰直角三角形PM=PN，又AMP 和BPN 都是等腰直角三角形，AP=BP，即 P 时 AB 的中点故正确故选 B点评： 本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用，认识APM 和B
12、PN 以及APE、 BPF 都是等腰直角三角形，四边形 PEOF 是矩形是关键2、 （2013新疆）如图， RtABC 中，ACB=90， ABC=60，BC=2cm ，D 为 BC 的中点，若动点 E 以 1cm/s 的速度从 A 点出发，沿着 ABA 的方向运动，设 E 点的运动时间为 t秒（0t6） ，连接 DE，当BDE 是直角三角形时，t 的值为（ ）.A2 B2.5 或 3.5 C3.5 或 4.5 D2 或 3.5 或 4.5考点： 相似三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形专题： 动点型分析： 由 RtABC 中， ACB=90， ABC=60，BC=2cm，可求得 A
13、B 的长，由 D 为 BC 的中点，可求得 BD 的长，然后分别从若DBE=90 与若EDB=90时，去分析求解即可求得答案解答： 解： RtABC 中，ACB=90，ABC=60，BC=2cm，AB=2BC=4（cm ） ，BC=2cm，D 为 BC 的中点，动点 E 以 1cm/s 的速度从 A 点出发，BD=BC=1（cm ） ，BE=AB AE=4t（cm） ，若DBE=90，当 AB 时， ABC=60，BDE=30，BE=BD=（cm） ，t=3.5，当 BA 时，t=4+0.5=4.5 若EDB=90时，当 AB 时， ABC=60，BED=30，BE=2BD=2（cm） ，t=
14、42=2，当 BA 时，t=4+2=6 （舍去） 综上可得：t 的值为 2 或 3.5 或 4.5故选 D点评： 此题考查了含 30角的直角三角形的性质此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用3、 （2013内江）如图，在 ABCD 中，E 为 CD 上一点，连接 AE、BD，且 AE、BD 交于点 F，S DEF：S ABF=4：25，则 DE：EC=（ ）.A2：5 B2：3 C3：5 D3：2考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质分析： 先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出DEFBAF，再根据 SDEF：S ABF=4：10：25 即可得
15、出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：EC 的值，由AB=CD 即可得出结论解答： 解： 四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，EAB=DEF，AFB= DFE，DEFBAF，SDEF：S ABF=4：25，DE：AB=2 ：5，AB=CD，DE：EC=2 ： 3故选 B点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键4、（2013宁夏） ABC 中， D、E 分别是边 AB 与 AC 的中点，BC=4，下面四个结论：DE=2；ADEABC；ADE 的面积与ABC 的面积之比为 1：4； ADE
16、的周长与ABC 的周长之比为 1：4；其中正确的有 （只填序号）考点： 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理3718684分析： 根据题意做出图形，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，可得 DEBC，DE= BC=2，则可证得ADE ABC，由相似三角形面积比等于相似比的平方，证得ADE 的面积与ABC 的面积之比为 1：4，然后由三角形的周长比等于相似比，证得ADE 的周长与ABC 的周长之比为 1：2，选出正确的结论即可解答： 解： 在 ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，DEBC，DE= BC=2，ADEABC，故正确；ADEABC， = ，ADE 的面积与ABC 的
17、面积之比为 1：4，ADE 的周长与ABC 的周长之比为 1：2，故正确，错误故答案为：.点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，要求同学们掌握相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方5、 （2013自贡）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=6，AD=9，BAD 的平分线交 BC于 E，交 DC 的延长线于 F，BGAE 于 G，BG= ，则EFC 的周长为（ ）A11 B10 C9 D8考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质3718684分析： 判断出ADF 是等腰三角形，ABE 是等腰三角形
