1、相似的应用,求A11.,A = PP1,A11 = (PP1)(PP1)(PP1)(PP1),= P11P1,A与 相似,5.2 相似矩阵,一. 矩阵的相似,设A、B是n阶方阵，若有可逆矩阵P，使P1AP=B，则称矩阵A与B相似，记为AB，P为相似变换矩阵。,注1. 相似是等价的特例：相似必等价，反之不然。,证明：,注2.反身性: AA; 对称性: AB BA;传递性: AB, BC AC.,矩阵间的相似关系是一种等价关系。,P1AP =B,PBP1 =A,等价关系下的不变量：矩阵的秩,相似关系下的不变量：,矩阵的秩,性质1. 若A B r(A) = r(B),性质2. A B |E - A|
2、 = |E - B|，特征多项式相同,说明(1). |E - A| = |E - B|，意味着矩阵A与B有相同的特征值、迹和行列式。,问题？相似矩阵对应于同一特征值的特征向量？,性质3. 若A B，则 （1） kA kB （2） Ak Bk （k是正整数） （3）A1 B1 （A、B均可逆） （4） f (A) f (B)（f 是多项式） 且具有相同的相似变换矩阵。,说明(2). 特征多项式相同的矩阵不一定相似。,例2.,特征多项式都是(1)2,证1：若P 1AP = B，则A = PBP1 =E=B。,矛盾!,证2：,若A B,则 A E B E。,但r(AE) r(BE),矛盾!,特征多项
3、式相同是相似的必要而非充分的条件。,注3. 方阵A与B相似 特征多项式和特征值相同, tr(A) = tr(B)，|A| = |B|, r(A) = r(B),相似关系下的不变量为：,特征值, 迹, 行列式, 秩,等价关系下的不变量为：,秩,等价关系下的最简形为：,等价标准形,相似关系下的最简形为？ ,只是必 要条件,例4. 设矩阵 ，求x、y,例3. 设矩阵 ，求a、b,解. 由A B ,|A| = |B| b = 1,tr(A) = tr(B) a = 0,解1. 由A B ,|A| = |B| -2(x 2) = -2y,tr(A) = tr(B) x 1 = y + 1,方程相同!,解
4、2. 1 = -1，2 = 2，3 = y,由|-E - A| = 0求x；tr(A) = tr(B)求y。,x = 0, y = -2,解3. A有特征值2 = -2，则B也有，y = -2；,A =,= P 1AP (P 可逆),1 0 00 2 0 0 0 n,P = (p1, , pn)可逆, p1, , pn线性无关,P 1AP = AP = P, (Ap1, , Apn) = (1p1, , npn),相似关系下的最简形为？ , A pi = i pi , i =1, , n,1. 定理5.3. n阶方阵A与对角矩阵相似 A有n个线性无关的特征向量。,二. 方阵与对角矩阵相似的充要
5、条件,注1. 若n阶方阵A有l (n)个线性无关的特征向量，则A不能与对角矩阵相似.,证3: 1=2 =1, n r = 1 2, A不与对角阵B相似。,注2. 不是每个方阵都能够与对角矩阵相似的。,如果矩阵A与对角阵相似，则的对角线由A的特征值构成，变换矩阵P由A相应的特征向量为列；若不计i排列顺序，则是唯一的，称为A的相似标准形。,2. 定理5.4.,等价关系下的最简形为：,等价标准形,相似关系下的最简形为：,相似标准形或J,与对角阵相似,不与对角阵相似,问题?如何判断A是否有n个线性无关的特征向量？,证（归纳法）s = 1时显然成立；设k = s1 时成立，下面证 k = s 时也成立。
6、,1, 2, , s A的特征向量,1, 2, , s A的互异的特征值,则1, 2, , s线性无关。,设k11 + k22 + + ks1s1 + kss = ,k1s1+k2s2+ ks1ss1+ksss = ,k111+k222+ ks1s1s1+ksss = ,A(k11+k22+ ks1s1+kss) = , k1(1s)1+k2(2s)2+ks1(s1s)s1=, k1(12) = k2(23) = = ks1(s1s) = 0, k1 = k2 = = ks1 = 0, kss = , ks = 0,推论5.4. Ann有n个互异特征值1,n, A 。,例6. 设A = 相似于
7、对角矩阵,a x y 0 a z 0 0 a,|EA|,= (a)3,则(aEA)x = 有3个线性无关的解,故3 r(aEA) = 3,即r(aEA) = O,即 x = y = z = 0,例7. 若A = 相似于对角矩阵,a x y 0 a z 0 0 b,|EA|,= (a)2 (b),则(aEA)x = 有2个线性无关的解,即 x = 0,故3 r(aEA) = 2,即r(aEA) = 1,定理5.5.,设1, 2, , s 互不相同,L.i.,L.i.,L.i.,线性无关,设(c1111+ cp1p1)+(c1212+ cq2q2)+(c1s1s+ crsrs) = 0,A1 =
8、1 1,A3 = 3 3,A2 = 2 2,于是1 + 2 + + s = 0,定理5.6. n阶方阵A与对角阵相似 A的每个ni重特征值i有ni个线性无关的特征向量，即r(iEA) = nni , i=1,t 其中n1+ n2+nt = n,代数重数,几何重数,等于,i的 (特征值i),注3. 由定理5.4-5，A的属于不同特征值的线性无关的特征向量合在一起仍线性无关。,求|EA| = 0的根,A可以相似对角化,r(iEA) = nni?,A不能相似对角化,注:特征向量要与特征 值的顺序相对应,相 似 对 角 化 问 题 解 题 步 骤,A与相似 i(ni重)，有r(iEA) = nni,解
9、: |EA| = (+1)( 2)2. 1= 1, 2=3= 2.,例8. 设,，求可逆阵P和对角阵，使得 P1AP = ；并计算Ak。,(2EA)x=0的基础解系：1=(1,4,0)T，2=(1,0,4)T 当1= 1时，(EA)x =0的基础解系：3=(1,0,1)T,当2= 3= 2时，,使得 P1AP = ,求斐波那契数列的通项,二阶递推公式,因此,求斐波那契数列的通项,由,由,求斐波那契数列的通项,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ,一个正整数序列的通项，竟然可以用带有无理数的式子表达，这是十分意外的结果。,斐波那契数列与黄金分割,“黄金分割”比喻这一“分割”如黄金一样珍贵。黄金比是工艺美术、建筑、摄影等艺术门类中审美的因素之一。认为它表现了恰到好处的“合谐”。,称为第二黄金比,例9. (见P184，例5.10),例10. 设n阶矩阵A满足A2 = E，则A相似于对角阵。,例11. 设矩阵 ，问k取何值时，A相似于对角阵，并求相似变换矩阵P。,
