1、12010 年普通高等学校夏季招生考试数学文史类(全国卷)数学（文史类）第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(文)cos300等于( )A B C. D. 321232答案：C cos300cos(300360)cos(60)cos60 122(文)设全集 U1,2,3,4,5，集合 M1,4， N1,3,5，则 N( M)等于( )A1,3 B1,5 C3,5 D4,5答案：C M2,3,5， N( M)1,3,52,3,53,5 3若变量 x， y 满足约束条件 则 z x2 y 的最大值为( )10yxA4
2、 B3 C2 D1答案：B 线性约束条件对应的平面区域如图所示，由 z x2 y 得 y ，当直x2z线 y 在 y 轴上的截距最小时， z 取得最大值，由图知，当直线通过点 A 时，在 yxz轴上的截距最小，由 ，解得 A(1，1)所以 zmax12(1)3.02x4已知各项均为正数的等比数列 an中， a1a2a35， a7a8a910，则 a4a5a6等于( )A5 B7 C6 D42答案：A 数列 an为等比数列，由 a1a2a35 得 5，由 a7a8a910 得 10，32 38所以 50，即( a2a8)350，即 50，所以 5 (an0)所以 a4a5a632a8 65 .
3、25(文)(1 x)4(1 )3的展开式中 x2的系数是( )A6 B3 C0 D3答案：A (1 x)4(1 )3的展开式中 x2项为 ( x)1 ( )2 ( x)14C23x 4C2 6 x2，其系数为6. 036(文)直三棱柱 ABCA1B1C1中，若 BAC90， AB AC AA1，则异面直线 BA1与 AC1所成的角等于( )A30 B45 C60 D90答案：C 不妨设 AB AC AA11，建立空间直角坐标系如图所示，则 B(0，1,0)，A1(0,0,1)， A(0,0,0)， C1(1,0,1)， (0,1,1)， (1,0,1)1BA1Ccos ， 1BA21 ， 60
4、.1异面直线 BA1与 AC1所成的角为 60. 7(文)已知函数 f(x)|lg x|.若 a b，且 f(a) f(b)，则 a b 的取值范围是( )A(1，) B1，)C(2，) D2，)答案：C 函数 f(x)|lg x|的图象如图所示，由图象知 a， b 一个大于 1，一个小于 1，不妨设 a1,0 b1. f(a) f(b)， f(a)|lg a|lg a f(b)|lg b|lg blg . a .13 a b b 2 2. 1b8(文)已知 F1、 F2为双曲线 C： x2 y21 的左、右焦点，点 P 在 C 上， F1PF260，则| PF1|PF2|等于( )A2 B4
5、 C6 D8答案：B 在 PF1F2中，|F1F2|2| PF1|2| PF2|22| PF1|PF2|cos60(| PF1| PF2|)2| PF1|PF2|，即(2 )22 2| PF1|PF2|，解得| PF1|PF2|4. 9 正方体 ABCDA1B1C1D1中， BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 23236答案：D 不妨设正方体的棱长为 1，如图建立空间直角坐标系，则 D(0,0,0)，B(1,1,0)， B1(1,1,1)平面 ACD1的法向量为 (1,1,1)，1D又 (0,0,1)，1Bcos ， .D11B31 BB1与平面 ACD1所成角
6、的余弦值为 . 2()610 设 alog 32， bln2， c5 ，则( )1A a b c B b c aC c a b D c b a答案： C log 32 ln2，要比较 log32 与 5 ，只需比较ln1log214log23 与 log 22 ，只需比较 3 与52 ，2 2 243，log 325 . c a b. 111已知圆 O 的半径为 1， PA、 PB 为该圆的两条切线， A、 B 为两切点，那么 PA的最小值为( )PBA4 B322C42 D32答案：D 如图，设 APO ， | |2cos2 | |2(12sin 2 )PABPA(| OP|21)(12 )
7、21O| OP|2 3P2 3，当且仅当| OP|2 ，即| OP| 时， “”成立 O4212已知在半径为 2 的球面上有 A、 B、 C、 D 四点，若 AB CD2，则四面体 ABCD 的体积的最大值为( )A. B. C2 D. 23438答案：B 不妨取 AB CD，过 CD 作平面 PCD，使 AB平面 PCD，交 AB 于 P.设点 P 到CD 的距离为 h，则有V 四面体 ABCD 2 2h h.1323当直径通过 AB 与 CD 的中点时， hmax2 2 .13故 Vmax 435第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上13(文)
8、不等式 0 的解集是_23x答案： x|2 x1，或 x2解析：不等式 0 可化为(x2)( x23 x2)0，即( x2)( x1)( x2)0，解得2 x1，或 x2.原不等式的解集为 x|2 x1，或 x2 14(文)已知 为第二象限的角，sin ，则 tan2 _.35答案： 47解析： 为第二象限角，sin ，cos .4tan .sinco34tan2 . 2ta12()4715(文)某学校开设 A 类选修课 3 门， B 类选修课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有_种(用数字作答)答案：30解析：分两类：选 A 类选修课 2 门，
9、B 类选修课 1 门，有 12(种)；选23C14A 类选修课 1 门， B 类选修课 2 门，有 C C 3618(种)共有 121830(种) 13 2416已知 F 是椭圆 C 的一个焦点， B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交 C 于点D，且 2 ，则 C 的离心率为_答案：33解析：如图，设椭圆的标准方程为 1( a b0)不妨设 B 为上顶点， F 为右2xy焦点，设 D(x， y)由 2 ，得( c， b)2( x c， y)，BFD6即 ，解得 ，2()cxby32cxbyD( ， )32由 D 在椭圆上得： 1，223()bca ， e . 2ca133三、解答题：本
10、大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）(文)记等差数列 an的前 n 项和为 Sn，设 S312，且 2a1， a2， a31 成等比数列，求 Sn.答案：解：设数列 an的公差为 d.依题设有2132()a即21104daa解得 a11， d3 或 a18， d4.因此 Sn n(3n1)或 Sn2 n(5 n) 218 （12 分）已知 ABC 的内角 A， B 及其对边 a， b 满足 a b acotA bcotB，求内角 C.答案：解：由 a b acotA bcotB 及正弦定理得sinAsin Bcos Acos B，sinAcos
11、Acos Bsin B，从而 sinAcos cos Asin cos Bsin sin Bcos ，44sin(A )sin( B)7又 0 A B，故 A B， A B .42所以 C . 219 （12 分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5，复审的稿件能通过评审的概率为 0.3.各专家独立评审(1)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率；(2)求投到该杂志
12、的 4 篇稿件中，至少有 2 篇被录用的概率答案：解：(1)记 A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D 表示事件：稿件被录用则 D A BC，P(A)0.50.50.25， P(B)20.50.50.5， P(C)0.3，P(D) P(A BC) P(A) P(BC) P(A) P(B)P(C)0.250.50.30.40.(2)记 A0表示事件：4 篇稿件中没有 1 篇被录用；A1表示事件：4 篇稿件中恰有 1 篇被录用；A2表示事件：4 篇稿件中至少有 2 篇被录用 A0 A1.P(A0)(10.