18、，DF 的长度，继而得到 EC 的长度，在 RtBGE 中求出 GE，继而得到 AE，求出 ABE 的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出EFC 的周长解答： 解： 在 ABCD 中，AB=CD=6，AD=BC=9 ，BAD 的平分线交 BC 于点 E，BAF=DAF，ABDF，AD BC，BAF=F=DAF，BAE=AEB，AB=BE=6，AD=DF=9，ADF 是等腰三角形，ABE 是等腰三角形，ADBC，EFC 是等腰三角形，且 FC=CE，EC=FC=96=3，在ABG 中，BG AE，AB=6 ，BG=4 ，AG= =2，AE=2AG=4，ABE 的周长等于 16，又CE
19、FBEA，相似比为 1：2，CEF 的周长为 8故选 D.点评： 本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大6、 （2013宜昌）如图，点 A，B，C ，D 的坐标分别是（1，7） ， （1，1） ， （4，1） ， （6，1） ，以 C，D，E 为顶点的三角形与ABC 相似，则点 E 的坐标不可能是（ ）A（6，0） B（6，3） C（6，5） D（4，2）考点： 相似三角形的性质；坐标与图形性质分析： 根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断解答： 解：ABC 中， ABC=90，AB=6，BC=3
20、 ，AB：BC=2A、当点 E 的坐标为（6，0）时， CDE=90，CD=2，DE=1，则 AB：BC=CD ：DE ，CDEABC，故本选项不符合题意；B、当点 E 的坐标为（6，3）时， CDE=90，CD=2，DE=2，则 AB：BCCD：DE，CDE 与ABC 不相似，故本选项符合题意；C、当点 E 的坐标为（6，5）时， CDE=90，CD=2，DE=4，则 AB：BC=DE：CD，EDCABC，故本选项不符合题意；D、当点 E 的坐标为（4，2）时， ECD=90，CD=2，CE=1，则 AB：BC=CD：CE，DCEABC，故本选项不符合题意；故选 B点评： 本题考查了相似三角
21、形的判定，难度中等牢记判定定理是解题的关键7、 （2013雅安）如图， DE 是ABC 的中位线，延长 DE 至 F 使 EF=DE，连接 CF，则 SCEF：S 四边形 BCED 的值为（ ）.A1：3 B2：3 C1：4 D2：5考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理分析： 先利用 SAS 证明ADE CFE（SAS） ，得出 SADE=SCFE，再由 DE 为中位线，判断ADEABC，且相似比为 1：2，利用相似三角形的面积比等于相似比，得到 SADE：S ABC=1： 4，则 SADE：S 四边形 BCED=1：3，进而得出 SCEF：S 四边形 BC
22、ED=1：3解答： 解： DE 为ABC 的中位线，AE=CE在ADE 与 CFE 中，ADECFE（SAS） ，SADE=SCFEDE 为ABC 的中位线，ADEABC，且相似比为 1：2，SADE：S ABC=1：4，SADE+S 四边形 BCED=SABC，SADE：S 四边形 BCED=1：3，SCEF：S 四边形 BCED=1：3故选 A点评： 本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理关键是利用中位线判断相似三角形及相似比8、 （2013 聊城）如图，D 是 ABC 的边 BC 上一点，已知 AB=4，AD=2 DAC=B，若ABD 的面积为 a，则ACD 的面
23、积为（ ）Aa B C D考点：相似三角形的判定与性质.分析：首先证明ACD BCA，由相似三角形的性质可得：ACD 的面积：ABC 的面积为 1：4，因为ABD 的面积为 a，进而求出 ACD 的面积解答：解：DAC= B，C= C，ACDBCA，AB=4，AD=2，ACD 的面积： ABC 的面积为 1：4，ACD 的面积： ABD 的面积 =1：3，ABD 的面积为 a，ACD 的面积为 a，故选 C点评：本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型9、 （2013 菏泽）如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S
24、1，S 2，则 S1+S2 的值为（ ）A16 B17 C18 D19考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质专题：计算题分析：由图可得，S 1 的边长为 3，由 AC= BC，BC=CE= CD，可得AC=2CD，CD=2 ，EC= ；然后，分别算出 S1、S 2 的面积，即可解答解答：解：如图，设正方形 S2 的边长为 x，根据等腰直角三角形的性质知，AC= x，x= CD，AC=2CD，CD=2，EC2=22+22，即 EC= ；S2 的面积为 EC2= =8；S1 的边长为 3，S 1 的面积为 33=9，S1+S2=8+9=17故选 B点评：本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的
25、性质，考查了学生的读图能力 10、 （2013 安顺）在平行四边形 ABCD 中，E 在 DC 上，若 DE：EC=1：2，则 BF：BE= .考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质分析：由题可知ABFCEF，然后根据相似比求解解答：解：DE：EC=1 ：2EC：CD=2：3 即 EC：AB=2：3ABCD，ABFCEF，BF：EF=AB：EC=3 ：2BF：BE=3： 5点评：此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质 11、 （13 年安徽省 4 分、13）如图，P 为平行四边形 ABCD 边 AD 上一点，E、F 分别为 PB、PC 的中点，PEF、PDC、PAB 的面积分别为
