1、三角函数知识,5 正弦电流电路导论,复习,代数表示、指数表示、复角表示、及三角函数表示 ：,欧拉公式 ：,代数表示,指数表示,复角表示,Re,Im,三角函数表示,0,任意复数的几种表示方法,例：写出下列复数的指数表示、复角表示、及三角函数表示 。,指数表示：,复角表示：,三角函数表示：,复数的运算规律,复数的加减运算规律：两个复数相加（或相减）时，将实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加（或相减）。如：,相加、减的结果为：,A1A2=（a1+jb1）(a2+jb2)=(a1a2)+j(b1b2),复数乘除运算规律：两个复数相乘，将模相乘，辐角相加；两个复数相除，将模相除，辐角相减。如：,因为
2、通常规定：逆时针的辐角为正，顺时针的辐角为负，则复数相乘相当于逆时针旋转矢量；复数相除相当于顺时针旋转矢量。,特别地，复数 的模为1，辐角为 。把一个复数乘以 就相当于把此复数对应的矢量反时针方向旋转 角。,第五章 正弦电流电路导论,正弦稳态(sinusoidal steady state),本章至第七章将全面论述正弦电流电路（包括三相正弦电流电路）及其分析计算方法。这是交流电路的主要内容，也是研究非正弦周期电流电路必备的基础。,线性电路在正弦交流电源激励下，在接通电源较长时间以后，响应的自由分量已趋近于零，电路中任一电压、电流响应均仅包含强制分量，电路的这种工作状态称为正弦稳态。,本章主要内
3、容：,难点：,用相量图分析正弦电流电路。,正弦量的基本概念（幅值、初相、周期、频率、角频率、有效值等）；相角差；正弦量的相量表示；阻抗，导纳；简单正弦电流电路的分析、计算。,重点：,正弦电流、电压的基本概念，正弦量的相量表示法，基尔霍夫定律和电路元件方程的相量形式，阻抗和导纳，阻抗的串、并联及简单正弦电流电路的计算。,5-1 正弦电压和电流的基本概念,1. 正弦量的三要素：,Um 幅值(amplitude),( t+) 辐角(argument)，称为瞬时相角，简称相角(phase angle)或相(phase), 初相(initial phase), 角频率(angular frequency
4、),Um 幅值(amplitude), 初相(initial phase), 角频率(angular frequency),角频率w(angular frequency) 单位：rad/s,T 周期(period) 单位：s,频率f(frequency) 单位：Hz,2. 同频率正弦量的相角差(phase difference) ：,由此看出，同频率正弦量的相角差等于他们初相之差。, 1 20 ，u1(t)在相位上超前(lead) u2(t) ；, 1 20， u1(t)在相位上落后(lag) u2(t) ；, 1 2=0 ，u1(t) 与u2(t) 同相（in phase）；, 1 2 =1
5、80，则称u1(t) 与u2(t) 反相（opposite phase）。,3. 正弦电流、电压的有效值(effective value),有效值又可称为均方根值(root-mean-square value)。,周期电流有效值定义： 与周期电流的平均作功能力等效的直流电流的值。,课堂练习：5-1-2(b)5-1-3(3) 、(4)5-1-5 作业：5-5,5-2 线性电路对正弦激励的响应正弦稳态响应,如图，求全响应电流i(t)。,K、Im、i为待求值。,将特解rf (t)带入微分方程得：,将等式左边的三角函数展开、整理及并项，并根据恒等条件得：,根据可得：,2+2可得：,当t 时 ，电路中任
6、一响应均为与激励源同频率的正弦量，这就是电路的正弦稳态响应(sinusoidal steady-state response)。,正弦稳态响应与电路的初始状态无关。它仅由电路参数和激励源确定。,作业：5-7(1),5-3 正弦量的相量表示法,为什么要用相量表示正弦量?,为了简化正弦电流电路的计算，即避免用三角函数进行运算。,相量：,表示正弦量的复数叫相量。,有效值相量,表示正弦量的幅值相量是一个复数，其模为正弦量的幅值，其辐角等于正弦量的初相。,幅值相量,怎样表示?,幅值相量与有效值相量的关系:,相量图 (phasor diagram),在复平面上用以表示正弦量的矢量图，称为相量图。,正弦量与
7、相量的关系：,ejt 旋转相量(rotating phasor),注：相量只是用来表示正弦量的复数，它并不等于正弦量。,例 已知u1=141sin(t+60o)V，u2=70.7sin(t-45o)V 。 求： 求相量 ；(2) 求两电压之和的瞬时值 u(t)；（3） 画出相量图,解（1）,（2）,（3） 相量图如图所示,借助于相量和相量图分析正弦电流电路，可使分析计算大为简化。这种方法称为相量法。,下面通过线性网络的非时变性、齐次性和可加性框图说明：,由此可得：欲求网络对正弦激励Umsin(wt+u)的响应，可先求出网络对复指数函数激励 的响应 ,再取其虚部,即得网络对上述正弦激励的响应。,下面举例说明,解：,设激励函数,的稳态响应电流为：,电路的微分方程为:,代入i(t)和us(t)，可得：,消去式中各项的公因子，则有：,由此解出 :,稳态响应电流为,由此看出，用相量表示正弦量后可以将电路的微分方程转化为复数代数方程，从而使计算得以简化。能否直接由电路图写出复数的代数方程呢？要做到这一步还必须介绍基尔霍夫定律的相量形式和电路元件方程的相量形式 。,