13、4) 40.129 6，P(A1) 0.4(10.4) 30.345 6，CP( ) P(A0 A1) P(A0) P(A1)20.129 60.345 60.475 2，P(A2)1 P( )10.475 20.524 8. 220 （12 分）如图，四棱锥 SABCD 中， SD底面ABCD， AB DC， AD DC， AB AD1， DC SD2， E 为棱 SB 上的一点，平面 EDC平面SBC.8(1)证明 SE2 EB；(2)求二面角 ADEC 的大小答案：解法一：(1)连结 BD，取 DC 的中点 G，连结 BG，由此知 DG GC BG1，即 DBC 为直角三角形，故 BC
14、BD.又 SD平面 ABCD，故 BC SD，所以 BC平面 BDS， BC DE.作 BK EC， K 为垂足因平面 EDC平面 SBC，故 BK平面 EDC， BK DE.DE 与平面SBC 内的两条相交直线 BK、 BC 都垂直，DE平面 SBC， DE EC， DE SB.SB ，2SDB6DE ，3EB ， SE SB EB ，2BE6263所以 SE2 EB.(2)由 SA ， AB1， SE2 EB， AB SA，知 AE2SDA51，又 AD1，221()()3AB故 ADE 为等腰三角形取 ED 中点 F，连结 AF，则 AF DE， AF .2ADF63连结 FG，则 FG
15、 EC， FG DE.所以 AFG 是二面角 ADEC 的平面角连结 AG， AG ， FG ，22G63cos AFG .2FA19所以二面角 ADEC 的大小为 120.解法二：以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系 Dxyz.设 A(1,0,0)，则 B(1,1,0)， C(0,2,0)， S(0,0,2)(1) (0,2，2)，SC(1,1,0)设平面 SBC 的法向量为n( a， b， c)，由 n ， n 得 n 0， n 0.SCBSCB故 2b2 c0， a b0.令 a1，则 b1， c1， n(1,1,1)又设 ( 0)，E则 E( ，
16、， )2( ， ， )， (0,2,0)D121 DC设平面 CDE 的法向量 m( x， y， z)，由 m ， m ，得Em 0， m 0.故 0,2 y0.1xy21z令 x2，则 m(2,0， )由平面 DEC平面 SBC 得 m n， mn0，2 0， 2.故 SE2 EB.(2)由(1)知 E( ， ， )，取 DE 中点 F，则 F( ， ， )， ( ， ，3213FA 231)，13故 0，由此得 FA DE.FAD10又 ( ， ， )，故 0，由此得 EC DE，EC234ECD向量 与 的夹角等于二面角 ADEC 的平面角FA EC 于是 cos ， ，FAE12所以二
17、面角 ADEC 的大小为 120 21（12 分）(文)已知函数 f(x)3 ax42(3 a1) x24 x.(1)当 a 时，求 f(x)的极值；16(2)若 f(x)在(1,1)上是增函数，求 a 的取值范围答案：解：(1) f( x)4( x1)(3 ax23 ax1)当 a 时， f( x)2( x2)16(x1) 2， f(x)在(，2)内单调递减，在(2，)内单调递增，在 x2 时， f(x)有极小值所以 f(2)12 是 f(x)的极小值(2)在(1,1)上， f(x)单调增加，当且仅当 f( x)4( x1)(3 ax23 ax1)0，即 3ax23 ax10， ()当 a0
18、 时恒成立；()当 a0 时成立，当且仅当 3a123 a110，解得 a .16()当 a0 时成立，即 3a(x )2 10 成立，当且仅当 10.解1434a得 a .43综上， a 的取值范围是 ， 43622 （12 分）已知抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过点 K(1，0)的直线 l 与 C 相交于A、 B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 D.(1)证明点 F 在直线 BD 上；(2)设 ，求 BDK 的内切圆 M 的方程89答案：解：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， D(x1， y1)， l 的方程为 x my1( m0)(1)证明：将 x my1 代入 y24 x 并整理得y24 my40，从而 y1 y24 m， y1y24. 直线 BD 的方程为 y y2 (x x2)，1