26、S、S 1、S 2。若 S=2，则 S1+S2= 考点三：相似三角形的判定1、 （2013益阳）如图，在 ABC 中，AB=AC ，BD=CD ， CEAB 于 E求证：ABDCBE考点： 相似三角形的判定专题： 证明题分析： 根据等腰三角形三线合一的性质可得 ADBC，然后求出 ADB=CEB=90，再根据两组.角对应相等的两个三角形相似证明解答： 证明：在ABC 中，AB=AC ，BD=CD，ADBC，CEAB，ADB=CEB=90，又B=B ，ABDCBE点评： 本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，比较简单，确定出两组对应相等的角是解题的关键2、（2013年河北）如图4
27、，菱形ABCD中，点M，N在AC上，MEAD， NFAB. 若 NF = NM = 2，ME = 3，则 AN =A3 B4C5 D6答案：B解析：由AFNAEM，得： ，即 ，ANFME23AN解得：AN4，选 B。3、 （2013孝感）如图，在 ABC 中，AB=AC=a，BC=b（ab） 在ABC 内依次作CBD=A，DCE= CBD，EDF= DCE则 EF 等于（ ）ABCD考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质分析： 依次判定ABCBDC CDEDFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出 EF 的长度解答： 解： AB=AC，ABC=ACB，又CBD=A，A
28、BCBDC，同理可得：ABCBDC CDEDFE， = ， = ， = ，.解得：CD= ，DE= ，EF= 故选 C点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错4、 （2013苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是边长为 2 的正方形，顶点A、C 分别在 x，y 轴的正半轴上点 Q 在对角线 OB 上，且 QO=OC，连接 CQ 并延长 CQ交边 AB 于点 P则点 P 的坐标为 （2，4 2 ） 考点： 相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质3718684分析： 根据正方形
29、的对角线等于边长的 倍求出 OB，再求出 BQ，然后求出BPQ 和OCQ 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出 BP 的长，再求出 AP，即可得到点 P 的坐标解答： 解： 四边形 OABC 是边长为 2 的正方形，OA=OC=2，OB=2 ，QO=OC，BQ=OBOQ=2 2，正方形 OABC 的边 ABOC，BPQOCQ， = ，即 = ，解得 BP=2 2，AP=ABBP=2（2 2）=4 2 ，点 P 的坐标为（2，42 ） 故答案为：（2，42 ） 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的对角线等于边长的 倍的性质，以及坐.标与图形的性质，比较简单，利用相似三角形的对应
30、边成比例求出 BP 的长是解题的关键5、 （2013眉山）如图， BAC=DAF=90，AB=AC ，AD=AF，点 D、E 为 BC 边上的两点，且DAE=45，连接 EF、 BF，则下列结论：AEDAEF；ABEACD； BE+DCDE； BE2+DC2=DE2，其中正确的有（ ）个A1 B2 C3 D4考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理分析： 根据DAF=90 ， DAE=45，得出FAE=45 ，利用 SAS 证明AEDAEF，判定正确；如果ABEACD ，那么 BAE=CAD，由ABE= C=45，则AED=ADE，AD=AE，而由已知不能得出此条件，判
31、定错误；先由BAC= DAF=90，得出 CAD=BAF，再利用 SAS 证明ACDABF，得出CD=BF，又 知 DE=EF，那么在 BEF 中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BFEF ，等量代换后判定正确；先由ACDABF，得出 C=ABF=45，进而得出EBF=90 ，然后在 RtBEF 中，运用勾股定理得出 BE2+BF2=EF2，等量代换后判定正确解答： 解：DAF=90，DAE=45，FAE=DAFDAE=45在AED 与 AEF 中，AEDAEF（SAS） ，正确；BAC=90，AB=AC，ABE=C=45点 D、 E 为 BC 边上的两点， DAE=45，AD 与 AE
32、不一定相等，AED 与ADE 不一定相等，AED=45+BAE，ADE=45 +CAD，BAE 与CAD 不一定相等，ABE 与ACD 不一定相似， 错误；.BAC=DAF=90，BACBAD=DAFBAD，即CAD=BAF 在ACD 与 ABF 中，ACDABF（SAS） ，CD=BF，由知AEDAEF，DE=EF在BEF 中，BE+BFEF，BE+DCDE，正确；由知ACDABF，C=ABF=45，ABE=45，EBF=ABE+ABF=90在 RtBEF 中，由勾股定理，得 BE2+BF2=EF2，BF=DC，EF=DE，BE2+DC2=DE2，正确所以正确的结论有故选 C点评： 本题考查
33、了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有一定难度6、 （2013天津）如图，在边长为 9 的正三角形 ABC 中，BD=3，ADE=60 ，则 AE 的长为 7 .考点： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质3718684分析： 先根据边长为 9，BD=3 ，求出 CD 的长度，然后根据 ADE=60和等边三角形的性质，证明ABDDCE，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得 CE 的长度，即可求出 AE的长度解答： 解：ABC 是等边三角形，B=C=60，AB=BC；CD=BCBD
34、=93=6；BAD+ADB=120ADE=60，ADB+EDC=120，DAB=EDC，又B=C=60 ，ABDDCE，则 = ，即 = ，解得：CE=2，故 AE=ACCE=92=7故答案为：7点评： 此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质证得ABD DCE 是解答此题的关键7、 （2013恩施州）如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 为 OD的中点，连接 AE 并延长交 DC 于点 F，则 DF：FC=（ ）A1：4 B1：3 C2：3 D1：2考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质3718684分析： 首
35、先证明DFE BAE，然后利用对应变成比例，E 为 OD 的中点，求出 DF：AB 的值，又知 AB=DC，即可得出 DF： FC 的值解答： 解：在平行四边形 ABCD 中，ABDC，则DFEBAE ，. = ，O 为对角线的交点，DO=BO，又 E 为 OD 的中点，DE= DB，则 DE：EB=1 ：3，DF：AB=1 ： 3，DC=AB，DF：DC=1 ： 3，DF：FC=1：2故选 D点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明DFE BAE，然后根据对应边成比例求值8、 （2013牡丹江）如图，在 ABC 中A=60，BMAC
36、 于点 M，CN AB 于点 N，P 为BC 边的中点，连接 PM，PN，则下列结论： PM=PN； ； PMN 为等边三角形；当ABC=45 时，BN= PC其中正确的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个考点： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线3718684分析： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断正确；先证明ABMACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断正确；先根据直角三角形两锐角互余的性质求出ABM= ACN=30，再根据三角形的内角和定理求出BCN+CBM=60，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出BPN
37、+CPM=120 ，从而得到MPN=60，又由得 PM=PN，根据有一个角是 60.的等腰三角形是等边三角形可判断正确；当ABC=45时， BCN=45，由 P 为 BC 边的中点，得出 BN= PB= PC，判断正确解答： 解：BMAC 于点 M，CN AB 于点 N，P 为 BC 边的中点，PM= BC，PN= BC，PM=PN，正确；在ABM 与 ACN 中，A=A，AMB=ANC=90，ABMACN， ，正确；A=60，BM AC 于点 M，CNAB 于点 N，ABM=ACN=30，在ABC 中，BCN+CBM 18060302=60，点 P 是 BC 的中点，BM AC，CNAB，P
38、M=PN=PB=PC，BPN=2BCN，CPM=2 CBM，BPN+CPM=2（ BCN+CBM）=260=120 ，MPN=60，PMN 是等边三角形，正确；当 ABC=45时，CNAB 于点 N，BNC=90，BCN=45 ，BN=CN，P 为 BC 边的中点，PNBC，BPN 为等腰直角三角形BN= PB= PC，正确故选 D点评： 本题主要考查了直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键.9、 （2013黔东南州）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则 的值是 考点
39、： 相似三角形的判定与性质分析： 由BAC=ACD=90 ，可得 ABCD，即可证得ABEDCE，然后由相似三角形的对应边成比例，可得： ，然后利用三角函数，用 AC 表示出 AB 与 CD，即可求得答案解答： 解：BAC=ACD=90 ，ABCD ，ABEDCE， ，在 RtACB 中B=45 ，AB=AC，在 RtACD 中，D=30 ，CD= = AC， = = 故答案为： 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用10、 （2013 台湾、33）如图，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形根据图中标示
40、的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断何者正确？（ ）A甲乙，乙丙 B甲乙，乙丙 C甲乙，乙丙 D甲乙，乙丙考点：相似三角形的判定与性质.分析：首先过点 B 作 BHGF 于点 H，则 S 乙 = ABAC，易证得ABC DBE，GBHBCA，可求得 GF，DB，DE，DF 的长，继而求得答案解答：解：如图：过点 B 作 BHGF 于点 H，则 S 乙 = ABAC，ACDE，ABCDBE， ，BC=7，CE=3 ，DE= AC， DB= AB，AD=BDBA= AB，S 丙 = （AC+DE） AD= ABAC，AGF，BH GF，AC AB，BHAC，四边形 BDFH 是矩形，BH
41、=DF，FH=BD= AB，GBHBCA， ，GB=2，BC=7，GH= AB，BH AC，DF= AC，GF=GH+FH= AB，S 甲 = （BD+GF）DF= ABAC，甲乙，乙丙故选 D点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及直角三角形的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用考点四：相似三角形的应用.1、 （2013白银）如图，路灯距离地面 8 米，身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部（点 O）20 米的 A 处，则小明的影子 AM 长为 5 米考点： 相似三角形的应用分析： 易得：ABMOCM ，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长解答： 解：根据题意，易
42、得MBA MCO，根据相似三角形的性质可知 = ，即 = ，解得 AM=5m则小明的影长为 5 米点评： 本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长2、 （2013巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网 4 米的位置上，则球拍击球的高度 h 为 1.5 米 考点： 相似三角形的应用分析： 根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即 DEBC 可知，ADEACB，根据其相似比即可求解解答： 解： DEBC，ADEACB，即 = ，则 = ，h=1.5m故答案为：1.5 米.点评： 本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角
43、形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题3、 （13 年北京 4 分 5） 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点 A，在近岸取点 B，C，D，使得 ABBC，CDBC ，点 E 在 BC 上，并且点 A，E，D 在同一条直线上。若测得BE=20m，EC=10m ，CD=20m，则河的宽度 AB 等于A. 60m B. 40mC. 30m D. 20m答案：B解析：由EABEDC，得： CEDBA，即 102B，解得：AB404、 （2013牡丹江）劳技课上小敏拿出了一个腰长为 8 厘米，底边为 6 厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是 1：
44、2 的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为 2.4cm 或 cm 考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质3718684专题： 分类讨论分析： 设平行四边形的短边为 xcm，分两种情况进行讨论， 若 BE 是平行四边形的一个短边，若 BD 是平行四边形的一个短边，利用三角形相似的性质求出 x 的值解答： 解：如图 AB=AC=8cm，BC=6cm，设平行四边形的短边为 xcm，若 BE 是平行四边形的一个短边，则 EFBC，= ，解得 x=2.4 厘米，若 BD 是平行四边形的
45、一个短边，则 EFAB，.= ，解得 x= cm，综上所述短边为 2.4cm 或 cm点评： 本题主要 考查相似三角形的判定与性质等知识点，解答本题的关键是正确的画出图形，结合图形很容易解答5、 （2013滨州）某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA=CD，BC=20cm ，BC 、EF 平行于地面 AD 且到地面 AD 的距离分别为 40cm、8cm为使板凳两腿底端 A、D 之间的距离为 50cm，那么横梁 EF 应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计） 考点： 相似三角形的应用；等腰梯形的性质分析： 根据等腰梯形的性质，可得 AH=DG，EM=NF ，先求出 AH、GD 的长度，再由 BEMBAH，可得出 EM，继而得出 EF 的长度解答： 解：由题意得，MH=8cm，BH=40cm ，则 BM=32cm，四边形 ABCD 是等腰梯形， AD
